2020-2021学年新教材数学人教A版选择性必修第二册课后提升训练：4-3-2　第2课时　等比数列前N项和的性质及应用 WORD版含解析.docx

1、第四章数列4.3等比数列4.3.2等比数列的前n项和公式第2课时等比数列前n项和的性质及应用课后篇巩固提升基础达标练1.在各项都为正数的等比数列an中,首项a1=3,前3项和为21,则a3+a4+a5等于()A.33B.72C.84D.189解析由S3=a1(1+q+q2)=21,且a1=3,得q+q2-6=0.因为q0,所以q=2.故a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22S3=84.答案C2.(多选)(2019江苏高二期中)在公比q为整数的等比数列an中,Sn是数列an的前n项和,若a1a4=32,a2+a3=12,则下列说法正确的是()A.q=2B.数列Sn+2是等比数列C.S8

2、=510D.数列log2an是公差为2的等差数列解析因为数列an为等比数列,又a1a4=32,所以a2a3=32.又a2+a3=12,所以a2=4,a3=8,q=2或a2=8,a3=4,q=12,又公比q为整数,则a2=4,a3=8,q=2,即an=2n,Sn=2(1-2n)1-2=2n+1-2,对于选项A,由上可得q=2,即选项A正确;对于选项B,Sn+2=2n+1,Sn+1+2Sn+2=2n+22n+1=2,则数列Sn+2是等比数列,即选项B正确;对于选项C,S8=29-2=510,即选项C正确;对于选项D,log2an+1-log2an=(n+1)-n=1,即数列log2an是公差为1的

3、等差数列,即选项D错误.故选ABC.答案ABC3.已知等比数列an的前10项中,所有奇数项之和为8514,所有偶数项之和为17012,则S=a3+a6+a9+a12的值为()A.580B.585C.590D.595解析设等比数列an的公比为q,则由题意有S偶S奇=q=2,S奇=a11-(q2)51-q2=8514,得a1=14,q=2,S=a3+a6+a9+a12=a3(1+q3+q6+q9)=a1q21-q121-q3=585.答案B4.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯.”意思是:一座七层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的

4、下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.2盏B.3盏C.5盏D.6盏解析设第七层有a盏灯,由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项,以2为公比的等比数列,由等比数列的求和公式可得a(1-27)1-2=381,解得a=3,故顶层有3盏灯.答案B5.已知一个等比数列共有3m项,若前2m项之和为15,后2m项之和为60,则这个等比数列的所有项的和为()A.63B.72C.75D.87解析由已知S2m=15,S3m-Sm=60,又(S2m-Sm)2=Sm(S3m-S2m)=Sm(Sm+60-S2m),解得Sm=3,所以S3m=60+3=63.答案A6.在各项均为正数的等比数列a

5、n中,a1=2,a2,a4+2,a5成等差数列,Sn是数列an的前n项和,则S10-S4=.解析依题意有2(a4+2)=a2+a5,设公比为q,则有2(2q3+2)=2q+2q4,解得q=2.于是S10-S4=2(1-210)1-2-2(1-24)1-2=2016.答案2 0167.已知数列an满足a1=1,an+1an=2n(nN*),则S2 018=.解析an+1an=2n(nN*),a1=1,a2=2,a3=2.又an+2an+1=2n+1,an+2an=2,数列an的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为2,首项分别为1,2.S2018=(a1+a3+a2017)+(a2+a4+a201

6、8)=21009-12-1+2(21009-1)2-1=321009-3.答案321 009-38.已知一件家用电器的现价是2 000元,如果实行分期付款,一年后还清,购买后一个月第一次付款,以后每月付款一次,每次付款数相同,共付12次,月利率为0.7%,并按复利计算,那么每期应付款元.(参考数据:1.007111.080,1.007121.087,1.07112.105,1.07122.252)解析设每期应付款x元,第n期付款后欠款An元,则A1=2000(1+0.007)-x=20001.007-x,A2=(20001.007-x)1.007-x=20001.0072-1.007x-x,A

7、12=20001.00712-(1.00711+1.00710+1)x,因为A12=0,所以20001.00712-(1.00711+1.00710+1)x=0,解得x=20001.007121+1.007+1.00711=20001.007121.00712-11.007-1175,即每期应付款175元.答案1759.在等差数列an中,a2+a7=-23,a3+a8=-29.(1)求数列an的通项公式;(2)设数列an+bn是首项为1,公比为|a2|的等比数列,求bn的前n项和Sn.解(1)设等差数列an的公差为d,依题意得a3+a8-(a2+a7)=2d=-6,从而d=-3.所以a2+a7

8、=2a1+7d=-23,解得a1=-1.所以数列an的通项公式为an=-3n+2.(2)由(1)得a2=-4,所以|a2|=4.而数列an+bn是首项为1,公比为4的等比数列.所以an+bn=4n-1,即-3n+2+bn=4n-1,所以bn=3n-2+4n-1,于是Sn=1+4+7+(3n-2)+(1+4+42+4n-1)=n(3n-1)2+1-4n1-4=n(3n-1)2+4n-13.10.已知数列an的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=13Sn,nN*,求:(1)a2,a3,a4的值及数列an的通项公式;(2)a2+a4+a6+a2n的值.解(1)由a1=1,an+1=13Sn,n=1

