2020-2021学年山东省青岛市胶州市、黄岛区高三（上）期中数学试卷.docx

1、2020-2021学年山东省青岛市胶州市、黄岛区高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。)1. 已知集合Ax|cosx12,0x0kx,x0，若x0R，使得f(-x0)f(x0)成立，则实数k的取值范围是（ ）A.(-,1B.(-,1eC.-1,+)D.-1e,+)7. 已知函数f(x)=(sinx+3cosx)2(x0,2)，则f(x)的单调递增区间是（ ）A.0,6B.0,4C.0,3D.0,28. 定义在0,+)上的函数f(x)满足：当0x0B.PB+PC=0C.PB=12AB-12ACD.APBP=-

2、3410. 已知函数f(x)Asin(x+)(A0,0,0)的最小正周期为4，其图象的一个最高点为A(13,2)，下列结论正确的是（ ）A.B.=3C.将f(x)图象上各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变，得到h(x)图象；再将h(x)图象向右平移16个单位长度，得到函数y=2sin(x+6)的图象D.yf(x)的图象关于x1对称11. 在三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F、G分别为线段AB、A1B1、AA1的中点，下列说法正确的是（ ）A.平面AC1F/平面B1CEB.直线FG/平面B1CEC.直线CG与BF异面D.直线C1F与平面CGE相交12. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f

3、(1+x)f(1-x)，当0x1时，f(x)x，关于函数g(x)|f(x)|+f(|x|)，下列说法正确的是（ ）A.g(x)为偶函数B.g(x)在(1,2)上单调递增C.g(x)不是周期函数D.g(x)的最大值为2三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。)13. 已知复数z=11+i+i（i为虚数单位），则|z|_14. 已知sin2=23，04，则sin-cos_15. 已知alog26，blog515，c2-，则a，b，c的大小关系为_（用“”连接）16. 在四面体P-ABC中，PA底面ABC，PA1，ABC、PBC、PAC、PAB均为直角三角形，若该四面体最大棱长等于3，则：

4、 （1）该四面体外接球的表面积为_；（2）该四面体体积的最大值为_四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)17. 在asin(A+C)bsinB+C2，1+cos2Acos2B+cos2C+sinBsinC两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_ （1）求A；（2）已知函数f(x)=12cos(4x-A)，x0,4，求f(x)的最小值18. 如图，在半圆柱W中，AB、CD分别为该半圆柱的上、下底面直径，E、F分别为半圆弧AB、CD上的点，AD、BC、EF均为该半圆柱的母线，ABAD2 （1）证明：

5、平面DEF平面CEF；（2）设CDF=(00 （1）讨论f(x)的极值点；（2）若f(x)0恒成立，求a的值21. 如图1，在平面四边形ABDC中，AB2，AC1，CD=5，A90，cosBCD=15 （1）求sinD；（2）将BCD沿BC折起，形成如图2所示的三棱锥D-ABC，AD2()三棱锥D-ABC中，证明：点D在平面ABC上的正投影为点A；()三棱锥D-ABC中，点E，F，G分别为线段AB，BC，AC的中点，设平面DEF与平面DAC的交线为l，Q为l上的点求DE与平面QFG所成角的正弦值的取值范围22. 已知函数f(x)lnaxe-x+asinx，a0 （1）若x0恰为f(x)的极小值

6、点()证明：12a1；()求f(x)在区间(-,)上的零点个数；（2）若a1，f(x)x=(1-x)(1+x)(1-x2)(1+x2)(1-x3)(1+x3)(1-xn)(1+xn)，又由泰勒级数知：cosx1-x22!+x44!-x66!+(-1)nx2n(2n)!+，nN*证明：112+122+132+1n2+=26参考答案与试题解析2020-2021学年山东省青岛市胶州市、黄岛区高三（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. B2. D3. C4. A5. C6. D7. A8. D二、多项选择题：本题共

7、4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9. B,C,D10. B,C11. A,C12. A,C,D三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。13. 2214. -3315. cba16. 923四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. 若选择：由正弦定理得sinBsinB+C2=sinAsinB，因为0B，所以sinB0，所以sinB+C2=sinA，又因为B+C-A，所以cosA2=2sinA2cosA2，因为0A，0A20)，若00， f(x)aln

