江苏省泰州市2015届高三下学期第三次调研测试数学试题 WORD版含解析.doc

1、泰州市2015届高三第三次调研测试数学学科一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1设集合A=3，m，B=3m，3，且A=B，则实数m的值是 【答案】【解析】试题分析：因为，所以，即.考点：集合运算.2已知复数z=(i为虚数单位)，则z的实部为 【答案】【解析】试题分析：,所以其实部为.考点：复数相关概念及运算.3已知实数x，y满足条件则z=2x+y的最小值是 【答案】【解析】试题分析：如下图所示，当直线经过或行域的边界点时，目标函数的最小值.考点：线性规划.4为了解学生课外阅读的情况，随机统计了n名学生的课外阅读时间，所得数据都在中，其频率分布直方图

2、如图所示已知在中的频数为100，则n的值为 【答案】1000【答案】【解析】试题分析：在中的频率为，所以.考点：统计案例.5在如图所示的算法流程图中，若输出的y的值为26，则输入的x的值为 【答案】【解析】试题分析：该算法功能为，当时，由得或（舍），所以，即输入的值为.考点：算法初步.6从集合1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取一个数记为x，则log2x为整数的概率为 【答案】【解析】试题分析：当取集合中的数时，为整数，所以概率.考点：古典概型、对数的性质.7在平面直角坐标系xOy中，点F为抛物线x2=8y的焦点，则F到双曲线的渐近线的距离为 【答案】【解析】试题分析：抛物线的焦点的坐标为

3、，双曲线的渐近线方程为，即，所以点到渐近线的距离为.考点：抛物线、双曲线性质，点到直线距离公式.8在等差数列an中，若an+an+2=4n+6（nN*），则该数列的通项公式an= 【答案】【解析】试题分析：设等差数列的公差为，当时， 当时， 由得，所以.考点：等差数列定义及性质.9给出下列三个命题：“ab”是“3a3b”的充分不必要条件；“”是“coscos”的必要不充分条件；“a=0”是“函数f(x) = x3+ax2（xR）为奇函数”的充要条件其中正确命题的序号为 【答案】【解析】试题分析：因为函数为增函数，所以“”是“”的充要条件，故错；由余弦函数的性质可知“”是“coscos”的既不充

4、分也不必要条件，故错；当时，是奇函数，当是奇函数时，由得，所以正确.考点：充要条件.10已知一个空间几何体的所有棱长均为1 cm，其表面展开图如图所示，则该空间几何体的体积V= cm3【答案】【答案】【解析】试题分析：如下图所示，该几何体下面是一个棱长为1的正方体，上面是一个各棱长为1的正四棱锥，所以该几何体体积为.考点：几何体结构及多面体体积.11如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E为AB的中点以A为圆心，AE为半径，作弧交AD于点F若P为劣弧上的动点，则的最小值为 【答案】【解析】试题分析：以为坐标原点建立如下图所示平面直角坐标系，则，设则，所以，当时，取得最小值.考点：向量数量积的坐

5、标运算. 12已知函数若函数f(x)的图象与x轴有且只有两个不同的交点，则实数m的取值范围为 【答案】【解析】试题分析：当，所以函数在区间上单调递增，当时，也为单调函数，而函数的图象与轴有两个公共点，所以在区间与区间扣有一个公共点，所以有解之得，故实数的取值范围是.考点：导数与函数，函数零点与方程.13在平面直角坐标系xOy中，过点P（-5，a）作圆x2+y2-2ax+2y-1=0的两条切线，切点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，且，则实数a的值为 【答案】或【解析】试题分析：圆心为，由得，又因为点在圆上，所以，所以，即，又因为，所以解之得或.考点：直线与圆位置关系、直线与直线位置关系

6、.14已知正实数x，y满足，则xy的取值范围为 【答案】【解析】试题分析：设，则，所以即，解之得.考点：基本不等式、换元法.二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，B1CAB，侧面BCC1B1为菱形（1）求证：平面ABC1平面BCC1B1；（2）如果点D，E分别为A1C1，BB1的中点，求证：DE平面ABC1ABCDA1B1C1（第15题）E【答案】(1)(2)见解析.【解析】试题分析：(1)要证平面平面，只要证平面即可，由已知条件易证B1C平面。（2）取中点，求证平面平

