2021_2022版高中数学单元素养评价一解三角形素养评价检测含解析新人教A版必修520210317265.doc

1、单元素养评价(一)(第一章)(120分钟150分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.(2020青岛高一检测)已知ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c=,b=1,C=,则a=()A.B.2C.D.3【解析】选B.由余弦定理可得,cos C=,即-=,整理可得a2+a-6=0解得a=2(负值舍去).2.已知在ABC中,AB=2,sin A=,tan C=,则BC=()A.8B.8C.4D.4【解析】选B.由AB=2,sin A=,tan C=,可得cos C=sin C,由sin2C+cos2C=1,可得(sin C)2+sin2C=1,解得sin C=,由正弦定理=,可得BC=8

2、.3.(2020扬州高一检测)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=60,a=,则等于()A.B.C.D.2【解析】选D.A=60,a=,由正弦定理可得,=2,所以b=2sin B,c=2sin C,则=2.4.(2020延安高二检测)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B=60,b=,则ABC外接圆的面积是()A.2B.C.D.【解析】选B.设ABC 外接圆的半径为r,则 2r=2,解得r=1,所以ABC外接圆的面积=12=.5.(2020烟台高一检测)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a+b,sin C),n=(a+c,sin

3、B-sin A),若mn,则B的大小为()A.30B.60C.120D.150【解析】选D.因为m=(a+b,sin C),n=(a+c,sin B-sin A),若mn,所以(a+b)(sin B-sin A)-sin C(a+c)=0,由正弦定理知:(a+b)(b-a)=c(a+c),即a2+c2-b2=-ac.由余弦定理知:2accos B=-ac,所以cos B=-,因为B(0,),所以B=150.6.在ABC中,D是边BC上一点,若ADAC,sin BAC=,AD=3,AB=3,则BD=()A.B.2C.2D.3【解析】选A.如图所示.由诱导公式得sin BAC=sin=cos BA

4、D=,在三角形ABD中,由余弦定理得BD=.7.设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则C=()A.B.C.D.【解析】选B.由3sin A=5sin B可得3a=5b,又因为b+c=2a,可令a=5t,b=3t,c=7t(t0),可得cos C=-,又0C,故C=.8.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos A=(2c-a)cos B,c=2,a=1,则ABC的面积是()A.B.C.1D.【解析】选B.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos A=(2c-a)cos B,利用正弦定理得sin Bcos

5、 A=2sin Ccos B-sin Acos B,整理得:sin(A+B)=sin C=2sin Ccos B,由于sin C0,所以cos B=,由于0B,则B=.由于c=2,a=1,则SABC=acsin B=21=.【补偿训练】设a,b,c分别是ABC的内角A,B,C的对边,已知(b+c)sin(A+C)=(a+c)(sin A-sin C),则A的大小为()A.B.C.D.【解析】选C.因为A+B+C=,所以sin(A+C)=sin B,所以已知等式可化为(b+c)sin B=(a+c)(sin A-sin C),所以由正弦定理可得:(b+c)b=(a+c)(a-c),整理可得:b2

6、+c2-a2=-bc,所以由余弦定理可得:cos A=-,由A(0,),可得A=.9.在ABC中,A=60,a=3,则ABC的周长为()A.6sin(B+30)+3B.4sin(B+30)+3C.6sin(B+60)+3D.4sin(B+60)+3【解析】选A.由正弦定理可得=,所以b=2sin B,c=2sin C,因为A+B+C=180,A=60,所以C=180-A-B=120-B,那么ABC的周长:a+b+c=3+2sin B+2sin(120-B)=3+2sin B+2=3+3sin B+3cos B=3+6sin(B+30).10.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若

7、=,则ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】选D.由已知=,所以=或=0,即C=90或=.由正弦定理得=,所以=,即sin Ccos C=sin Bcos B,即sin 2C=sin 2B,因为B,C均为ABC的内角,所以2C=2B或2C+2B=180,所以B=C或B+C=90,所以ABC为等腰三角形或直角三角形.11.(2020武汉检测)如图,为了测量B,C两点间的距离,选取同一平面上A,D两点,已知ADC=90,A=60,AB=2,BD=2,DC=4,则BC的长为()A.4B.5C.6D.7【解析】选A.在ABD中,A=60,AB

8、=2,BD=2,由正弦定理得=,sin ADB=;BDC=90-ADB,cos BDC=sin ADB=;在BCD中,DC=4,BD=2,由余弦定理得,BC2=BD2+DC2-2BDDCcos BDC=+-224 =48,所以BC=4.【补偿训练】如图所示,为了测量A,B两处岛屿间的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15、北偏东45方向,再往正东方向行驶40海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60方向,则A,B两处岛屿间的距离为()A.20海里B.40海里C.20(1+)海里D.40海里【解析】选A.连接AB,由题意可知CD=40,ADC=105,BDC=45,BC

9、D=90,ACD=30,所以CAD=45,ADB=60,在ACD中,由正弦定理得=,所以AD=20,在RtBCD中,因为BDC=45,BCD=90,所以BD=CD=40.在ABD中,由余弦定理得AB=20.12.在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2=2 019c2,+=()A.B.C.D.【解析】选A.+=tan C=tan C=tan C=.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,又因为a2+b2=2 019c2,所以c2=2 019c2-2abcos C,所以1 009c2=abcos C,所以+=.二、填空题(每小题5分,共20分)13.在ABC中,a=3

