2021版高考数学理科人教通用版核心讲练大一轮复习课时分层提升练 十六　导数的综合应用 WORD版含解析.doc

1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时分层提升练 十六导数的综合应用30分钟60分一、选择题(每小题5分,共25分)1.函数f(x)=ln x-x3+1的零点个数为()A.0B.1C.2D.3【解析】选C.因为f(x)=-x2=0x=1,所以当x(0,1)时,f(x)0,f(x);当x(1,+)时,f(x)0,得x,此时函数单调递增,由g(x)=ln x+10,得0x,此时函数单调递减.即当x=时,函数g(x)取得极小值,g=ln =-,当x0时,g(x)0,所以要使函数f(x)=xln x-a有两个零点

2、,即方程xln x=a有两个不同的根,即函数g(x)和y=a有两个不同的交点,则-a0),为使利润最大,应生产()A.6千台B.7千台C.8千台D.9千台【解析】选A.设利润为y,则y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=18x2-2x3,y=36x-6x2,令y=0得x=6或x=0(舍),f(x)在(0,6)上是增函数,在(6,+)上是减函数,所以x=6时y取得最大值.5.(2020遵义模拟)设函数f(x)=x(2ln x-1)-ax+a,其中a0,若仅存在两个正整数x0使得f(x0)0,则a的取值范围是()A.4ln 2-2a3ln 3-B.4ln 2-24ln 2-2D.a3ln 3

3、-【解析】选B.令f(x)=0,得x(2ln x-1)=ax-a,令h(x)=x(2ln x-1),g(x)=ax-a=a(x-1),则h(x)=2ln x+1,令h(x)=0,解得:x=,故x(0,)时,h(x)0,h(x)递增,故h(x)min=h=-,h(1)=-10,若仅存在两个正整数x0使得f(x0)0,即保证有两个正整数解,由题意得:,解得:4ln 2-2a3ln 3-.二、填空题(每小题5分,共15分)6.横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比,并和矩形横断面的高的平方成正比,要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,则横断面的高和宽分别为_、_.【解析】如图所示,设矩形横断面的宽为x

4、,高为y,由题意,知当xy2取最大值时,横梁的强度最大.因为y2=d2-x2,所以xy2=x(d2-x2)(0xd).令f(x)=x(d2-x2)(0xd),求导数,得f(x)=d2-3x2.令f(x)=0,解得x=d,或x=-d(舍去).当0x0;当dxd时,f(x)0),y=-x2,由y=0,得x=25,当x(0,25)时,y0,当x(25,+)时,y0,所以当x=25时,y取得最大值.答案:25件8.用一张16 cm10 cm的长方形纸片,经过折叠以后,糊成了一个无盖的长方体形纸盒,这个纸盒的最大容积是_ cm3.【解析】设剪下的四个正方形边长为x,则经过折叠以后,糊成的长方体形纸盒的底

5、面是长为16-2x,宽为10-2x的长方形,其面积为(16-2x)(10-2x).长方体的高为x,体积为V(x)=(16-2x)(10-2x)x=4x3-52x2+160x(0x0,得函数V(x)=4x3-52x2+160x(0x5)在(0,2)上递增;由V(x)0,得函数V(x)=4x3-52x2+160x(0x0).(1)若a=2,求f(x)在(1,f(1)处的切线方程.(2)若f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点,求a的取值范围.【解析】(1)由已知得f(x)=x-,当a=2时,有f(1)=1-2=-1,f(1)=,所以在(1,f(1)处的切线方程为:y-=-(x-1),化简得2x+2

6、y-3=0.(2)由(1)知,f(x)=,因为a0且x0,令f(x)=0,得x=.所以当x(0,)时,有f(x)0,则(,+)是函数f(x)的单调递增区间.若f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点,只需即ea,所以当ea时,f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点.10.某集团为了获得更大的收益,每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查,每投入广告费t(百万元),可增加销售额约为-t2+5t(百万元)(0t5).(1)若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大?(2)现该公司准备共投入3百万元,分别用于广告促销和技术改造.经预测,每投入技术改

7、造费x(百万元),可增加的销售额约为-x3+x2+3x(百万元).请设计一个资金分配方案,使该公司由此获得的收益最大.(注:收益=销售额-投入资金)【解析】(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元),则有f(t)=(-t2+5t)-t=-t2+4t=-(t-2)2+4(0t3).故当t=2(百万元)时,f(t)取得最大值4百万元,即投入2百万元的广告费时,该公司由此获得的收益最大.(2)设用于技术改造的资金为x(百万元),则用于广告促销的资金为(3-x)(百万元)(0x3),又设由此而获得的收益是g(x),则有g(x)=(-x3+x2+3x)+-(3-x)2+5(3-x)