7、面即可.试题解析：（1）因三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1为菱形，故B1CBC1 2分ABCDA1B1C1（第15题答图）EF又B1CAB，且AB，BC1为平面ABC1内的两条相交直线，故B1C平面ABC1 5分因B1C平面BCC1B1，故平面ABC1平面BCC1B1 7分（2）如图，取AA1的中点F，连DF，FE又D为A1C1的中点，故DFAC1，EFAB因DF平面ABC1，AC1平面ABC1，故DF面ABC1 10分同理，EF面ABC1因DF，EF为平面DEF内的两条相交直线，故平面DEF面ABC1 12分因DE平面DEF，故DE面ABC1 14分考点：平面与平面垂直、判定的性

8、质与判定.16（本小题满分14分）已知函数（其中A，为常数，且A0，0，）的部分图象如图所示（1）求函数f(x)的解析式； （2）若，求的值xyO2-2（第16题）【答案】(1).(2)考点：三角函数图象和性质，三角变换. 17（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆(ab0)的两焦点分别为F1(，0)，F2(，0)，且经过点(，)（1）求椭圆的方程及离心率； （2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k1，k2，k3，k4，且k1k2=k3k4 yxOF1F2BC（第17题）D求k1k2的值；求OB2+O

9、C2的值【答案】(1),;(2);.【解析】试题分析：(1)由焦点坐标先求出，将点的坐标代入椭圆方程可求和椭圆方程及离心率.或由椭圆定义先求出，再求出即可;(2)设出点，则.用点点的坐标表示，计算即可；由可得，用坐标代换条件都用字母表示可得，再由椭圆方程可求得，可求的值.试题解析：（1）方法一依题意，c=，a2=b2+3， 2分由，解得b2=1(b2=，不合，舍去)，从而a2=4故所求椭圆方程为： 离心率e= 5分方法二由椭圆的定义知，2a=4，即a=2 2分又因c=，故b2=1下略（2）设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则D(-x1，-y1)，于是k1k2= 8分方法一由知，k3k4=k

10、1k2=，故x1x2=所以，(x1x2)2=(-4y1y2)2，即(x1x2)2=，所以，=4 11分又2=，故所以，OB2+OC2 =5 14分方法二由知，k3k4=k1k2=将直线y=k3x方程代入椭圆中，得 9分同理，所以，=4 11分下同方法一考点：椭圆的定义和性质.18（本小题满分16分）为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200 m，圆心角为120的扇形地上建造市民广场规划设计如图：内接梯形ABCD区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径OP，OQ上，C，D在圆弧上，CDAB；OAB区域为文化展示区，AB长为m；其余空地为绿化区域，且CD长不得超过200 mABCDPQ（第1

11、8题）O（1）试确定A，B的位置，使OAB的周长最大？（2）当OAB的周长最大时，设DOC=，试将运动休闲区ABCD的面积S表示为的函数，并求出S的最大值【答案】(1) 当都为50 m时，的周长最大;(2), .【解析】试题分析：(1)设，由余弦定理及基本不等式可求出的最大值，从而可求周长的最大值.(2)当周长最大时，梯形为等腰梯形，用表示可求面积表达式，求导判断单调性可求最值.试题解析：（1）设，在中，即， 2分所以， 4分所以，当且仅当m=n=50时，取得最大值，此时周长取得最大值ABCDPQ（第18题答图）OEF答：当都为50 m时，的周长最大 6分（2）当AOB的周长最大时，梯形ACB

12、D为等腰梯形过作OFCD交CD于F，交AB于E，则分别为AB，CD的中点，所以，由，得 8分在中，又在中，故 10分所以，=， 12分（一直没有交代范围扣2分）令，又y=及y=在上均为单调递减函数，故在上为单调递减函数因0，故0在上恒成立，于是，在上为单调递增函数 14分所以当时，有最大值，此时S有最大值为答：当时，梯形面积有最大值，且最大值为 m2 16分考点：余弦定理、基本不等式，导数与函数单调性、最值.19（本小题满分16分）已知数列an，bn中，a1=1，nN*，数列bn的前n项和为Sn（1）若，求Sn；（2）是否存在等比数列an，使对任意nN*恒成立？若存在，求出所有满足条件的数列a

