全国通用2022高考数学二轮复习专题一第4讲导数与函数图象的切线及函数零点问题.docx

1、第4讲导数与函数图象的切线及函数零点问题一、选择题1.曲线y在点(1，1)处的切线方程为()A.y2x1 B.y2x1C.y2x3 D.y2x2解析易知点(1，1)在曲线上，且y，所以切线斜率ky|x12.由点斜式得切线方程为y12(x1)，即y2x1.答案A2.(2022太原模拟)若曲线f(x)acos x与曲线g(x)x2bx1在交点(0，m)处有公切线，则ab的值为()A.1 B.0 C.1 D.2解析f(x)asin x，f(0)0.又g(x)2xb，g(0)b，b0.又g(0)1m，f(0)am1，ab1.答案C3.(2022邯郸模拟)直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1，3

2、)，则2ab的值为()A.2 B.1 C.1 D.2解析y3x2a.y|x13ak，又3k1，k2，a1.又31ab，b3，2ab231.答案C4.(2022武汉模拟)曲线yxln x在点(e，e)处的切线与直线xay1垂直，则实数a的值为()A.2 B.2 C. D.解析依题意得y1ln x，y|xe1ln e2，所以21，a2，故选A.答案A5.已知e是自然对数的底数，函数f(x)exx2的零点为a，函数g(x)ln xx2的零点为b，则下列不等式中成立的是()A.f(a)f(1)f(b) B.f(a)f(b)f(1)C.f(1)f(a)f(b) D.f(b)f(1)f(a)解析由题意，知

3、f(x)ex10恒成立，所以函数f(x)在R上是单调递增的，而f(0)e00210，f(1)e112e10，所以函数f(x)的零点a(0，1)；由题意，知g(x)10，所以g(x)在(0，)上是单调递增的，又g(1)ln 11210，g(2)ln 222ln 20，所以函数g(x)的零点b(1，2).综上，可得0a1b2.因为f(x)在R上是单调递增的，所以f(a)f(1)f(b).答案A二、填空题6.已知f(x)x3fx2x，则f(x)的图象在点处的切线斜率是_.解析f(x)3x22fx1，令x，可得f32f1，解得f1，所以f(x)的图象在点处的切线斜率是1.答案17.(2022成都模拟)

4、关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_.解析由题意知使函数f(x)x33x2a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x10，x22.当x0时，f(x)0；当0x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0，所以当x0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值f(0)a；当x2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值f(2)4a，所以解得4a0.答案(4，0)8.(2022安徽卷)设x3axb0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_(写出所有正确条件的编号).a3，b3；a3，b2；a3，b2；a0，

5、b2；a1，b2.解析令f(x)x3axb，f(x)3x2a，当a0时，f(x)0，f(x)单调递增，必有一个实根，正确；当a0时，由于选项当中a3，只考虑a3这一种情况，f(x)3x233(x1)(x1)，f(x)极大f(1)13bb2，f(x)极小f(1)13bb2，要使f(x)0仅有一个实根，则而f(x)极大0，b2，正确，所有正确条件为.答案三、解答题9.已知曲线C：yeax.(1)若曲线C在点(0，1)处的切线为y2xm，求实数a和m的值；(2)对任意实数a，曲线C总在直线l：yaxb的上方，求实数b的取值范围.解(1)yaeax，因为曲线C在点(0，1)处的切线为y2xm，所以12

6、0m且y|x02，解得m1，a2.(2)法一对于任意实数a，曲线C总在直线yaxb的上方，等价于x，aR，都有eaxaxb，即x，aR，eaxaxb0恒成立.令g(x)eaxaxb，若a0，则g(x)1b，所以实数b的取值范围是b1；若a0，g(x)a(eax1)，由g(x)0得x0，g(x)，g(x)的变化情况如下：x(，0)0(0，)g(x)0g(x)极小值所以g(x)的最小值为g(0)1b，所以实数b的取值范围是b1.综上，实数b的取值范围是b1.法二对于任意实数a，曲线C总在直线yaxb的上方，等价于x，aR，都有eaxaxb，即x，aR，beaxax恒成立.令tax，则等价于tR，b

7、ett恒成立.令g(t)ett，则g(t)et1.由g(t)0得t0，g(t)，g(t)的变化情况如下：t(，0)0(0，)g(t)0g(t)极小值所以g(t)ett的最小值为g(0)1，所以实数b的取值范围是b1.10.(2022济南模拟)已知函数f(x)2ln xx2ax(aR).(1)当a2时，求f(x)的图象在x1处的切线方程；(2)若函数g(x)f(x)axm在上有两个零点，求实数m的取值范围.解(1)当a2时，f(x)2ln xx22x，f(x)2x2，切点坐标为(1，1)，切线的斜率kf(1)2，则切线方程为y12(x1)，即y2x1.(2)g(x)2ln xx2m，则g(x)2

8、x.因为x，所以当g(x)0时，x1.当x1时，g(x)0；当1xe时，g(x)0.故g(x)在x1处取得极大值g(1)m1.又gm2，g(e)m2e2，g(e)g4e20，则g(e)g，所以g(x)在上的最小值是g(e).g(x)在上有两个零点的条件是解得1m2，所以实数m的取值范围是.11.(2022江苏卷)已知函数f(x)x3ax2b(a，bR).(1)试讨论f(x)的单调性；(2)若bca(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是(，3)，求c的值.解(1)f(x)3x22ax，令f(x)0，解得x10，x2.当a0时，因为f(x)3x20，所以函

9、数f(x)在(，)上单调递增；当a0时，x(0，)时，f(x)0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在，(0，)上单调递增，在上单调递减；当a0时，x(，0)时，f(x)0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在(，0)，上单调递增，在上单调递减.(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)b，fa3b，则函数f(x)有三个零点等价于f(0)fb0，从而或又bca，所以当a 0时，a3ac0或当a0时，a3ac0.设g(a)a3ac，因为函数f(x)有三个零点时，a的取值范围恰好是(，3)，则在(，3)上g(a)0，且在上g(a)0均恒成立.从而g(3)c10，且gc10，因此c1.此时，f(x)x3ax21a(x1)x2(a1)x1a，因函数有三个零点，则x2(a1)x1a0有两个异于1的不等实根，所以(a1)24(1a)a22a30，且(1)2(a1)1a0，解得a(，3).综上c1.5