8、x-xlna在(0,+)上单调递增，f(x)无极值点；若a1，由f(x)=ax-lna=0，得x=alna，当x(0,alna)时，f(x)0，f(x)在(0,alna)上单调递增；当x(alna,+)时，f(x)1时，f(x)存在唯一极大值点x=alna；f(x)0恒成立，则alnx-xlna0恒成立， x0，a0，则lnxxlnaa恒成立，令g(x)=lnxx，g(x)=1-lnxx2，当x(0,e)时，g(x)0，g(x)单调递增，当x(e,+)时，g(x)0，g(x)单调递减， g(x)max=g(e)=1e， 即1elnaa成立，即ae-lna0成立，令h(a)=ae-lna，则h(

9、a)=1e-1a=a-eae，当a(0,e)时，h(a)0，h(a)单调递增， h(a)minh(e)0，则满足ae-lna0成立的ae21. 在RtABC中：BC=AB2+AC2=5，在BCD中由余弦定理：BC=CD=5,cosBCD=BC2+CD2-BD22BCCD=15，所以BD=22，在BCD中由正弦定理：BCsinD=BDsinBCD；sinBCD=265，所以sinD=155()证明：在DAB中，因为AB=2,AD=2,BD=22，所以BD2AB2+AD2，ADAB，在DAC中，因为AC=1,AD=2,CD=5，所以CD2AC2+AD2，ADAC，又因为ABACA，所以AD平面AB

10、C，所以点D在平面ABC上的正投影为点A()因为EF/AC，EF平面DAC，AC平面DAC，所以EF/平面DAC，平面DEF与平面DAC的交线为l，所以l/AC，以A坐标原点，分别以AB、AC、AD为x、y、z轴建立空间直角坐标系A-xyz，所以A(0,0,0),D(0,0,2),E(1,0,0),F(1,12,0),G(0,12,0)，设Q(0,t,2)，设平面QFG的法向量n=(x,y,z)，因为nFQ=(x,y,z)(-1,t-12,2)=0，nGQ=(x,y,z)(0,t-12,2)=0，所以-x+(t-12)y+2z=0(t-12)y+2z=0，取y2，解得x=0,z=12-t，所以

11、，平面QFG的一个法向量为n=(0,2,12-t)，因为DE=(1,0,-2)，设DE与平面QFG所成角为，所以，sin=|DEn|DE|n|=|1-2t|5(12-t)2+4，若t=12，则sin0；若t12，则sin=25511+4(12-t)20)，因为x0为函数f(x)的极值点，所以f(0)lna+a0，令g(x)lnx+x(x0)，则g(x)=1x+10，g(x)在(0,+)上单调递增，因为g(1)0,g(12)=ln12+12=lne20)在(12,1)上有唯一的零点a，所以12a0，-1cosx1，1-x1，e-x1得：f(x)f(0)0，所以f(x)在区间(-,0)上不存在零点

12、；当x(0,)时，设h(x)cosx-(1-x)e-x，则h(x)(2-x)e-x-sinx，1若x(0,2，令m(x)(2-x)e-x-sinx，则m(x)(x-3)e-x-cosx0,m(2)=(2-2)e-2-10，h(x)在(0,)上单调递增；当x(,2时，m(x)h(x)0，h(x)在(,2上单调递减；2若x(2,2，令(x)=(2-x)e-x,x(2,2，则(x)(x-3)e-x0，所以(x)在区间(2,2上单调递减，所以(x)(2)=(2-2)e-2sin6=12，所以h(x)(2-x)e-x-sinx0，h(x)在(2,2上单调递减；3若x(2,)，则h(x)(2-x)e-x-

13、sinxh(0)0，h()(-1)e-10，f(x)在(0,)上单调递增，f(x)f(0)0，当x(,)时，f(x)h(x)f(0)0，f()0，所以f(x)在区间(,)上有且只有一个零点；综上，f(x)在区间(-,)上的零点个数为2个；因为sinxx=(1-x22)(1-x242)(1-x2322)(1-x2n22)对cosx=1-x22!+x44!-x66!+(-1)nx2n(2n)!+，两边求导得：-sinx=-x1!+x33!-x55!+(-1)nx2n-1(2n-1)!+，sinx=x1!-x33!+x55!+(-1)n-1x2n-1(2n-1)!+，所以sinxx=1-x23!+x45!+(-1)n-1x2n-2(2n-1)!+比较式中x2的系数，得：-13!=-12(112+122+132+1n2+)所以112+122+132+1n2+=26