（全国卷Ⅲ）2020年高考数学压轴卷 理（含解析）.doc

1、（全国卷）2020 年高考数学压轴卷 理（含解析）注意事项：答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合(1)(4)0Ax xx，2log2Bxx，则 AB（）A.4,2 B.1,C.0,4 D.2,2.若复数 z 满足2(1)zii（i 是虚数单位），则

2、 z 为（）A.13 B.12 C.14 D.15 3.已知123a，2log3b，9log 2c，则a、b、c 的大小关系为（）A.abc B.acb C.bac D.cba 4.在的二项展开式中，若第四项的系数为-7，则（）A.B.C.D.5已知 xlog321，则 4x（）A4 B6 C4 D9 6在ABC 中，若 sinB2sinAcosC，那么ABC 一定是（）A等腰直角三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等边三角形 7.宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰四大家”，朱世杰就是其中之一朱世杰是一位平民数学家和数学教育家朱世杰平生勤力研习九章算术，旁

3、通其它各种算法，成为元代著名数学家他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的算学启蒙，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等如图，是源于其思想的一个程序框图若输入的,a b 分别为3，1，则输出的n（）A.2 B.3 C.4 D.5 8.函数3()e1xxf x的图象大致是（）A.B.C.D.9.设函数2()lnf xaxbx(0,0)ab，若函数()f x 的图象在1x 处的切线与直线20 xye平行，则 11ab的最小值

4、为（）A.1 B.12 C.3 2 2 D.3 2 2 10已知函数 f（x）sin（x+）（0，）的最小正周期为，且关于中心对称，则下列结论正确的是（）Af（1）f（0）f（2）Bf（0）f（2）f（1）Cf（2）f（0）f（1）Df（2）f（1）f（0）11.函数 2sin4cos1f xxx的最小正周期是（）A.3 B.23 C.D.2 12.定义在R上的可导函数()f x 满足(2)()22fxf xx，记()f x 的导函数为()fx，当1x 时恒有()1fx 若()(1 2)31f mfmm，则m的取值范围是 A(,1 B1(,13 C 1,)D1 1,3 二、填空题：本题共 4

5、小题，每小题 5 分，共 20 分。13.函数则_ 14已知 x，y 满足0421.xxyxy ，若2xy的最小值为_ 15.已知抛物线22(0)ypx p与椭圆22221(0)xyabab有相同的焦点 F，P 是两曲线的公共点，若56PFp，则此椭圆的离心率为_.16、已知正三棱锥，点、都在半径为球面上，若、两两相互垂直，则球心到截面的距离为_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随

6、机抽检 n 件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表：质量指标值 等级 频数 频率 60，75）三等品 10 0.1 75，90）二等品 30 b 90，105）一等品 a 0.4 105，120）特等品 20 0.2 合计 n 1（1）求 a，b，n；（2）从质量指标值在90，120）的产品中，按照等级分层抽样抽取 6 件，再从这 6 件中随机抽取 2 件，求至少有 1 件特等品被抽到的概率 18（12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，设23 sin()cos22BAC.（）求sin B；（）若 ABC 的周长为 8，求 ABC 的面积的取值范围.19(12 分)

7、如图，在四棱锥 PABCD中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PD 底面 ABCD，PDDC，点 E 是 PC 的中点.（I）求证：/PA平面 BDE；（II）若直线 BD与平面 PBC 所成角为30，求二面角CPBD的大小.20（12 分）设函数()ln(1)()f xxax aR.（I）讨论函数 f x 的单调性；（II）当函数 f x 有最大值且最大值大于3a 时，求a 的取值范围.21（12 分）中心在原点的椭圆 E 的一个焦点与抛物线2:4C xy的焦点关于直线 yx对称，且椭圆 E 与坐标轴的一个交点坐标为2,0.（I）求椭圆 E 的标准方程；（II）过点0,2的直线 l（直线的斜率

8、 k 存在且不为 0）交 E 于 A，B 两点，交 x 轴于点P 点 A 关于 x 轴的对称点为 D，直线 BD 交 x 轴于点 Q.试探究|OPOQ是否为定值？请说明理由.（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为22212xtyt （t 为参数），以原点 O为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为2241sin.（1）求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程；（2）设 P（0，-1），直线 l 与 C 的交点为 M，N，线段 MN 的中点为 Q，求O

9、POQ.23.已知函数()2f xx（1）解不等式：()4(1)f xf x（2）若函数()3,(4)g xxx与函数()2(2)ymf xf x的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学参考答案 1、【答案】C【解析】算出集合,A B 后可求BA.【详解】(1)(4)01,4Ax xx，2log20,4Bxx，故0,4AB，故选 C.2、【答案】B【解析】利用复数的除法运算求得12z ，问题得解.【详解】由2(1)zii 可得：221(1)1 22iiziii 所以12z 故选：B 3、【答案】A【解析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a、b

