2020-2021学年高考数学 考点 第十二章 坐标系与参数方程、不等式选讲 不等式的证明（理）.docx

1、不等式的证明不等式的证明方法：作差比较法(1)作差比较法的理论依据：ab0ab；ab0ab；ab0ab.(2)作差比较法解题的一般步骤：作差；变形整理；判定符号；得出结论其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定与0的大小关系，常用的方法：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等作商比较法(1)作商比较法：若a0，b0，要证明ab，只要证明1；要证明ba，只要证明1.这种证明不等式的方法，叫做作商比较法(2)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：b0，若1，则ab；若1，则ab；b0，若1，则ab；若1，则ab.(3)作商比较法解题的一般步骤：判定a，b符号；作商；变形整理；

2、判定与1的大小关系；得出结论.(1)综合法定义：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或由因导果法特点：由因导果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”证明的框图表示用P表示已知条件或已有定义、定理、公理等，用Q表示所要证明的不等式，则综合法可用框图表示为(2)分析法定义：证明命题时，常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法这是一种“执果索因”的思考和证明方法特点

3、：执果索因，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”证明过程的框图表示用Q表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为反证法(1)反证法的定义：先假设要证明的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立(2)反证法证明不等式的一般步骤：假设命题不成立；依据假设推理论证；推出矛盾以说明假设不成立，从而断定原命题成立放缩法(1)放缩法证明的定义证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的这种方法称为放缩法(2)放缩

4、法的理论依据不等式的传递性等量加(减)不等量为不等量同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较基本不等式(1)定理1：如果a，bR，那么a2b22ab(当且仅当ab时，等号成立)(2)定理2：如果a，b0，那么(当且仅当ab时，等号成立)(3)引理：若a，b，cR，则a3b3c33abc(当且仅当abc时，等号成立)(4)定理3：如果a，b，cR，那么(当且仅当abc时，等号成立)(5)推论：若a1，a2，anR，则.当且仅当a1a2an时，等号成立；二维形式的柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2.(2)柯西不等式的向量

5、形式：设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立(3)二维形式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2R，那么.一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2.当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立排序不等式设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，cn是b1，b2，bn的任一排列，则a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn.数学归纳法：一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数

6、n都成立时，可以用以下两个步骤：证明当nn0时命题成立；假设当nk (kN*，且kn0)时命题成立，证明nk1时命题也成立在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立这种证明方法称为数学归纳法1（2020新课标）设，（1）证明：；（2）用，表示，的最大值，证明：，【解析】（1），均不为0，；（2）不妨设，则，而，与假设矛盾，故，2（2020新课标）设，（1）证明：；（2）用，表示，中的最大值，证明：，【解析】（1），均不为0，；（2）不妨设，则，而，与假设矛盾，故，3（2019新课标）设，且（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或【解析】（1），且，由柯西不等式可得，可

7、得，即有的最小值为；（2）证明：由，柯西不等式可得，可得，即有的最小值为，由题意可得，解得或4（2019新课标）已知，为正数，且满足证明：（1）；（2）【解析】（1）分析法：已知，为正数，且满足要证（1）；因为就要证：；即证：；即：；，为正数，且满足；恒成立；当且仅当：时取等号即得证故得证（2）证成立；即：已知，为正数，且满足为正数；为正数；为正数；当且仅当时取等号；即：时取等号；，为正数，且满足；当且仅当，；时取等号；即：时取等号；当且仅当时取等号；故得证故得证5（2017新课标）已知，证明：（1）；（2）【解析】（1）由柯西不等式得：，当且仅当，即时取等号，（2），由均值不等式可得：，当且

8、仅当时等号成立1（2020新课标）设，（1）证明：；（2）用，表示，的最大值，证明：，【解析】（1），均不为0，；（2）不妨设，则，而，与假设矛盾，故，2（2020新课标）设，（1）证明：；（2）用，表示，中的最大值，证明：，【解析】（1），均不为0，；（2）不妨设，则，而，与假设矛盾，故，3（2019新课标）设，且（1）求的最小值；（2）若成立，证明：或【解析】（1），且，由柯西不等式可得，可得，即有的最小值为；（2）证明：由，柯西不等式可得，可得，即有的最小值为，由题意可得，解得或4（2019新课标）已知，为正数，且满足证明：（1）；（2）【解析】（1）分析法：已知，为正数，且满足要证（1）；因为就要证：；即证：；即：；，为正数，且满足；恒成立；当且仅当：时取等号即得证故得证（2）证成立；即：已知，为正数，且满足为正数；为正数；为正数；当且仅当时取等号；即：时取等号；，为正数，且满足；当且仅当，；时取等号；即：时取等号；当且仅当时取等号；故得证故得证5（2017新课标）已知，证明：（1）；（2）【解析】（1）由柯西不等式得：，当且仅当，即时取等号，（2），由均值不等式可得：，当且仅当时等号成立