13、n的通项公式；若不存在，说明理由；（3）若a1a2an，求证：0Sn2【答案】（1）；（2）存在或；（3）见解析.【解析】试题分析：(1)当时，由公式可求出，由等比数列求和直接求之即可；（2）先找到使条件成立的数列，再通过计算进行证明；（3）由已知条件可得，即，可得，又，求和放缩可证.试题解析：（1）当an=时，bn= 2分所以，Sn= 4分（2）满足条件的数列an存在且只有两个，其通项公式为an=1和an=证明：在中，令n=1，得b3=b1设an=，则bn= 6分由b3=b1，得若q=，则bn=0，满足题设条件此时an=1和an= 8分若q，则，即q2 =1，矛盾综上，满足条件的数列an存在

14、，且只有两个，一是an=1，另一是an= 10分（3）因1=a1a2an，故，01，于是01所以，0，n=1，2，3，所以，Sn=b1+b2+bn0 13分又，=故，Sn=b1+b2+bn=2所以，0Sn2 16分考点：1.等比数列的通项公式与求和公式；2.裂项相消法求和；3.放缩法证明不等式. 20（本小题满分16分）已知函数（aR）（1）若a=2，求函数在(1，e2)上的零点个数（e为自然对数的底数）；（2）若恰有一个零点，求a的取值集合；（3）若有两零点x1，x2(x1x2)，求证：2x1+x2-1【答案】(1)1;(2);见解析.【解析】试题分析：(1)求导，由导数可知该函数在区间上为

15、减函数，且，可知只有一个零点；（2）由函数的单调性可知，函数的最大值为，所以函数只有一个零点可转化为即可.(3)依题意有，所以，设，于是，构造函数，由函数单调性可证，再构造函数，则函数的性质证明不等式即可.试题解析：（1）由题设，=，故在(1，e2)上单调递减 2分所以在(1，e2)上至多只有一个零点又0，故函数在(1，e2)上只有一个零点 4分（2）=，令=0，得x=1当x1时，0，在上单调递减；当0x1时，0，在(0，1)上单调递增，故=f(1)=a-1 6分当=0，即a=1时，因最大值点唯一，故符合题设； 8分当0，即a1时，f(x)0恒成立，不合题设；当0，即a1时，一方面，1，0；另

16、一方面，1，2a-ea0(易证：exex)，于是，f (x)有两零点，不合题设综上，a的取值集合为1 10分（3）证：先证x1+x22依题设，有a=，于是记=t，t1，则，故于是，x1+x2=x1(t+1)=，x1+x2-2=记函数g(x)=，x1因0，故g(x)在上单调递增于是，t1时，g(t)g(1)=0又lnt0，所以，x1+x22 13分再证x1+x2-1因f(x)=0h(x)=ax-1-xlnx=0，故x1，x2也是h(x)的两零点由=a-1-lnx=0，得x=(记p=)仿（1）知，p是h(x)的唯一最大值点，故有 作函数h(x)=，则0，故h(x)单调递增故，当xp时，h(x)h(

17、p)=0；当0xp时，h(x)0于是，ax1-1=x1lnx1整理，得0，即，0同理，0 故，于是，综上，2x1+x2-1 16分考点：1.函数零点与方程的解；2.导数与函数单调性；3.函数与不等式证明.21【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A（本小题满分10分）如图，BC为圆O的直径，A为圆O上一点，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，AHPB于H求证：PAAH=PCHBCABOP（第21（A）题）H【答案】见解析. 【解析】试题分析：连AC，AB,由圆的知识可知，且，从而

