江苏省无锡市天一中学2020届高三数学下学期6月模拟考试试题（含解析）.doc

1、江苏省无锡市天一中学2020届高三数学下学期6月模拟考试试题（含解析）一、填空题1.命题“，”的否定是_【答案】，【解析】【分析】利用全称命题的否定：改变量词，否定结论，可得出结果.【详解】由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是：，.故答案为：，.【点睛】本题考查全称命题否定的改写，属于基础题.2.在等差数列中，已知该数列前10项的和为，那么_【答案】24；【解析】【分析】根据等差数列的前10项和以及等差数列的性质，即可得答案；【详解】，故答案为：.【点睛】本题考查等差数列的前和项公式以及等差数列的性质，考查运算求解能力，属于基础题.3.若幂函数（，）的图象经过点，则_【答案】【解析】【分析

2、】根据幂函数的定义及图象过点，可得的值，即可得答案；【详解】幂函数（，），故答案为：.【点睛】本题考查根据幂函数的定义及图象过点求参数，考查运算求解能力，属于基础题.4.已知，则“”是“”的_条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）【答案】充分不必要；【解析】【分析】根据向量垂直的坐标公式以及充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】当时，即当时，解得即“”是“”的充分不必要条件故答案为：充分不必要【点睛】本题主要考查了判断充分不必要条件，涉及了向量垂直的坐标公式，属于中档题.5.设直线是是曲线的一条切线，则实数的值是_【答案】；【解析】分析】设出切点坐

3、标，利用导数的几何意义写出在点处的切线方程，由直线是是曲线的一条切线，根据对应项系数相等可求出实数的值【详解】设切点则在点处的切线方程为整理得直线是是曲线的一条切线，故答案为：【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，属于基础题题.6.在中，则_【答案】；【解析】【分析】根据余弦定理求解即可.【详解】由余弦定理可知即解得：或（舍）故答案为：【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，属于基础题.7.设，是两条不同的直线，是一个平面，有下列四个命题：若，则； 若，则；若，则； 若，则；其中真命题是_（写出所有真命题的序号）【答案】；【解析】【分析】对，不一定垂直；对，根据线面垂直的性质；对，直线可能

4、异面；对，可能平行.【详解】如图所示：正方体中，对，取直线为，直线为，平面为面，显然不成立，故错误；对，根据线面垂直的性质，故正确；对，直线可能异面，故错误；对，取直线分别为直线、，为平面，显然平行，故错误；故答案为：.【点睛】本题考查空间中线、面位置关系，考查空间想象能力，属于基础题.8.已知函数，数列的通项公式为当取得最小值时，的所有可能取值集合为_【答案】；【解析】【分析】令，借助导数得出，要使得最小，要尽量接近，令，解出的值，即可得出答案.【详解】令令，则函数在上单调递减，在上单调递增由，得数列的最小值为，即要使得最小，要尽量接近令解得或即的所有可能取值集合为故答案为：【点睛】本题主要

5、考查了确定数列中的最小项，属于中档题.9.下列四个命题：函数是偶函数；函数的最小正周期是；把函数的图象向右平移个单位长度可以得到的图象；函数在区间上是减函数其中是真命题的是_（写出所有真命题的序号）【答案】；【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义判断；将函数转化为判断；利用图象的变换判断；将函数转化为判断.【详解】因为，所以是偶函数，故正确；因为，所以最小正周期是，故正确；把函数的图象向右平移个单位长度得到，故正确；因为，所以在区间上是增函数，故错误故答案为：【点睛】本题主要考查三角函数的性质以及图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10.已知数列满足，对于任意的正整数都有，则_【答案】

6、4023【解析】【分析】再写一式，两式相减可推断出，进而可知数列是以3为周期的数列，通过，求得，而，故可知的答案【详解】依题意可知，两式相减得，即，数列是以3为周期的数列，故答案为：4023【点睛】本题考查数列的递推式和数列的求和问题，解题的关键是找出数列的周期性11.常数，和正变量，满足，若的最小值为64，则_【答案】64【解析】【分析】由，结合基本不等式，即可得出答案.【详解】所以，又，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，属于中档题.12.已知中，边上的中线，若动点满足，则的最小值是_【答案】【解析】【分析】由条件可得在线段上，然后，设，则可得，然后利用二次函数的知识可

7、得答案.【详解】由，得，因为，在线段上，设，则故答案为：【点睛】本题考查向量基本定理、向量数量积，注意应用三点共线的充要条件，考查数形结合思想和计算求解能力，属于中档题.13.若函数零点都在区间上，则使得方程有正整数解的实数的取值的个数为_【答案】3【解析】【分析】由以及题设条件得出，利用导数得出函数的单调性以及极大值，进而确定方程有正整数解在区间上，再得出，从而得出取值的个数.【详解】函数的零点都在区间上又,令或函数的零点都在区间上,令解得当或时,当时,则函数在，上单调递增，在上单调递减当时,有极大值,结合函数的单调性，知方程有正整数解在区间上此时令,可得此时有,由于为大于的整数由上知,令时

8、,不等式成立当时,有故可得的值有三个故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题以及根据函数的零点个数求参数范围，属于中档题.14.设均大于1的自然数，函数，若存在实数，使得，则_【答案】【解析】试题分析:由题设可得,即,因,且存在使得这个式子成立,所以,因为,所以,即,也即,当时,此时不成立;当时,不等式成立;当时,则,矛盾, 不等式成立.故,则,应填答案.考点：三角变换公式、正弦函数的有界性及不等式成立的条件的综合运用【易错点晴】本题设置了一道以方程为背景的综合应用问题.其的目的意在考查在转化化归思想的意识及运用所学知识去分析问题解决问题的能力.解答本题时要充分运用题设中提供

