《首发》湖南省长沙、浏阳、宁乡三（市）县一中2015届高三5月三模考试 数学（理） WORD版含答案.doc

1、2015届高三5月份仿真模拟考试试卷数学（理科）时量：120分钟 分值：150分命题：浏阳一中 审校：宁乡一中考生注意：1.本考试分为试题卷和答题卡两部分。2.考生务必将答案写在答题卡上，写在试题卷上一律无效；一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、 已知集合,则（ ） A.B. C. D. 2设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，则（ ）A B.5 C D3某几何体的三视图如右图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的的值是（ ）A.2 B. C. D.34下列函数中最小正周期是的函数是( )A. B. C. D.5右图给出了

2、一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y值若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值有 ( )A1个 B2个 C3个 D4个6. 设不等式组所表示的区域为，函数的图象与轴所围成的区域为,向内随机投一个点,则该点落在内的概率为( )A. B. C. D. 7设an是等比数列，则“a1a2 a4”是“数列an是递增数列”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件8已知双曲线，过其右焦点作圆的两条切线，切点分别记作、,双曲线的右顶点为,，其双曲线的离心率为( )A B C D9.如图，过原点的直线与圆交于两点，点在第一象限，将轴下方的图形沿轴折

3、起，使之与轴上方的图形成直二面角，设点的横坐标为，线段的长度记为，则函数的图像大致是( )10.已知都是定义在上的函数，且，且，若数列的前项和大于，则的最小值为（ ） A6 B7 C8 D9二、填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分）（一）选做题（请考生在第11、12、13三题中任选两题作答，如全做则按前两题计分）11在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 (t为参数).在极坐标系 （与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点,以轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为，若直线l平分圆C的周长，则=12. 如图,、为圆的两条割线,若，则 .13. 若正实数满足，则当取最

4、小值时，的值为_.（二） 必做题（14-16题）14.10名运动员中有2名老队员和8名新队员，现从中选3人参加团体比赛，要求老队员至多1人入选且新队员甲不能人选的选法有 种15已知是两个互相垂直的单位向量，且，则对任意的正实数，的最小值是 16.若直角坐标平面内两点满足条件：都在函数的图象上；关于原点对称，则称是函数的一个“伙伴点组”（点组与看作同一个“伙伴点组”）已知函数有两个“伙伴点组”，则实数的取值范围是_ _三、解答题（本大题共6小题，共75分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分12分)退休年龄延迟是平均预期寿命延长和人口老龄化背景下的一种趋势.某机构为了解某城市

5、市民的年龄构成，从该城市市民中随机抽取年龄段在2080岁（含20岁和80岁）之间的600人进行调查，并按年龄层次20,30)，30,40)，40,50)，50,60)，60,70)，70,80绘制频率分布直方图，如图所示.若规定年龄分布在20,40)岁的人为“青年人”，40,60)为“中年人”， 60,80为“老年人”.203040506080700.010.030.02年龄（1）若每一组数据的平均值用该区间中点值来代替，试估算所调查的600人的平均年龄；（2）将上述人口分布的频率视为该城市在20-80年龄段的人口分布的概率从该城市20-80年龄段市民中随机抽取3人，记抽到“老年人”的人数为，

6、求随机变量的分布列和数学期望18.(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为，满足，且。（1）求C的大小；（2）求的最大值，并求取得最大值时角A，B的值。ABCDMP19. (本小题满分12分)如图,在四棱锥中,平面,且,点在上.（1）求证:;（2）若二面角的大小为,求与平面所成角的正弦值.20.(本小题满分13分)设数列的前项和为，对一切，点都在函数的图象上 （1）求归纳数列的通项公式（不必证明）； （2）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（）， ；，；，.， 分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值； （3）设为数列的前项积，

7、若不等式对一切 都成立，其中，求的取值范围21.(本小题满分13分)已知分另为椭圆的上、下焦点,是抛物线的焦点,点是与在第二象限的交点, 且（1）求椭圆的方程;（2）与圆相切的直线交椭圆于,若椭圆上一点满足,求实数的取值范围.22(本小题满分13分) 已知函数（）（1）求函数的单调区间；（2）函数在定义域内是否存在零点？若存在，请指出有几个零点；若不存在，请说明理由；（3）若，当时，不等式恒成立，求的取值范围2015届高三第三次仿真考试（理科数学）参考答案一、选择题CACDD BBDBA二、填空题11.-3 12.6 13.514.77 15. 16.三、解答题17解：（）由题意估算，所调查的

8、600人的平均年龄为：（岁）.4分（）由频率分布直方图可知，“老年人”所占的频率为.所以从该城市2080年龄段市民中随机抽取1人，抽到“老年人”的概率为.依题意，X的可能取值为.所以，随机变量X的分布列如下表：因此，随机变量X的数学期望. .12分18解：（I）由，可得，即，又，所以，由正弦定理得，（4分）因为，所以0，从而，即。6分（II）由余弦定理，得，又，所以，于是，yAxBCzDMPE当时，取到最大值。12分19解：()如图,设为的中点,连结, 则,所以四边形为平行四边形, 故,又, 所以,故, 又因为平面,所以, 且,所以平面,故有5分()如图,以为原点,分别以射线 为轴的正半轴,建

9、立空间直角坐标系. 则, 设,易得, 设平面的一个法向量为,则, 令得,即. 又平面的一个法向量为, 由题知,解得, 即,而是平面的一个法向量, 设平面与平面所成的角为,则. 故直线与平面所成的角的正弦值为.12分20解：（1）因为点在函数的图象上，故，所以令，得，所以；令，得，所以；令，得，所以由此猜想：4分（2）因为（），所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），. 每一次循环记为一组由于每一个循环含有4个括号， 故 是第25组中第4

10、个括号内各数之和由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以 又=22，所以=2010.8分（3）因为，故，所以又，故对一切都成立，就是对一切都成立9分设，则只需即可由于，所以，故是单调递减，于是令，12分即 ，解得，或综上所述，使得所给不等式对一切都成立的实数的取值范围是13分21解：()由题知,所以, 又由抛物线定义可知,得, 于是易知,从而

11、, 由椭圆定义知,得,故, 从而椭圆的方程为6分()设,则由知, ,且, 又直线与圆相切,所以有, 由,可得 又联立消去得 且恒成立,且, 所以,所以得8分 代入式得,所以 又将式代入得,10分 易知,所以, 所以的取值范围为13分22解： （）由，则当时，对，有，所以函数在区间上单调递增；当时，由，得；由，得，此时函数的单调增区间为，单调减区间为综上所述，当时，函数的单调增区间为；当时，函数的单调增区间为，单调减区间为4分（）函数的定义域为，由，得（）5分令（），则，6分由于，可知当，；当时，故函数在上单调递减，在上单调递增，故7分又由（）知当时，对，有，即，（随着的增长，的增长速度越来越快，会超过并远远大于的增长速度，而的增长速度则会越来越慢则当且无限接近于0时，趋向于正无穷大.）当时，函数有两个不同的零点；当时，函数有且仅有一个零点；当时，函数没有零点8分（）由（）知当时，故对，先分析法证明：，要证，只需证，即证，构造函数，则，故函数在单调递增，所以，则成立当时，由（），在单调递增，则在上恒成立；当时，由（），函数在单调递增，在单调递减，故当时，所以，则不满足题意所以满足题意的的取值范围是13分- 10 -