江西省2021届高三下学期5月联考数学（理）试题 WORD版含答案.docx

1、江西省2021届高三下学期5月联考数学试卷（理科）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号，考场号和座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则A.B.C.D.2.设复数z满足，则z在复平面内对应的点位于A.第一象限B.第二象限C

2、.第三象限D.第四象限3.在中，则的面积为A.B.2C.4D.4.生物入侵指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q，一年四季均可繁殖繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型来描述该物种累计繁殖数量与入侵时间（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，.据此，累计繁殖数量比现有数据增加3倍所需要的时间约为（，）A.6.9天B.11.0天C.13.8天D.22.0天5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长棱与最短棱所在直线夹个角的余弦值为A.B.C.D.6.家庭开支是指一般生

3、活开支的人均细分.如图所示的是2017年和2020年小王的家庭收人用于各项支出的比例分配图，其中房贷每年的还款数额相同.根据以上信息，判断下列结论中正确的是A.小王一家2020年的家庭收入比2017年增加了1倍B小王一家2020年用于其他方面的支出费用是2017年的2倍C.小王一家2020年用于饮食的支出费用相比2017年明显增加D.小王一家2020年用于娱乐的费用比2017年增加了7%7.已知非零向量，满足，且，则与的夹角为A.45B.135C.60D.1208.三星堆遗址，位于四川省广汉市，距今约三千到五千年.2021年2月4日，在三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮.玉琮是一种内圆外方的筒

4、型玉器，是一种古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图所示，圆筒内径长2cm，外径长3cm，筒高4cm，中部为棱长是3cm的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为A.B.C.D.9.把函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数的图象，则A.B.的最小正周期为C.的图象关于直线对称D.在上单调递减10.已知，则A.B.1C.D.011.若函数存在零点，则的取值范围为A.B.C.D.12.已知斜率为k的直线l过抛物线的焦点，且与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的准线上一点满足，则A.B.C.5D.6二、填空题：本大题共4小题，

5、每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13.若，则 .14.已知双曲线的右焦点为F，其一条渐近线的方程为，点P为双曲线与圆的一个交点，若，则双曲线的离心率为 ； .（第一空2分，第二空3分）15.已知函数的定义域为，对任意，恒成立，且当时，则 .16.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是古代中国劳动人民的智慧结晶.它是由一块正方形、一块平行四边形和五块等腰直角三角形组成的，可拼成1600种以上的图形.如图所示的是一个用七巧板拼成的大正方形飞镖靶盘（靶盘各块上标有分值），现向靶盘随机投镖两次，每次都没脱靶（不考虑区域边界），则两次投中分值之和为2的概率为 .三、解答题：共70分.解

6、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知数列中，其前项和满足.（1）求；（2）记，求数列的前项和.18.2021年，我国脱贫攻坚战取得了全面胜利.为了巩固拓展脱贫攻坚成果，不断提高群众的幸福感，某县继续推进山羊养殖项目.为了建设相应的配套项目，该县主管部门对该县近年来山羊养殖业的规模进行了跟踪调查，得到了该县每年售卖山羊数量（单位：万只）与相应年份代码的数据如下表：年份201520162017201820192020年份代码123456售卖山羊（万只）111316152021

7、（1）由表可知与有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；（2）已知该县养殖的山羊品种只有甲、乙两种，且甲品种山羊与乙品种山羊的数量之比为2：3，甲品种山羊达到售卖标准后的出售价为2500元/只，乙品种山羊达到售卖标准后的出售价为2700元/只.为了解养殖山羊所需要的时间，该县主管部门随机抽取了甲品种山羊和乙品种山羊备100只进行调查，得到要达到售卖标准所需的养殖时间如下表：养殖时间（月数）6789甲品种山羊（只）20353510乙品种山羊（只）10304020以上述样本统计的养殖山羊所需时间情况估计全县养殖山羊所需时间（即以各养殖时间的频率作为各养殖时间的概率），且每月每只山羊的养殖成本为