9、的信息,将问题等价转化为方程,即有解问题.解答时先利用构造不等式,然后再分析推证,从而获得答案.二、解答题15.在锐角中，角、的对边分别为、，且满足（I）求角的大小；（）设，试求的取值范围【答案】（I）；（）【解析】【详解】解：（），又， （）， 是锐角三角形， ，当时，取最大值；且，16.如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，分别是，的中点（1）证明：；（2）判断直线和平面的位置关系，并加以证明【答案】（1）证明见解析；（2）平面，证明见解析.【解析】【分析】（1）根据平面，得到又，即，利用线面垂直的判定定理证明即可.（2）平面，取的中点为，连接，由三角形中位线得到，从而，得到四边形是平行四边形

10、，所以，再由线面平行的判定定理证明.【详解】（1）因为平面，又平面，所以因为，所以，且，所以平面又平面，所以（2）平面证明如下：如图所示：设的中点为，连接，因为，分别是，的中点，所以又，而，所以所以四边形是平行四边形所以因为平面，平面，所以平面【点睛】本题主要考查线面垂直和线面平行的判定定理以及平面几何知识，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题.17.已知函数，其中a是大于0的常数.(1)求函数的定义域；(2)当时，求函数在上的最小值；(3)若对任意恒有，试确定a的取值范围.【答案】（）当时，定义域为，当时，定义域为，当时，定义域为；（）；（）【解析】【分析】（）由对分两种情况：

11、一、；二、求两种情况下定义域；（）令，求导知在上是增函数，由此得在上为增函数，最小值为；（）本题转化为即恒成立，进而转化为求在的最大值【详解】（1）由,得,时,恒成立, 定义域为,时, 定义域为，时, 定义域为.（2）设,当时，,恒成立,在上是增函数,在上是增函数,在上是增函数,在上最小值为.（3）对任意恒有,即对恒成立., 而在上是减函数, 即的取值范围为.考点：对数函数的定义域；导数求函数单调性；二次函数的最值18.已知数列的前项和为，且（1）若为等差数列，且求该等差数列的公差；设数列满足，则当为何值时，最大？请说明理由；（2）若还同时满足：为等比数列;；对任意的正整数存在自然数，使得、依

12、次成等差数列，试求数列的通项公式【答案】（1）；当或时，最大；（2）.【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式及前项和公式，建立方程组，即可求得该等差数列的公差；求出的通项公式，进而得到的通项公式，利用，判断的单调性，进而得解；（2）根据等比数列的性质，并结合，初步确定的通项，再根据等差数列的性质，即可求得的通项公式.【详解】（1）由，得解得，该等差数列的公差.由知，所以，则，所以，且当 时，单调递增，当时，单调递减，故当或时，最大.（2）因为是等比数列，则，又，所以或，由，得，解得，由，得，解得，从而或或或，又因为、依次成等差数列，得，而公比，所以，即，从而（*）当时，（*）式不成立；当

13、时，解得；当时，（*）式不成立；当时，（*）式不成立综上所述，满足条件的.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、等差数列的前项和公式、数列的单调性、等比数列的前项和公式、等差数列的性质及等比数列的性质，考查基本公式的应用及运算求解能力，熟记公式是本题的解题关键，属于中档题.19.给出两块相同的正三角形铁皮（如图1，图2），（1）要求用其中一块剪拼成一个三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小（2）设正三角形铁皮的边长为，将正三角形铁皮的三个角切去三个全

14、等的四边形，再把它的边沿虚线折起（如图3），做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？【答案】（1）答案见解析；（2）当箱子底边长时，箱子容积最大，最大值为【解析】【分析】可以利用正三角形的图形特征，进行分割直接求解比较大小即可(2) 设箱底边长为，列出，利用求导的方法求出最值点，据此即可求解【详解】解：（1）如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的，有一组对角为直角，余下部分按虚线折起，可成一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱锥的上

15、底依上面剪拼方法，有推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为现在计算它们的高：，所以 （2）设箱底边长为，则箱高为，箱子的容积为由解得（舍），且当时，；当时，所以函数在处取得极大值，这个极大值就是函数的最大值：答：当箱子底边长为时，箱子容积最大，最大值为【点睛】本题考查学生的空间想象能力，棱锥棱柱的结构特征，以及利用导数求最值，属于中档题.20.设是偶函数，且当时，（1）当时，求的解析式；（2）设函数在区间上的最大值为，试求的表达式；（3）若方程有四个不同的实根，且它们成等差数列，试探求与满足的条件【答案】（1）；（2）；（3）与满

16、足的条件为且，或且，或且.【解析】【分析】（1）设、，利用已知函数的解析式，即可求得结论；（2）因为是偶函数，所以它在区间，上的最大值即为它在区间，上的最大值，分类讨论，即可求得结论；（3）设这四个根从小到大依次为，则当方程在，上有四个实根时，由，且，得，从而，且要求对恒成立，由此可得结论【详解】解：（1）当时，同理，当时，所以，当时，的解析式为（2）因为是偶函数，所以它在区间上的最大值即为它在区间上的最大值，当时，在上单调递增，在上单调递减，所以当时，在与上单调递增，在与上单调递减，所以此时只需比较与的大小（i）当时，所以（ii）当时，所以当时，在与上单调递增，在上单调递减，且，所以.综上所述，（3）设这四个根从小到大依次为，当方程在上有四个实根时，由，且，得，从而，且要求对恒成立（i）当时，在上单调递减，所以对恒成立，即适合题意（ii）当时，欲对恒成立，只要，解得，故此时应满足当方程在上有两个实根时，且，所以必须满足，且，解得当方程在上无实根时，由，解得，所以，且由，解得综上所述，与满足的条件为且，或且，或且【点睛】本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查数列与函数的结合，属于难题