5.4.3正切函数的性质与图象-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义.doc

1、新教材必修第一册5.4.3正切函数的性质与图象课标解读：1.正切函数的性质.（理解）2.正切函数的图象.（理解）学法指导：学习本讲内容时，应类比正弦函数和余弦函数，利用单位圆中正切函数的图象，研究正切函数的性质；通过定量地研究正切函数的性质（定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性），认识到正切函数的图象具有渐近线这一特征，进而准确地整体把握正切函数的图象.知识导图知识点1：正切函数的性质与图象1.正切函数的性质与图象定义域图象周期性由诱导公式可知，正切函数是周期函数，周期是奇偶性由诱导公式，,可知正切函数是奇函数单调性正切函数在每一个区间上都单调递增值域正切函数的值域都是R特别提醒：（1） 正切

2、函数在定义域上不具备单调性，因此不能说函数在其定义域上是单调递增函数.（2） 正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间上都是单调递增的，并且每个单调区间都是开区间.（3） 正切函数没有最大值和最小值.（4） 正切型函数的最小正周期为.例1-1：函数的定义域为 .答案：例1-2：函数的值域为 .答案：-1,1例1-3：若，则（ ）A. B. C. D.答案：D2.利用奇偶性和周期性画出正切曲线的具体步骤如下左图所示，设，在平面直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点B（）.过点B作轴的垂线，垂足为M；过点A（1,0）作轴的垂线与角的终边交于点T，则由此可见，当时，线段AT的长度就是相应角的正切值.

3、我们可以利用线段AT画出函数，的图象如上右图所示.3.三点两线法作正切曲线简图类比正、余弦函数图象的五点法，我们可以采用三点法作正切函数的简图.“三点”是指点；“两线”是指直线和.在三点两线确定的情况下，可以大致画出正切函数在区间上的简图.例1-4：画出函数的图象，并根据图象判断其单调区间和奇偶性.答案：函数的图象如图所示：例1-5：作出函数的简图.答案：函数的简图如下：重难拓展知识点2：余切函数的图象及性质，即将的图象先向右平移个单位长度，再以轴为对称轴上下翻转，可得的图象.余切函数的图象与性质如下表：图象定义域值域余切函数的值域为实数集R周期性余切函数是周期函数，周期是奇偶性余切函数是奇函

4、数单调性在每个区间上都单调递减对称性图象是中心对称图形，其对称中心的坐标是，无对称轴例2-6：求函数的单调区间.答案：单调增区间是，无单调递减区间.例2-7：比较与的大小.答案：题型与方法题型1：正切函数图象的应用1.作图象例8：画出函数在上的简图.参考答案：2.图象识别问题例9：（1）如图中的图形分别是在内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是A. B. C. D.答案：D（2）函数在一个周期内的图象是（ ） 答案：A3.解不等式例10：利用正切函数的图象，求的解集.答案：例11：函数的定义域为 .答案：4.零点问题例12：在区间内，函数与函数图象交点的个数为（ ）A. 1 B. 2

5、C. 3 D. 4答案：C题型2：正切函数单调性的应用1.求单调区间例13：函数的单调递减区间为 .答案：变式训练1：函数的单调增区间是（ ）A. B.C. D.答案：B2.比较大小例14：比较下列各组中两个三角函数值的大小；（1） 与；（2） 与.答案：（1）3.求最值或值域例15：函数的值域为 .答案：例16：若，求函数的最值及相应的的值.答案：当.题型3：周期性与对称性例17：函数的最小正周期为（ ）A. B. C. D.答案:A变式训练2：（多选题）函数图象的对称中心可能是（ ）A. B. C. D.答案：ABC题型4：正切函数的综合应用例19：设函数，已知函数的图象与轴相邻两个交点的

6、距离为，且关于点M对称.（1） 求的解析式；（2） 求的单调区间；（3） 求不等式的解集.答案:（1） （2）的单调递增区间为，无单调递减区间.（3）解集为高考链接考向1：正切函数的性质例20：在函数中，最小正周期为的所有函数为（ ）A. B. C. D.答案：A例21：已知函数的部分图象如图所示，则= .答案：基础巩固：1.函数的定义域是（ ）A. B.C. D.2.与函数的图象不相交的一条直线的方程是（ ）A. B. C. D.3.下列关于函数的说法正确的是（ ）A.在区间上单调递增 B.最小正周期是C.图象关于点成中心对称 D.图象关于直线成轴对称4.若函数的最小值正周期为1，则的值为（

7、 ）A. B. C. D.5.在中值最大的是（ ）A. B. C. D.6.关于函数的性质，下列叙述不正确的是（ ）A.的最小正周期为B.是偶函数C.单调图象关于直线对称D.在每一个区间上单调递增7.函数，的值域为 .能力提升8.方程在区间上解的个数是（ ）A. 5 B. 4 C. 3 D. 29.已知函数，其函数图象的一个对称中心是，则该函数的一个单调递减区间是（ ）A. B. C. D.10.，若则（ ）A.0 B. 3 C. -1 D.-2 11.函数的图象与直线相邻两交点之间的距离是（ ）A. B. C. D.12.函数与的图象相交于M，N两点，O为坐标原点，则MON的面积为（ ）A. B. C. D.13.已知函数在区间上单调递减，则（ ）A. B. C. D.14.已知函数，的部分图象如图所示，则 .15.设定义在区间上的函数的图象与的图象交于点P，过点P作的垂线，垂直为，直线与函数的图象交于点，则线段的长为 .参考答案1. A2. D3. B4. D5. B6. A7.8. B9. D10. A11. C12. D13. B14. 215.