10、、c 与1和 12的大小关系，从而可得出实数a、b、c 的大小关系.【详解】由于指数函数3xy 是增函数，则102331a；对数函数2logyx是增函数，则222log2log3log 2，即 112b；对数函数9logyx是增函数，则991log 2log 32c.因此，abc.故选：A.4、【答案】B【解析】，解得：，故选 B.5、D【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解 解：xlog321，xlog23，4x9，故选：D 6、B 解：sinBsin（A+C）sin（A+C）sinAcosC+cosAsinC2sinAcosC，cosAsinCsinAcosCsin（CA）0，即

11、CA0，CA，ac，即ABC 为等腰三角形 故选：B 7、【答案】C【解析】按流程图逐一执行即可.【详解】输入的,a b 分别为3，1时，依次执行程序框图可得：193322a 2 12b ab不成立 1 12n 919272224a 2 24b ab不成立 2 13n 27127814248a 2 48b ab不成立 3 14n 8118124382816a 2 816b ab成立 输出4n 故选：C 8、【答案】D【分析】利用特殊值及函数的导数判断函数的单调性进行排除，即可得到函数的图象【详解】当 x0，g(4)=43e0，即 f（x）0，函数 f（x）是增函数，当 x（0 x，+），g(x

12、)0，即 f（x）0，函数 f（x）是减函数，B 不正确，故选 D 9、【答案】D【解析】由2()lnf xaxbx可得：()2afxbxx，又函数()f x 的图象在1x 处的切线与直线20 xye平行，所以(1)21fab 所以11111112abababab 221 23232 2babaabab 当且仅当221,12ab 时，等号成立 所以 11ab的最小值为3 2 2 故选：D 10 D【分析】根据条件求出函数的解析式，结合函数的单调性的性质进行转化判断即可 解：函数的最小周期是，得 2，则 f（x）sin（2x+），f（x）关于中心对称，2（）+k，kZ，即 k+，kZ，当 k0

13、时，即 f（x）sin（2x+），则函数在，上递增，在，上递减，f（0）f（），12，f（）f（1）f（2），即 f（2）f（1）f（0），故选：D 11、【答案】B【分析】利用二倍角公式和辅助角公式将 f x 化简为 y=sinx+A（）的形式，再利用周期函数求出其最小正周期，可得答案.【详解】解：2sin2coscos2sin2coscoscos2f xxxxxxxx sin2 cossin cos2sin3xxxxx，可得其最小正周期为 23，故选 B.12【答案】D【解析】构造函数()(1 2)31f mfmm)21()21()(mmfmmf，所以构造 函 数xxfxF)()(，(2)

14、()22fxf xxxxfxxf)()2()2(，)()2(xFxF 所 以)(xF 的 对 称 轴 为1x，1)()(xfxF 所 以，)(,1xFxFx是 增 函 数；)(,0,1-xFxFx 是 减 函 数。|1-2m-1|1-m|，解得：31,1-m 13【答案】1.【解析】根据分段函数的解析式逐步代入求解可得结果【详解】由题意得 故答案为：1 14、【答案】5【解析】式组表示的平面区域，再将目标函数 zx+2y 对应的直线进行平移，可得当 x3 且 y1时，z 取得最小值【详解】作出不等式组0421xxyxy 表示的平面区域，其中421xyxy 解得 A（3，1）设 zx+2y，将直

15、线 l：zx+2y 进行平移，观察 y 轴上的截距变化，可得当 l 经过点 A 时，目标函数 z 达到最小值 z 最小值3+25 故答案为：5 15、【答案】12e 【解析】通过抛物线和椭圆性质得到 P 点坐标，将 P 点坐标代入椭圆得到答案.【详解】设椭圆的左焦点为1F，由题意抛物线的准线方程为 1,0,0,2222ppppxFFc ，由抛物线的定义知点 P 到准线的距离为 56 p ，可得点 P 的横坐标为 5623ppp，纵坐标为63p 则有22211657366pppPFPF，所以12|2aPFPFp，则122pceap 故答案为12e 16、【答案】【详解】正三棱锥 PABC，PA，

16、PB，PC 两两垂直，此正三棱锥的外接球即为以 PA，PB，PC 为三条棱的正方体的外接球，球的半径为，正方体的边长为 2，即 PAPBPC2 球心到截面 ABC 的距离即正方体中心到截面 ABC 的距离 设 P 到截面 ABC 的距离为 h，则正三棱锥 PABC 的体积 VSABChSPABPC222 ABC 为边长为 2的正三角形，SABC（2）2 h 球心（即正方体中心）O 到截面 ABC 的距离为，故答案为 17、解：（1）由 100.1100，即 n100，a1000.440，b301000.3 6 分 （2）设从“特等品”产品中抽取 x 件，从“一等品”产品中抽取 y 件，由分层抽

