（新教材）2020-2021高中数学人教B版选择性必修三课件： 5-1-1 数列的概念 .ppt

1、5.1.1 数列的概念 必备知识素养奠基1.数列及其相关概念(1)定义:按照_排列的一列数称为数列.(2)项:数列中的_都称为这个数列的项.项数:组成数列的数的_称为数列的项数.(3)通项:a1,a2,a3,an,简记为an,其中an表示数列的第_项(也称n为an的序号,其中n为正整数,即nN+),称为数列的通项.一定次序每一个数个数n【思考】(1)如果组成两个数列的数相同但排列次序不同,那么它们是相同的数列吗?提示:从数列的定义可以看出,组成数列的数是按一定顺序排列的,如果组成数列的数相同但排列次序不同,那么它们就不是同一数列.(2)同一个数在数列中可以重复出现吗?提示:在数列的定义中,并没

2、有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.例如:1,-1,1,-1,1,;2,2,2,.2.数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数_的数列无穷数列项数_的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起,每一项都_它的前一项的数列递减数列从第2项起,每一项都_它的前一项的数列常数列各项都_的数列摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列有限无限大于小于相等3.数列的通项公式:如果数列an的第n项an与n之间的关系可以用_来表示,其中f(n)是关于n的不含其他未知数的表达式,则称上述关系式为这个数列的一个通项公式.4.函数与数列的关系数列an可以看成定

3、义域为_的函数,数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的_,而数列的通项公式就是相应函数的解析式.an=f(n)正整数集的子集函数值【思考】函数y=2x与数列an的通项公式an=2n有什么区别?提示:函数y=2x的自变量是连续变化的,图象是连续的直线.an=2n的自变量是离散的,图象是由离散的点构成.【素养小测】1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)1,2,3,4和1,2,4,3是相同的数列.()(2)an与an是一样的,都表示数列.()(3)所有数列都能写出其通项公式且一个数列的通项公式是唯一的.()(4)数列3,1,-1,-3,-5,-10的通项公式为an=5-2n.()提

4、示:(1).两个数列相同,每一项都必须相同,而且数列具有顺序性.(2).因为an代表一个数列,而an只是这个数列中的第n项,故an与an是不一样的.(3).有的数列就没有通项公式,而且有的数列的通项公式不唯一.(4).第六项为-10,不符合an=5-2n,故an=5-2n不是此数列的通项公式.2.数列3,4,5,6,的一个通项公式为()A.an=n,nN+B.an=n+1,nN+C.an=n+2,nN+D.an=2n,nN+【解析】选C.这个数列的前4项都比序号大2,所以,它的一个通项公式为an=n+2,nN+.3.已知数列an的通项公式是an=n2+1,则122是该数列的()A.第9项B.第

5、10项C.第11项D.第12项【解析】选C.令n2+1=122,则n2=121,所以n=11或n=-11(舍去).4.已知数列an的通项公式是an=2n-1,则a8=_.【解析】a8=28-1=15.答案:15关键能力素养形成类型一 数列的概念以及分类【典例】1.下列说法错误的是()A.数列4,7,3,4的首项是4B.数列an中,若a1=3,则从第2项起,各项均不等于3C.数列1,2,3,就是数列nD.数列中的项不能是三角形2.已知下列数列:2 011,2 012,2 013,2 014,2 015,2 016;1,;1,-,;1,0,-1,;2,4,8,16,32,;-1,-1,-1,-1.

6、其中,有穷数列是_,无穷数列是_,递增数列是_,递减数列是_,常数列是_,摆动数列是_(填序号).【思维引】1.依据数列的定义逐项判断.2.依据数列分类中有关数列的定义,逐个判断.【解析】1.选B.由数列的相关概念可知,数列4,7,3,4的首项是4,故A正确.同一个数在数列中可以重复出现,故B错误.按一定顺序排列的一列数称为数列,所以数列1,2,3,就是数列n,故C正确.数列中的项必须是数,不能是其他形式,故D正确.2.为有穷数列且为递增数列;为无穷数列、递减数列;为无穷数列、摆动数列;是摆动数列,也是无穷数列;为递增数列,也是无穷数列;为有穷数列,也是常数列.答案:【内化悟】1.与集合中元素

7、的性质相比较,数列中的项的性质具有哪些特点?提示:(1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也具有确定性;(2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出现(即互异性);(3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性);(4)数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可以代表除数字外的其他事物.2.如何判断两个数列是相同数列?提示:组成数列的数相同,且排列次序也相同的两个数列才是相同的数列.【类题通】数列概念的三个注意点(1)数列an表示数列a1,a2,a3,an,不是表示一个集合,与集合表示有本质的