18、可得，所以有，可证结论成立.试题解析：连AC，AB因BC为圆O的直径，故ACAB又AHPB，故AH2=CHHB，即5分CABOP（第21（A）题答图）H因PA为圆O的切线，故PAC=B在RtABC中，B+ACB=90在RtACH中，CAH+ACB=90所以，HAC=B所以，PAC=CAH，所以，即所以，即PAAH=PCHB10分考点：1.圆的性质;2.三角形内角平分线性质定理；3.比例性质.B（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，0），B（2，0），C（1，2），矩阵，点A，B，C在矩阵M对应的变换作用下得到的点分别为，求的面积【答案】【解析】试题分析：由矩阵变换公式直接

19、代入计算，得到的坐标即可.试题解析：因，即 6分故 10分考点：矩阵变换公式.C（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数，r为常数，r0）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求r的值【答案】【解析】试题分析：将圆的极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程化为普通方程，由勾股定理可求.试题解析：由，得，即直线l的方程为 3分由得曲线的普通方程为，圆心坐标为， 6分所以，圆心到直线的距离，由，则 10分考点：1.极坐标与直角坐标互化；2.参数方程与普通方程互化；3.直线与圆的位置关系.D（本小题满分

20、10分）已知实数a，b，c，d满足abcd，求证：【答案】见解析.考点：1.柯西不等式；2.不等式证明. 【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分）如图，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，（1）求与面所成角的正弦值；（2）点在侧棱上，若二面角E-BD-C1的余弦值为，求的值【答案】(1); (2)【解析】试题分析：建立空间直角坐标系，由空间向量相关公式计算即可.试题解析：（1）以为原点，DA，DC，DD1分别为轴，轴，轴，ABCDA1B1C1D1（第22题答图）xyz建立如图所示空间直角坐标

21、系D-xyz设，则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，2），A1（1，0，2），B1（1，1，2），C1（0，1，2） 2分（1）设与面所成角的大小为，设平面的法向量为n=（x，y，z），则，即令，则，所以，所以与平面所成角的正弦值为 6分（2）设E(1，0，)，02设平面的法向量为n1=（x1，y1，z1），平面的法向量为n2=（x2，y2，z2），由，得，令，则，由，得，令z2=1，则x2=2，y2=-2，所以，得所以 10分考点：空间向量的应用.23（本小题满分10分）袋中共有8个球，其中有3个白球，5个黑球，这些球除颜色外完全相同从袋中

22、随机取出一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，并且另补一个白球放入袋中重复上述过程n次后，袋中白球的个数记为Xn （1）求随机变量X2的概率分布及数学期望E(X2)；（2）求随机变量Xn的数学期望E(Xn)关于n的表达式【答案】(1)X2345P.(2).【解析】(1)的可能取值有3、4、5，分别计算其相应的概率可得分布列与期望；（2）设P(Xn=3+k)=pk，k=0，1，2，3，4，5，由已知可得，构造等比数列求之即可.试题分析：试题解析：（1）由题意可知X2=3，4，5当X2=3时，即二次摸球均摸到白球，其概率是P(X2=3)=；当X2=4时，即二次摸球恰好

23、摸到一白，一黑球，其概率是P(X2=4)=；当X2=5时，即二次摸球均摸到黑球，其概率是P(X2=5)=3分所以随机变量X2的概率分布如下表：X2345P（一个概率得一分 不列表不扣分）数学期望E(X2)= 5分（2）设P(Xn=3+k)=pk，k=0，1，2，3，4，5则p0+p1+p2+p3+p4+p5=1，E(Xn)=3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5P(Xn+1=3)=，P(Xn+1=4)=p0+p1，P(Xn+1=5)=p1+p2，P(Xn+1=6)=p2+p3，P(Xn+1=7)=p3+p4，P(Xn+1=8)=p4+p5， 7分所以，E(Xn+1)=3p0+4(p0+p1)+5(p1+p2)+6(p2+p3)+7(p3+p4)+8(p4+p5)=p0+p1+p2+p3+p4+p5=(3p0+4p1+5p2+6p3+7p4+8p5)+ p0+p1+p2+p3+p4+p5=E(Xn)+1 9分由此可知，E(Xn+1)-8=(E(Xn)-8)又E(X1)-8=，所以E(Xn)= 10分考点：1.概率分布列与期望；(2)由数列的递推公式求通项公式.