17、样得：，解得 x2，y4，在抽取的 6 件中，有特等品 2 件，记为 A1，A2，有一等品 4 件，记为 B1，B2，B3，B4，则所有的抽样情况有 15 种，分别为：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，B1B2，B1B3，B1B4，B2B3，B2B4，B3B4，其中至少有 1 件特等品被抽到包含的基本事件有 9 种，分别为：A1A2，A1B1，A1B2，A1B3，A1B4，A2B1，A2B2，A2B3，A2B4，至少有 1 件特等品被抽到的概率为：p 12 分 18（1）23 sin()cos22BACQ且sin()sinACB233si

18、n2sincoscos22222BBBB，又022BQ，sin03sincos222BBB 33tansin232632BBBB 6 分（2）由题意知：8()bac22264 16()21cos222acbacacBacac 364 16()64 32acacac ，332640(38)(8)0acacacac 83ac或8ac （舍）649ac1316 3sin249ABCSacBac（当ac时取“”）综上，ABC 的面积的取值范围为16 30,9 12 分 19、（1）连接 AC 交 BD于O，连接OE，由题意可知，,PEEC AOOC，/PAEO，又 PA 在平面 BED 外，EO 平面

19、 BED，所以/PA平面 BED.4 分 2 以 D为坐标原点，,DA DC DP 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设1PDCD，ADa，则(,0,0)A a，(,1,0)(0,1,0)B aC，1(0)0,P，(,1,0)DBa，(,)1,1PBa，0,1,1PC，设平面 PBC 的法向量(,)nxy z，由00PB nPC n，得00axyzyz，取(0,1,1)n，又由直线 BD与平面 PBC 所成的角为30，8 分 得211cos,212DB nDB nDB na，解得1a ，同理可得平面 PBD 的法向量1,)0(1,m ，由向量的夹角公式，可得1

20、1cos,222n mn mn m，又因为二面角CPBD为锐二面角，所以二面角CPBD的大小为60.12 分 20（1）函数()ln(1)()f xxax aR的定义域为0,，11(1)(1)axfxaxx.当10a ，即1a 时，0fx，函数 f x 在0,上单调递增.当10a 时，令 0fx，解得11xa，当101xa时，0fx，函数单调递增，当11xa时，0fx，函数单调递减.综上所述：当1a 时，函数 f x 在0,上单调递增，当1a 时，函数 f x 在10,1a上单调递增，在1,1a上单调递减 .6 分（2）由（1）知，当函数 f x 有最大值时，1a ，且最大值max11()ln

21、111f xfaa，此时1ln131aa，即ln(1)20aa.令()ln(1)2,1g aaaa.1101g aa 故 g a 在1,上单调递增，且 20g 0g a 等价于 2g ag，12a，故 a 的取值范围为1,2.12 分 21（1）因为椭圆 E 的一个焦点与抛物线2:4C xy的焦点关于直线 yx对称，所以椭圆 E 的右焦点为 1,0（），所以1c .又椭圆 E 与坐标轴的一个交点坐标为 2,0（），所以2a，又2223bac，所以椭圆 E 的标准方程为22143xy.4 分（2）设直线 l 的方程为2ykx，0k，则点2,0P k，设 1122,A x yB x y 则点11,

22、D xy，联立直线 l 与椭圆 E 的方程有221432xyykx，得22341640kxkx，所以有248 410k，即214k 且1221221634434kxxkx xk，即直线 BD 的方程为112121yyxxyyxx 令0y，得点 Q 的横坐标为121212211212224Qkx xxxx yx yxyyk xx，代入得：2283224212164 34Qkkkxkkk，所以2|24PQOPOQxxkk，所以|OPOQ为定值 4.12分 22、【答案】（1）1yx，22142xy；（2）2 23【解析】（1）直线 l 的参数方程为2221.2xtyt （t 为参数）消去参数 t

23、可得直线 l 的普通方程为1yx 由2241sin，得222sin4，则有2224xyy，即2224xy，则曲线 C 的直角坐标方程为22142xy （2）将 l 的参数方程代入2224xy，得232 2202tt，设两根为 1t，2t 则 1t，2t 为 M，N 对应的参数，且 124 23tt 所以，线段 MN 的中点为 Q 对应的参数为 122 223tt，所以，2 23OPOQPQ 23、【答案】（1）17|22xx；（2）3,.【解析】(1)由()4(1)f xf x得241xx，即：214xx 等价于2342xx 或1412x 或3241xx 解得722x或12x或112x，即1722x，所以原不等式的解集为17|22xx（2）因为函数()3g xx在4,单调递增，所以min()(4)1g xg，因为310,2()2(2)6,24310,4xmxymf xf xxmxxmx，在4x 处，y 取得最大值2m，要使函数()3,(4)g xxx与函数()2(2)ymf xf x的图象恒有公共点，则须21m，即3m，故实数m 的取值范围是3,