8、区别.(2)从数列的定义可以看出,如果组成数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列;在定义中,并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现.(3)数列中各项的次序揭示了数列的规律性,是理解、把握数列的关键.【习练破】下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是()A.1,B.sin ,sin ,sin ,sin ,C.-1,-,-,-,D.1,2,3,4,30【解析】选C.数列1,是无穷数列,但它不是递增数列,而是递减数列;数列sin ,sin ,sin ,sin ,是无穷数列,但它既不是递增数列,又不是递减数列;数列-1,-,-,-,是无穷数列,也是递增数列;数列1

9、,2,3,4,30是递增数列,但不是无穷数列.【加练固】下列数列(1)1,2,22,23,263;(2)0,10,20,30,1 000;(3)2,4,6,8,10,;(4)-1,1,-1,1,-1,;(5)7,7,7,7,;(6),.其中有穷数列是_,无穷数列是_,递增数列是_,递减数列是_,摆动数列是_,常数列是_.(填序号)【解析】根据数列的概念知有穷数列是(1)(2),无穷数列是(3)(4)(5)(6),递增数列是(1)(2)(3),递减数列是(6),摆动数列是(4),常数列是(5).答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(1)(2)(3)(6)(4)(5)类型二 观察法写出数列的

10、通项公式【典例】1.(2020徐州高一检测)数列3,6,11,20,的一个通项公式为()A.an=3nB.an=n(n+2)C.an=n+2nD.an=2n+12.写出下列数列的一个通项公式:(1),2,8,;(2)1,-3,5,-7,9,;(3)9,99,999,9 999,;(4),;(5),;(6)4,0,4,0,4,0,.【思维引】1.根据特点,观察、分析,寻找数列的每一项与其所在项的序号之间的关系,归纳出一个通项公式即可.2.首先要熟悉一些常见数列的通项公式,然后对于复杂数列的通项公式,其项与序号之间的关系不容易发现,要将数列各项的结构形式加以变形,将数列的各项分解成若干个常见数列对

11、应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳.【解析】1.选C.依题意,a1=3=1+21;a2=6=2+22;a3=11=3+23;a4=20=4+24;,所以an=n+2n.2.(1)数列的项有的是分数,有的是整数,可先将各项都统一成分数再观察:,所以,它的一个通项公式为an=.(2)数列各项的绝对值分别为1,3,5,7,9,是连续的正奇数,其通项公式为2n-1;考虑(-1)n+1具有转换符号的作用,所以数列的一个通项公式为an=(-1)n+1(2n-1).(3)各项加1后,分别变为10,100,1 000,10 000,此数列的通项公式为10n,可得原数列的一个通项公式为an=10n-1.

12、(4)数列中每一项均由三部分组成,分母是从1开始的奇数列,其通项公式为2n-1;分子的前一部分是从2开始的自然数的平方,分子的后一部分是减去一个从1开始的自然数,综合得原数列的一个通项公式为an=.(5)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是an=(-1)n .(6)由于该数列中,奇数项全部都是4,偶数项全部都是0,因此可用分段函数的形式表示通项公式,即又因为数列可改写为2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,因此其通项公式又可表示为an=2+2(-1)n+1.【素养探】在与观察法写出数列的通项公式有关的问题中,经常利用

13、核心素养中的逻辑推理,通过研究数列的前几项与项的序号之间的关系,归纳出数列的通项公式.将本例2(6)的数列改为“3,5,3,5,3,5,”,如何写出其通项公式?【解析】此数列的奇数项为3,偶数项为5,故通项公式可写为an=此数列两项3与5的平均数为=4,奇数项为4-1,偶数项为4+1,故通项公式还可写为an=4+(-1)n.【类题通】(1)用观察法求数列通项公式的策略(2)对于符号交替出现的情况,可先观察其绝对值,再用(-1)k处理符号问题.(3)对于周期出现的数列,可考虑拆成几个简单数列和的形式,或者利用周期函数,如三角函数等.【习练破】写出下列数列的一个通项公式:(1)0,3,8,15,2

14、4,;(2),;(3)1,11,111,1 111,.【解析】(1)观察数列中的数,可以看到0=1-1,3=4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,所以它的一个通项公式是an=n2-1(nN+).(2)此数列的整数部分1,2,3,4,恰好是序号n,分数部分与序号n的关系为,故所求的数列的一个通项公式为an=(nN+).(3)原数列的各项可变为9,99,999,9 999,易知数列9,99,999,9 999,的一个通项公式为an=10n-1,所以原数列的一个通项公式为an=(10n-1)(nN+).【加练固】根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式:(1)3,5,7,9,1