9、,2,3,得a2=13S1=13a1=13,a3=13S2=13(a1+a2)=49,a4=13S3=13(a1+a2+a3)=1627.由an+1-an=13(Sn-Sn-1)=13an(n2),得an+1=43an(n2),a2=13,an=1343n-2(n2).数列an的通项公式为an=1,n=1,1343n-2,n2.(2)由(1)可知,a2,a4,a2n是首项为13,公比为432,项数为n的等比数列,a2+a4+a6+a2n=131-432n1-432=37432n-1.能力提升练1.在等比数列an中,a1+a2+a3+a4+a5=3,a12+a22+a32+a42+a52=15,

10、则a1-a2+a3-a4+a5的值是()A.3B.5C.-5D.5解析由题意可知等比数列an的公比q1,则a1+a2+a5=a1(1-q5)1-q=3,a12+a22+a52=a12(1-q10)1-q2=15,a1(1+q5)1+q=5,a1-a2+a3-a4+a5=a11-(-q)51-(-q)=a1(1+q5)1+q=5.答案D2.(多选)(2020山东高二期末)在增减算法统宗中有这样一则故事:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,如此六日过其关.”则下列说法正确的是()A.此人第三天走了四十八里路B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里C.此人第二天走的路程占全程的14

11、D.此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍解析根据题意此人每天行走的路程成等比数列,设此人第n天走an里路,则an是首项为a1,公比为q=12的等比数列.所以S6=a1(1-q6)1-q=a11-1261-12=378,解得a1=192.a3=a1q2=19214=48,所以A正确,由a1=192,则S6-a1=378-192=186,又192-186=6,所以B正确.a2=a1q=19212=96,而14S6=94.596,所以C不正确.a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=1921+12+14=336,则后3天走的路程为378-336=42,而且428=336,所以D正确.故选AB

12、D.答案ABD3.等比数列an中,a1-a3=3,前n项和为Sn,S1,S3,S2成等差数列,则Sn的最大值为()A.3B.4C.5D.6解析设公比为q,由a1-a3=a1-a1q2=3,S3-S1=a2+a3=S2-S3=-a3,解得a1=4,q=-12.当n为奇数时,Sn=831+12n831+12=4,当n为偶数时,Sn=831-12n0,b1),则a4=.解析当n2时,an=Sn-Sn-1=(b-1)bn.因为a1=S1=b2-2,所以(b-1)b=b2-2,解得b=2,因此Sn=2n+1-2,于是a4=S4-S3=16.答案166.如图,作边长为3的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接

13、正三角形,然后作新三角形的内切圆,如此下去,前n个内切圆的面积和为.解析根据题意知第一个内切圆的半径为363=32,面积为34,第二个内切圆的半径为34,面积为316,这些内切圆的面积组成一个等比数列,首项为34,公比为14,故前n个内切圆的面积之和为341-14n1-14=1-14n.答案1-14n7.已知正项等差数列an的公差不为0,a2,a5,a14恰好是等比数列bn的前三项,a2=3.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)记数列bn的前n项和为Tn,若对任意的nN*,kTn+323n-6恒成立,求实数k的取值范围.解(1)设公差为d,根据题意知d0,a2=a1+d,a5=a1+4d,

14、a14=a1+13d.(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d),a1+d=3,3d2-6d=0,d=2(d=0舍去).又a2=3,d=2,a1=1,an=2n-1.b1=a2=3,b2=a5=9,b3=a14=27,bn=3n.(2)由(1)知b1=3,q=3.Tn=b1(1-qn)1-q=3(1-3n)1-3=3n+1-32,3n+1-32+32k3n-6对nN*恒成立.Tn0,k2n-43n对nN*恒成立.令cn=2n-43n,cn-cn-1=2n-43n-2n-63n-1=-2(2n-7)3n,当n3时,cncn-1,当n4时,cncn-1,(cn)max=c3=227,故k227

15、.8.已知等差数列an的前n项和为Sn,且a2=8,S4=40.数列bn的前n项和为Tn,且Tn-2bn+3=0,nN*.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cn=an,n为奇数,bn,n为偶数,求数列cn的前2n+1项和P2n+1.解(1)由题意知,a1+d=8,4a1+6d=40,解得a1=4,d=4,an=4n.Tn-2bn+3=0,当n=1时,b1=3,当n2时,Tn-1-2bn-1+3=0,两式相减,得bn=2bn-1(n2),故数列bn为等比数列,且bn=32n-1.(2)由(1)知cn=4n,n为奇数,32n-1,n为偶数.P2n+1=(a1+a3+a2n+1)+(b2+b

16、4+b2n)=(n+1)4+4(2n+1)2+6(1-4n)1-4=22n+1+4n2+8n+2.素养培优练(2020黑龙江大庆实验中学高三月考)已知数列an的前n项和为Sn,a1=12,Sn+an=1,nN*,数列bn满足b1=1,对于m,nN*,都有bm+n=bm+bn.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)若cn=anbn,求数列cn的前n项和Tn.解(1)由a1=12,Sn+an=1,nN*,则当n=1时,S1+a1=2a1=1,a1=12,当n2时,an=Sn-Sn-1=1-an-(1-an-1),an=12an-1,an是以12为首项,12为公比的等比数列,an=1212n-1=12n,由m,nN*,都有bm+n=bm+bn,令m=1,有bn+1-bn=b1=1,bn是以1为首项,1为公差的等差数列,bn=1+(n-1)1=n.(2)由(1)得cn=anbn=n12n,所以Tn=1121+2122+3123+(n-1)12n-1+n12n,12Tn=1122+2123+3124+(n-1)12n+n12n+1,由-得12Tn=112+1122+112n-n12n+1,所以Tn=2-(n+2)12n.