10、,b=2,cos C=,则ABC的面积为.【解析】因为cos C=,0C,所以sin C=.所以SABC=absin C=32=4.答案:414.在ABC中,已知a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若b=2a,B=A+60,则A=.【解析】因为b=2a,所以sin B=2sin A,又因为B=A+60,所以sin(A+60)=2sin A,即sin Acos 60+cos Asin 60=2sin A,化简得:sin A=cos A,所以tan A=,又0A180,所以A=30.答案:30【补偿训练】在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60,则sin B=,

11、c=.【解析】由正弦定理=得=,得sin B=.由余弦定理得cos A=,解得c=3(负值舍去).答案:315.在钝角ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,B为钝角,若acos A=bsin A,则sin A+sin C的最大值为.【解析】因为acos A=bsin A,由正弦定理可得,sin Acos A=sin Bsin A,因为sin A0,所以cos A=sin B,又B为钝角,所以B=A+,sin A+sin C=sin A+sin(A+B)=sin A+cos 2A=sin A+1-2sin2A=-2+,所以sin A+sin C的最大值为.答案:16.一次飞行训练中,地

12、面观测站观测到一架飞机以72千米/小时的速度在同一高度向正东飞行,如图,第一次观测到该飞机在北偏西60的方向上,1分钟后第二次观测到该飞机在北偏东75的方向上,仰角为30,则飞机飞行的高度为(结果保留根号).【解析】如图,由题上条件可得线AC平行于东西方向,AC=千米;所以ABC=135;BAC=30;在ABC中,=BC=.如图,D1C平面ABC,在直角BD1 C中,tan D1BC=h=BCtan D1BC=tan 30=千米.答案:千米三、解答题(共70分)17.(10分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin A+csin C-asin C=bsin B.(1)求B;(

13、2)若A=75,b=2,求a,c.【解析】(1)由正弦定理得a2+c2-ac=b2.由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得cos B=(0B),因此B=45.(2)sin A=sin(30+45)=sin 30cos 45+cos 30sin 45=.故a=b=1+,c=b=2=.【补偿训练】(2019天津高考)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csin B=4asin C.(1)求cos B的值;(2)求sin的值.【解析】(1)在ABC中,由正弦定理=,得bsin C=csin B,又由3csin B=4asin C,得3bsin C=4as

14、in C,因为sin C0,所以3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=a,c=a.由余弦定理可得cos B=-.(2)由(1)可得sin B=,sin 2B=2sin Bcos B=-,cos 2B=cos2B-sin2B=-,故sin=sin 2Bcos+cos 2Bsin=-=-.18.(12分)在ABC中,求证:-=-.【证明】左边=-=-2=右边.所以原式成立.19.(12分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin2B+sin2C=sin2A+sin Bsin C.(1)求A的大小;(2)若2sin Bsin C+cos 2A=1,判断ABC的形状.【解析】(1

15、)因为sin2B+sin2C=sin2A+sin Bsin C,由正弦定理得b2+c2=a2+bc,由余弦定理得cos A=,因为0A,所以A=.(2)因为2sin Bsin C+cos 2A=1,所以2sin Bsin C=1-cos 2A=1-(1-2sin2A)=2sin2A,即sin Bsin C=sin2A,所以bc=a2,所以b2+c2=2bc,(b-c)2=0,b=c,又因为A=,所以ABC为等边三角形.20.(12分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3cos(B-C)-1=6cos Bcos C.(1)求cos A;(2)若a=3,ABC的面积为2,求b,c

16、.【解析】(1)因为3(cos Bcos C+sin Bsin C)-1=6cos Bcos C,所以3cos Bcos C-3sin Bsin C=-1,所以3cos(B+C)=-1,所以cos(-A)=-,所以cos A=.(2) 由(1)得sin A=,由面积公式bcsin A=2可得bc=6,根据余弦定理得cos A=,则b2+c2=13,两式联立可得b=2,c=3或b=3,c=2.21.(12分)(2020盐城高二检测)如图,在ABC中,AB=5,AC=4,点D为ABC内一点,满足BD=CD=2,且+5=0.(1)求的值;(2)求边BC的长.【解析】(1)设BC=a,AC=b,AB=

17、c,由+5=0,得54cos A+522cos D=0,即cos A=-cos D,又A,D为三角形的内角,所以sin A=sin D;在ABC中,由=,得=;同理=,所以=,所以=2.(2)在ABC中,由余弦定理得cos A=,同理cos D=,由(1)可得=-,解得BC=a=.22.(12分)如图所示,某海岛上一观察哨A上午11时测得一轮船在海岛北偏东60的C处,12时20分测得船在海岛北偏西60的B处,12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E港口,如果轮船始终匀速直线前进,求船速多少. 【解析】轮船从C到B用时80分钟,从B到E用时20分钟,而船始终匀速前进,设t为从B到E

18、的用时,则t= h,由此可见:BC=4EB,设EB=x,则BC=4x,由已知得BAE=30,EAC=150,在AEC中,由正弦定理得:=,所以sin C=,在ABC中,由正弦定理得:=,所以AB=,在ABE中,由余弦定理得BE2=AE2+AB2-2ABAEcos 30=25+-25=,故BE=,所以船速v=.答:该船的速度为 km/h.【补偿训练】如图,观测站C在目标A的南偏西20方向,经过A处有一条南偏东40走向的公路,在C处观测到与C相距31 km的B处有一人正沿此公路向A处行走,走20 km到达D处,此时测得C,D相距21 km,求D,A之间的距离.【解析】由已知,得CD=21 km,BC=31 km,BD=20 km.在BCD中,由余弦定理,得cos BDC=-.设ADC=,则cos =,sin =.在ACD中,由正弦定理得=,得=,所以AD=sin(60+)=15(km),即所求的距离为15 km.