15、1,13,;(2),;(3)0,1,0,1,0,1,;(4)1,3,3,5,5,7,7,9,9,;(5)2,-6,12,-20,30,-42,.【解析】(1)从3开始的奇数列,an=2n+1.(2)分子为偶数,分母为相邻两奇数的积an=;(3)an=或an=;(4)将数列变形为1+0,2+1,3+0,4+1,5+0,6+1,7+0,8+1,所以an=;(5)将数列变形为12,-23,34,-45,56,所以an=(-1)n+1n(n+1).类型三 数列通项公式的简单应用【典例】已知数列an的通项公式为an=.(1)求a10.(2)判断是否为该数列中的项.若是,它为第几项?若不是,请说明理由.(

16、3)求证:0an3,所以0 1,所以01-1,即0an0,an0;30+n-n20,解得n=6;0n6,即n=6时,an=0;当0n0;当n6且nN+时,an0,故数列是递增数列,故D正确.2.数列的一个通项公式是()【解析】选C.因为所以推断an=【加练固】数列0,的一个通项公式是()【解析】选C.已知数列可化为:0,故an=.3.已知数列an的通项公式是an=则a2a3等于()A.70B.28C.20D.8【解析】选C.因为a2=22-2=2,a3=33+1=10,所以a2a3=20.4.(多选题)已知数列an的通项公式为an=n2-8n+15,则()A.3不是数列an中的项B.3是数列a

17、n的第2项C.3是数列an的第6项D.a30成立的最大正整数n的值为_.【解析】由an=19-2n0,得nan(nN+),则函数y=f(x)的图象可能是()【解析】选A.据题意,由关系式an+1=f(an)得到的数列满足an+1an,即该函数y=f(x)的图象上任一点(x,y)都满足yx,结合图象,只有A满足.2.(5分)已知数列an,an=kn-5,且a8=11,则an=_,a17=_.【解析】由已知得a8=8k-5=11,解得k=2,所以an=2n-5,所以a17=217-5=29.答案:2n-5293.(5分)数列-1,1,-2,2,-3,3,的一个通项公式为_.【解析】注意到数列的奇数

18、项与偶数项的特点即可得an=答案:an=【加练固】数列的一个通项公式为_.【解析】此数列各项都是分式,且分母都减去1为1,4,9,16,25,故分母可用n2+1表示,若分子各项都加1为:16,25,36,49,64,故分子可用(n+3)2-1表示,故其通项公式可为an=答案:an=4.(5分)如图所示的图案中,白色正六边形的个数依次构成一个数列的前3项,则这个数列的一个通项公式为_.【解析】我们把图案按如下规律分解:这三个图案中白色正六边形的个数依次为6,6+4,6+42,所以这个数列的一个通项公式为an=6+4(n-1)=4n+2.答案:an=4n+2【加练固】图中由火柴棒拼成的一列图形中,

19、第n个图形由n个正方形组成:通过观察可以发现:在第n个图形中,火柴棒有_根.【解析】第1个图形中,火柴棒有4根;第2个图形中,火柴棒有4+3根;第3个图形中,火柴棒有4+3+3=4+32根;第4个图形中,火柴棒有4+3+3+3=4+33根;第n个图形中,火柴棒有4+3(n-1)=3n+1根.答案:3n+15.(10分)在数列an中,an=(1)求数列的第7项.(2)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内.(3)区间内有没有数列中的项?若有,有几项?【解析】(1)a7=(2)因为an=所以0an1,故数列的各项都在区间(0,1)内.(3)令则n22,nN+,故n=1,即在区间内有且只有1项a1.

20、【培优练】1.已知数列an的通项公式为an=5n+1,数列bn的通项公式为bn=n2,若将数列an,bn中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列cn,则c6的值为_.【解析】数列an的通项公式为an=5n+1,其数据符合平方的数有:16,36,81,121,196,256,数列bn的通项公式为bn=n2,当n=4,6,9,11,14,16,时符合上面各个数.数列an,bn中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列cn,则c6的值为256.答案:2562.已知数列an的通项公式为an=pn+q(p,qR),且a1=-,a2=-.(1)求an的通项公式;(2)是an中的第几项?(3)该数列是递增数列还是递减数列?【解析】(1)因为an=pn+q,又a1=-,a2=-,因此an的通项公式是an=-1(nN+).(2)令an=,即-1=,所以=,n=8.故是an中的第8项.(3)由于an=-1,且随n的增大而减小,因此an的值随n的增大而减小,故an是递减数列.本课结束