8、-3=-x3+4x+3(0x3).所以g(x)=-x2+4.令g(x)=0,解得x=-2(舍去)或x=2.又当0x0;当2x3时,g(x)0).设h(x)=-x2+2ex+,令h1(x)=-x2+2ex,h2(x)=,所以h2(x)=.发现函数h1(x),h2(x)在(0,e)上都是单调递增的,在e,+)上都是单调递减的,所以函数h(x)=-x2+2ex+在(0,e)上单调递增,在e,+)上单调递减.故当x=e时,得h(x)max=e2+,所以函数f(x)至少存在一个零点需满足ah(x)max,即ae2+.2.(5分)已知矩形的两个顶点位于x轴上,另两个顶点位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲

9、线上,则这种矩形中面积最大的矩形的长和宽分别为()A.2,B.,C.,2D.4,【解析】选B.设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x,y),其中0x0,则另一个在抛物线上的顶点为(-x,y),在x轴上的两个顶点分别为(-x,0),(x,0).设矩形的面积为S,则S=2x(4-x2)(0x2),则S=8-6x2.令S=0,得x=或x=-(舍去).当0x0;当x2时,S0,则a的取值范围是()A.(2,+)B.(-,-2)C.(1,+)D.(-,-1)【解析】选B.(1)当a=0时,函数f(x)=-3x2+1,显然有两个零点,不合题意.(2)当a0时,由于f(x)=3ax2-6x=3x(ax-2),

10、利用导数的正负与函数单调性的关系可得在(-,0)和上函数单调递增,在上函数单调递减,显然存在负零点,不合题意.(3)当a0,即有a-3+10,则有a24,解得a2(不合条件a0,舍去).综合可得a-2.4.(5分)(2020遂宁模拟)已知函数f(x)=xln x+3,g(x)=x3-x2,若x1,x2,f(x1)-g(x2)0,则实数a的取值范围为()A.4,+)B.3,+)C.2,+)D.1,+)【解析】选D.由题意,对于x1,x2,f(x1)-g(x2)0,可得f(x)在上的最小值不小于g(x)在上的最大值,由g(x)=x3-x2,则g(x)=3x2-2x=3x,可得当x时,g(x)0,g

11、(x)单调递增,又由g=-,g(2)=4,即g(x)在区间上的最大值为4,所以f(x)=xln x+34在上恒成立,即ax-x2ln x在上恒成立,令h(x)=x-x2ln x,x,则h(x)=1-2xln x-x,令p(x)=1-2xln x-x,则p(x)=-3-2ln x,当x时,p(x)-成立.【解析】(1)f(x)=ln x+1,令f(x)=0得x=,当x时,f(x)0,f(x)单调递增,所以函数f(x)的最小值为f=-.(2)问题等价于a=2ln x+x+在x(0,+)上恒成立,记t(x)=2ln x+x+,则at(x)min,因为t(x)=+1-=,令t(x)=0得x=1或x=-

12、3(舍),当x(0,1)时t(x)0,函数t(x)在(1,+)上单调递增;所以t(x)min=t(1)=4.即a4,即实数a的取值范围为(-,4.(3)问题等价于证明xln x-,x(0,+).由(1)知f(x)=xln x的最小值f=-, 设(x)=-,x(0,+),则(x)=,令(x)=0得x=1,当x(0,1)时(x)0,函数(x)在(0,1)上单调递增;当x(1,+)时(x)-,即对一切x(0,+),都有ln x-成立.6.(10分)(2019天津高考)设函数f(x)=excos x,g(x)为f(x)的导函数.(1)求f(x)的单调区间.(2)当x时,证明f(x)+g(x)0.(3)

13、设xn为函数u(x)=f(x)-1在区间内的零点,其中nN*,证明2n+-xncos x,得f(x)0,则f(x)单调递减;当x(kZ)时,有sin x0,则f(x)单调递增.所以f(x)的单调递增区间为(kZ),f(x)的单调递减区间为(kZ).(2)记h(x)=f(x)+g(x).依题意及(1),有g(x)=ex(cos x-sin x),从而g(x)=-2exsin x.当x时,g(x)0,故h(x)=f(x)+g(x)+g(x)(-1)=g(x)0.因此h(x)在区间上单调递减,进而h(x)h=f=0.所以当x时,f(x)+g(x)0.(3)依题意,u(xn)=f(xn)-1=0,即cos xn=1.记yn=xn-2n,则yn,且f(yn)=cos yn=cos(xn-2n)=e-2n(nN*).由f(yn)=e-2n1=f(y0)及(1),得yny0.由(2)知,当x时,g(x)0,所以g(x)在上为减函数,因此g(yn)g(y0)g=0.又由(2)知,f(yn)+g(yn)0,故-yn-=-=.所以2n+-xn.关闭Word文档返回原板块