8、300元，结合（1）中所求回归方程，试求2022年该县养殖山羊所获利润的期望（假设山羊达到售卖标准后全部及时卖完）.（利润=卖山羊的收入-山羊的养殖成本）参考公式及数据：回归直线方程为，其中，.19.如图，在三棱柱中，.（1）证明：平面平面；.（2）若，求二面角的余弦值.20.已知椭圆的离心率为，椭圆上的点离右焦点F的最短距离为1.（1）求椭圆E的方程.（2）直线l（斜率不为0）经过F点，与椭圆E交于A，B两点，问x轴上是否存在一定点P，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.21.已知函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若的两个极值点为，且，不等式恒成立，求实数的取值范围

9、.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）已知点，直线与曲线交于A，B两点，求.23.选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2若对任意的恒成立，求的最小值.高三数学试卷参考答案（理科）1.B【解析】本题考查集合的并集，考查运算求解能力.因为，所以.2.D【解析】本题考查复数的四则运算及复数的概念，考查运算求解能力.因为，所以在

10、复平面内对应的点位于第四象限.3.A【解析】本题考查余弦定理，考查运算求解能力.因为，由余弦定理得，所以，所以.又因为，所以，所以.4.C【解析】本题考查函数的性质，考查信息提取能力及运算求解能力.因为，所以，解得.设初始时间为，初始累计繁殖数量为，累计繁殖数量增加3倍后的时间为，则天.5.D【解析】本题考查三视图，考查空间想象能力与运算求解能力.该几何体是三棱锥，将该三棱锥放入长方体中，如图，由三视图可知长方体的长、宽、高分别为3，4，5.计算可得最长棱，最短棱.因为，所以最长棱与最短棱所在直线夹角的余弦值为.6.C【解析】本题考查统计图，考查数据处理能力.因为小王家房贷每年的还款数额相同，

11、设为，则2017年总收入为，2020年总收入为.因为小王家2020年的家庭收入比2017年增加了，即增加了50%，所以A错误.因为小王家2017年和2020年用于其他方面的支出费用分别为和，所以B错误.因为小王家2017年和2020年用于饮食的费用分别为和，明显增加，所以C正确.因为小王家2017年和2020年的总收入不一样，所以D错误.7.B【解析】本题考查平面向量的数量积，考查运算求解能力.因为，所以，所以.设与的夹角为，则.因为，所以.8.A【解析】本题考查简单空间几何体的体积，考查空间想象能力与运算求解能力.由图可知，组合体的体积.9.D【解析】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算

12、求解能力.将其图象向左平移个单位长度得到的图象，再问上平移1个单位长度可得到的图象故A，B错误.令，得，当时，；当时，故C错误.令，.得，.所以在上单调递减，故D正确.10.A【解析】本题考查二项式定理，考查运算求解能力.因为的展开式中，都大于零，而都小于零，所以.令，则.所以.11.B【解析】本题考查导数在函数中的应用，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.因为，所以.令，因为在上单调递增，所以，即.当时，0；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，所以.要使存在零点，只需，即.12.C【解析】本题考查抛物线的性质，考查化归与转化的数学思想及运算求解能力.由题意知，抛物线的准线为，即，得，所以抛

13、物线的方程为，其焦点为.因为直线过抛物线的焦点，所以直线的方程为.因为，所以M在以AB为直径的圆上.设点，联立方程组两式相减可得.设AB的中点为，则.因为点在直线上，所以，所以点是以AB为直径的圆的圆心.由抛物线的定义知，圆Q的半径，因为，所以，解得，所以弦长.13.【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力.因为，所以.14.；8【解析】本题考查双曲线的离心率及圆的方程，考查化归与转化的数学思想.设为双曲线的左焦点，因为，一条渐近线的方程为，所以，故离心率为.圆的圆心为双曲线的左焦点，连接（图略）.因为，所以在双曲线的右支上，由，得.15.54【解析】本题考查函数的性质，考查运算求解能力

