《名师一号》2015高考数学（人教版A版）一轮配套题库：2-13导数的应用(二).doc

1、第十三节导数的应用(二)时间：45分钟分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1函数yax3x在R上是减函数，则()Aa Ba1Ca2 Da0解析y3ax21，因为函数yax3x在R上是减函数，所以3ax210在R上恒成立，所以a0.故选D.答案D2已知alnx对任意x恒成立，则a的最大值为()A0 B1C2 D3解析设f(x)lnxlnx1，则f(x).当x时，f(x)0，故函数f(x)在(1,2上单调递增f(x)minf(1)0.a0，故a的最大值为0.故选A.答案A3若直线ym与y3xx3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为()A2m2 B2m2Cm2 Dm

2、2或m2解析y3(1x)(1x)，由y0，得x1，y极大2，y极小2，2m0，b0，e是自然对数的底数()A若ea2aeb3b，则abB若ea2aeb3b，则abD若ea2aeb3b，则a0，b0，ea2aeb3beb2bbeb2b.对于函数yex2x(x0)，yex20，yex2x在(0，)上单调递增，因而ab成立答案A5(2014青岛模拟)如图为一圆锥形容器，其底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在t分钟时的瞬时变化率为(注：3.1)()A27分米/分钟 B9分米/分钟C81分米/分钟 D9分米/分钟解析设t时刻水面高度为h，半径为r，则rh.此时

3、水的体积Vr2hh3，又V9.3t所以h39.3t，且3.1.h3t，则ht，故当t分钟时的瞬时变化率为()9.答案B6(2014东北三省联考)已知f(x)为定义在(，)上的可导函数，且f(x)e2f(0)，f(2 010)e2 010f(0)Bf(2)e2 010f(0)Cf(2)e2f(0)，f(2 010)e2 010f(0)Df(2)e2f(0)，f(2 010)e2 010f(0)解析设g(x)，则g(x)，又f(x)0，所以g(x)在R上单调递增g(2)g(0)，f(2)e2f(0)，g(2 010)g(0)，f(2 010)e2 010f(0)，选A.答案A二、填空题(本大题共3

4、小题，每小题5分，共15分)7电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系yx3x240x(x0)，为使耗电量最小，则速度应定为_解析由yx239x400，得x1或x40，由于0x40时，y40时，y0.所以当x40时，y有最小值答案408关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_解析方程可化为ax33x2，设f(x)x33x2，则f(x)3x26x，由f(x)0，得x2或x0；由f(x)0，得0x2，所以f(x)在(，0)和(2，)上单调递增，在(0,2)上单调递减，故f(x)在x0处有极大值，f(0)0.在x2处有极小值f(2)4.要使方程有三个不同的实根，则有4a0，

5、x(，)时，f(x)f(2)f(3)f(3)答案f(3)f(2)0)，(1)求函数f(x)在x1处与直线y相切，求实数a，b的值；求函数f(x)在 上的最大值(2)当b0时，若不等式f(x)mx对所有的a，x(1，e2都成立，求实数m的取值范围解(1)f(x)2bx，函数f(x)在x1处与直线y相切，解得f(x)lnxx2，f(x)x，当xe时，令f(x)0得x1；令f(x)0，得10.h(a)在a上单调递增h(a)minh(0)x.mx对所有的x(1，e2都成立1xe2，e2x0)现已知相距36 km的A，B两家化工厂(污染源)的污染程度分别为正数a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等

6、于两化工厂对该处的污染指数之和设ACx(km)(1)试将y表示为x的函数；(2)若a1时，y在x6处取得最小值，试求b的值解(1)设点C受A污染源污染指数为，点C受B污染源污染指数为，其中k为比例系数，且k0.从而点C处污染指数y(0x0，存在唯一的s，使tf(s)；()设()中所确定的s关于t的函数为sg(t)，证明：当te2时，有.解()函数f(x)的定义域为(0，)f(x)2xlnxxx(2lnx1)，令f(x)0，得x.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，)(，)f(x)0f(x)极小值所以函数f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)()证明：当00，

7、令h(x)f(x)t，x1，)由()知，h(x)在区间(1，)内单调递增h(1)t0.故存在唯一的s(1，)，使得tf(s)成立()证明：因为sg(t)，由()知，tf(s)，且s1，从而，其中ulns.要使成立，只需0lnue2时，若sg(t)e，则由f(s)的单调性，有tf(s)f(e)e2，矛盾，所以se，即u1，从而lnu0成立另一方面，令F(u)lnu，u1.F(u)，令F(u)0，得u2.当1u0；当u2时，F(u)1，F(u)F(2)0.因此lnue2时，有1时，f(x)0，故f(x)在1，e上是增函数，f(x)的最小值是f(1)1，最大值是f(e)1e2.(2)证明：令F(x)f(x)g(x)x2x3lnx，F(x)x2x2.x1，F(x)0.F(x)在(1，)上是减函数F(x)F(1)0，即f(x)g(x)当x(1，)时，函数f(x)的图象总在g(x)的图象的下方