2020-2021学年高中数学 第一讲 坐标系 1.4 柱坐标系与球坐标系简介习题（含解析）新人教A版选修4-4.docx

1、四柱坐标系与球坐标系简介课后篇巩固探究A组1.已知点A的球坐标为3,2,2,则点A的直角坐标为()A.(3,0,0)B.(0,3,0)C.(0,0,3)D.(3,3,0)解析设点A的直角坐标为(x,y,z),则x=3sin2cos2=0,y=3sin2sin2=3,z=2cos2=0,所以直角坐标为(0,3,0).答案B2.若点M的直角坐标为(-1,-3,3),则它的柱坐标是()A.2,3,3B.2,23,3C.2,43,3D.2,53,3解析设点M的柱坐标为(,z),则=(-1)2+(-3)2=2,=43,z=3,所以点M的柱坐标为2,43,3,故选C.答案C3.在球坐标系中,方程r=3表示

2、空间中的()A.以x轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面B.以y轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面C.以z轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面D.以原点为球心,半径为3的球面答案D4.导学号73574021已知点M的球坐标为4,4,34,则点M到Oz轴的距离为()A.22B.2C.2D.4解析设点M的直角坐标为(x,y,z),因为(r,)=4,4,34,所以x=rsincos=4sin4cos34=-2,y=rsinsin=4sin4sin34=2,z=rcos=4cos4=22,即M(-2,2,22).故点M到Oz轴的距离为(-2)2+22=22.答案A5.在空间直角坐标系Oxyz中,下列柱坐标对应的

3、点在平面yOz内的是()A.1,2,2B.2,3,0C.3,4,6D.3,6,2解析由点P的柱坐标(,z)知,当=2时,点P在平面yOz内,故选A.答案A6.若点P的直角坐标为(2,6,3),则它的柱坐标是.答案22,3,37.已知在柱坐标系Oxyz中,点M的柱坐标为2,3,5,则|OM|=.解析设点M的直角坐标为(x,y,z),且x2+y2=2=4,故|OM|=x2+y2+z2=4+5=3.答案38.若点M的球坐标为2,3,54,O为原点,则点M到原点的距离为,OM与平面xOy所成的角为.答案269.建立适当的球坐标系,求棱长为1的正方体的各个顶点的球坐标.解以正方体的顶点O为极点,以此顶点

4、处的三条棱所在的直线为坐标轴,建立如图所示的球坐标系.则有O(0,0,0),A1,2,0,B2,2,4,C1,2,2,D(1,0,0),E2,4,0,F3,40,2,且cos=33,G2,4,2.10.(1)将下列各点的柱坐标化为直角坐标:P5,6,3,Q4,23,-3.(2)将下列各点的球坐标化为直角坐标:A4,2,53,B8,34,C0,6,5.解(1)设点P的直角坐标为(x1,y1,z1),则x1=cos=5cos6=532=152,y1=sin=5sin6=512=52,z1=3,故点P的直角坐标为152,52,3.设点Q的直角坐标为(x2,y2,z2),则x2=4cos23=-2,y

5、2=4sin23=23,z2=-3,故点Q的直角坐标为(-2,23,-3).(2)设点A的直角坐标为(x1,y1,z1),则x1=rsincos=4sin2cos53=4112=2,y1=rsinsin=4sin2sin53=41-32=-23,z1=rcos=4cos2=0,故点A的直角坐标为(2,-23,0).设点B的直角坐标为(x2,y2,z2),则x2=8sin34cos=822(-1)=-42,y2=8sin34sin=0,z2=8cos34=8-22=-42.故点B的直角坐标为(-42,0,-42).设点C的直角坐标为(x3,y3,z3),因为r=0,所以x3=0,y3=0,z3=

6、0,即点C的直角坐标为(0,0,0).11.导学号73574022在直三棱柱ABC-A1B1C1中,|CA|=|CB|=1,BCA=90,棱|AA1|=2,M是线段A1B1的中点.建立适当的坐标系,求点M的直角坐标和柱坐标.解建立如图所示的空间直角坐标系,过点M作底面xCy的垂线MN.因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以点N在线段AB上.过点N分别作x轴、y轴的垂线NE,NF,根据已知,可得ABC是等腰直角三角形,所以|NE|=|NF|=12.故点M的直角坐标为12,12,2.由于点M在平面xCy上的射影为点N,连接CN,|CN|=22,ECN=4,故点M的柱坐标为22,4,2.B组1.在

7、柱坐标系中,方程z=C(C为常数)表示()A.圆B.与xOy平面垂直的平面C.球面D.与xOy平面平行的平面答案D2.已知在空间直角坐标系Oxyz中,点M在平面yOz内,若M的球坐标为(r,),则应有()A.=2B.=2C.=2或32D.=2或32解析由点M向平面xOy作垂线,垂足N一定在直线Oy上,由极坐标系的意义知=2或32.答案D3.在柱坐标系中,满足=1,02,0z2的动点M(,z)围成的几何体的体积为.解析根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知满足=1,02,0z2的动点M(,z)的轨迹是以直线Oz为轴,轴截面为正方形的圆柱面,其底面半径r=1,高h=2,故V=Sh=r2h=2.答案24

8、.导学号73574023在柱坐标系中,长方体ABCD-A1B1C1D1的一个顶点在原点,另两个顶点的坐标分别为A1(8,0,10),C16,2,10,则该长方体外接球的体积为.解析由题意知长方体的长、宽、高分别为8,6,10,则其外接球的半径为52.故其外接球的体积为43(52)3=100023.答案1000235.如图,点P为圆柱的上底面与侧面交线上的一点,且点P的柱坐标为6,4,5,求该圆柱的体积.解过点P作PP垂直于底面,垂足为P,因为P6,4,5,所以点P的柱坐标为6,4,0.因此圆柱的底面半径为6,高为5.故圆柱的体积为V=625=180.6.一个圆形体育场,自正东方向起,按逆时针方

9、向等分为十六个扇形区域,顺次记为一区,二区十六区,我们设圆形体育场第一排与体育场中心的距离为200 m,每相邻两排的间距为1 m,每层看台的高度为0.7 m,现在需要确定第九区第四排正中的位置A,请建立适当的柱坐标系,把点A的柱坐标求出来.解以圆形体育场中心O为极点,选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴,在地面上建立极坐标系,则点A与体育场中轴线Oz的距离为203m,极轴Ox按逆时针方向旋转1716,就是OA在地平面上的射影,A距地面的高度为2.8m,因此我们可以用柱坐标203,1716,2.8来表示点A的准确位置.所以点A的柱坐标为203,1716,2.8.7.导学号73574024建立适当的柱坐标系,表示棱长为3的正四面体(棱长都相等的三棱锥)的各个顶点的坐标.分析建系以尽量过最多点为宜,找到相应坐标.解以正四面体的一个顶点B为极点O,选取以O为端点且与BD垂直的射线Ox为极轴,过点O且与平面BCD垂直的直线为z轴,建立如图所示的柱坐标系.过点A作AA垂直于平面BCD,垂足为A,连接BA,则|BA|=33223=3,|AA|=32-(3)2=6,ABx=2-6=3,则A3,3,6,B(0,0,0),C3,6,0,D3,2,0.