14、.因为，所以.16.【解析】本题考查相互独立事件的概率，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.由图可知，所以两次投中分值之和为2的概率为.17.解：（1）当时，所以，即，在中，令，可得.因为，所以，故是首项为l，公比为2的等比数列，其通项公式为，所以.（2）因为，所以.评分细则：【1】第（l）问没有验证的情况，扣1分；【2】第（2）问的结果写成不扣分.18.解.（1）因为，所以，可得.所以y与x之间的线性回归方程为.（2）由（1）可知，当时，可得，其中甲品种山羊有万只，乙品种山羊有万只.由频率估计概率，可得甲品种山羊达到售卖标准需要的养殖时间为6个月，7个月，8个月和9个月的概率分别为0.2，0.

15、35，0.35和0.1，所以甲品种山羊要达到售卖标准需要养殖时间的期望为60.2+70.35+80.35+90.1=7.35（月）.由频率估计概率，可得乙品种山羊达到售卖标准需要的养殖时间为6个月，7个月，8个月和9个月的概率分别为0.1，0.3，0.4和0.2，所以乙品种山羊要达到售卖标准需要养殖时间的期望为60.1+70.3+80.4+90.2=7.7（月）.养殖每只甲品种山羊利润的期望为2500-7.35300=2500-2205=295（元），养殖每只乙品种山羊利润的期望为2700-7.7300=2700-2310=390（元），故2022年该县售卖的山羊所获利润的期望为10295+1

16、5390=8800（万元）.评分细则：【1】第（l）问的计算也可以用第二个公式，计算正确正常给分；【2】第（2）问的结果没带单位扣1分.19.（1）证明：如图，连接.在中，由余弦定理得，所以，所以.同理.又因为，所以平面.因为平面，所以平面平面.（2）解：以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.，.设平面的法向量为，则令，得.设平面的法向量为，则令，得，所以.因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.评分细则：【1】第（1）问请严格按步骤给分；【2】第（2）问中，法向量的取法不唯一，计算正确正常给分.20.解：（1）因为，所以，因为椭圆上的点离右焦点F的最短距离为，

17、所以，所以椭圆的方程为.（2）当P与F重合时，显然符合题意；当P与F不重合时，设直线l的方程为，联立方程组得，则，.因为，所以为的角平分线，所以，即，整理得，即，解得，故存在，满足题意.评分细则：【1】第（l）问请严格按步骤给分；【2】第（2问也可设直线l的方程为，没有考虑与F重合的情况，扣1分.参照上述步骤给分.21.解：（1）当时，.因为，所以所求切线方程为，即.（2）因为，所以，是方程的两个正根.令，则，解得.因为，所以.由，可得.因为，所以，即恒成立.令，因为，所以，则，整理得.令，则.所以在上单调递减，所以.由，解得，故的取值范围是.评分细则：【1】第（1）问切线方程未写成一般式不扣

18、分；【2】第（2）问若用其他方法解答，只要解答正确，酌情按步骤给分.22.解：（l）由得，即直线的普通方程为.由，得.因为，故曲线的直角坐标方程为.（2）直线的参数方程为（t为参数），化为标准形式（t为参数），代入，得.设A，B对应的参数分别为，则，.可知，异号，所以.因为，所以.评分细则：【1】第（l）问直线方程未写成一般式不扣分，曲线C的直角坐标方程未写成标准形式也不扣分；【2】第（2）问若用其他方法解答，解答正确则正常给分.23.解：（1）当时，.当时，恒成立，所以；当时，由，得，所以；当时，不成立.所以不等式的解集为.（2）因为对任意的恒成立，所以.因为，所以.因为，所以.，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为8.评分细则：【1】第（1）问也可以先将写成分段函数，再结合函数单调性解答解答正确则正常给分；【2】第（2）问中没有说明取等条件，扣1分.