2020年九年级数学上学期期末考点练习 解一元二次方程（含解析）.docx

1、解一元二次方程方法一：配方法（最基础的解法）配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方”用配方法解一元二次方程的一般步骤 移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式；【注意】1）当时，方程无解 2）若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方” 求解：判断右边等式符号，开平方并求解。典例1下列用配方法解方程的步骤中，开始出现错误的步骤是（），ABCD【答案】C【详解】步骤，配方时，方程的左、右两边应同时加上一次项系数一半的平方，即方程的左、

2、右两边应同时加上故选C典例2用配方法解下列方程，其中应在方程的左、右两边同时加上1的是（）ABCD【答案】B【详解】A. ，故不符合题意；B. ，故符合题意；C. ，故不符合题意；D. ，故不符合题意.故选B.典例3用配方法解方程，将其化为的形式，正确的是（）ABCD【答案】D【详解】，移项得，配方得，即故选D方法二：直接开平方法（最基础的解法）概念：形如的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得或者，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。【注意】1)若b0，方程有两个实数根。（若b0，方程有两个不相等的实数根；若b=0，方程有两个相等的实数根）2)若b0，方程有两个不相等的实数根，故选

3、项D不合题意；故选B.典例3若关于x的一元二次方程kx2x+10有实数根，则k的取值范围是（）Ak且k0Bk且k0Ck且k0Dk【答案】D【详解】关于x的一元二次方程kx2-x+1=0有实数根，k0且=（-1）2-4k0，解得：且k0故选C典例4一元二次方程根的情况为（）A有两个相等的实数根B有两个正实数根C有两个不相等的实数根D有两个负实数根【答案】C【详解】解：在方程x2+2x-1=0中，=22-41（-1）=80，方程x2+2x-1=0有两个不相等的实数根故选：C方法四：因式分解法（仔细观察方程，灵活使用）用因式分解一元二次方程的一般步骤： 将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0；

4、 将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 求解归纳：右化零，左分解，两因式，各求解典例1 （2018春太原市期末）一元二次方程的根为（）A0B3C0或3D0或3【答案】C【详解】方程x(x+3)=0，可得x=0或x+3=0，解得：x=0,x=3.故选C.典例2方程的根是（）ABC或D以上答案都不正确【答案】C【详解】移项得：解:移项得:,解得或,，故选C.典例3已知是一元二次方程的一个根，则m的值是（）A或BC或1D【答案】B【详解】解：把x=1代入方程（m2-1）x2-mx+m2=0得：（m2-1）-m+m2=0，即2m2-m-1=0，（2m+1

5、）（m-1）=0，解得：m=-或1，当m=1时，原方程不是二次方程，所以舍去故选B方法五：韦达定理（根与系数关系）我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c0（a0，0）之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系：+；典例1关于x的一元二次方程的两根为x1，x2，则的值为（）A-5B-1C1D5【答案】D【详解】一元二次方程的两根为x1，x2，=3-（-2）=5，故选：D.典例2若x1+x2=3，x12+x22=5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）Ax2-3x+2=0Bx2+3x-2=0Cx2+3x+2=0Dx2-3x-2=0【答案】A【详解】x12+x22=5，

6、x1+x22-2x1x2=5，而x1+x2=3，9-2x1x2=5，x1x2=2，以x1，x2为根的一元二次方程为x2-3x+2=0故选：A典例3若是方程的两个实数根，则 ( )A2018B2017C2016D2015【答案】B【详解】是方程的根，.是方程的两个实数根，故选B.巩固训练一、单选题（共10小题）1若、为方程2x2-5x-1=0的两个实数根，则22+3+5的值为（）A-13 B12 C14 D15【答案】B【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系，可知2251=0，+=-ba=52，=ca=-12，因此可得22=5+1，代入22+3+5=5+1+3+5=5（+）+3+1=552+3

7、（-12）+1=12.故选：B.【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键是利用一元二次方程的一般式，得到根与系数的关系x1+x2=-ba，x1x2=ca，然后变形代入即可.2关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是A B C D【答案】A【解析】试题分析：根据一元二次方程的意义，可知a0，然后根据一元二次方程根的判别式，可由有实数根得=b2-4ac=1-4a0，解得a，因此可知a的取值范围为a且a0.【名师点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是根据一元二次方程根的个数判断=b2-4ac的值即可.注意：当0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两

8、个相等的十数根；当0时，方程没有实数根.3已知，是一元二次方程x2+x2=0的两个实数根，则+的值是（）A3 B1 C1 D3【答案】B【详解】，是方程x2+x2=0的两个实数根，+=1，=2，+=1-（-2）=-1+2=1，故选B 【名师点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于ba、两根之积等于ca是解题的关键4已知实数满足，则代数式的值是( )A7B-1C7或-1D-5或3【答案】A【详解】(x2x)24(x2x)120，(x2x+2)(x2x6)0，x2x+20或x2x60，x2x2或x2x6；当x2x2时，x2x+20，b24ac141270，此方程无实数解；当x2

9、x6时，x2x+17，故选A【名师点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，解本题的关键是把x2-x看成一个整体5关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是( )Aq16Cq4 Dq4【答案】A【解析】关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，0，即82-4q0，q16，故选 A.6一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5根的情况是（）A无实数根 B有一个正根，一个负根C有两个正根，且都小于3 D有两个正根，且有一根大于3【答案】D【解析】分析：直接整理原方程，进而解方程得出x的值详解：（x+1）（x3）=2x5整理得：x22x3=2x5

10、，则x24x+2=0，（x2）2=2，解得：x1=2+23，x2=22，故有两个正根，且有一根大于3故选D【名师点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，正确解方程是解题的关键7用配方法解方程x2x10时，应将其变形为( )A(x)2B(x+)2C(x)20D(x)2【答案】D【解析】分析：本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式详解：x2x1=0，x2x=1，x2x+=1+，（x）2=故选D【名师点睛】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同

11、时加上一次项系数一半的平方选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数8用配方法解方程x2+3x+10，经过配方，得到（）A（x+）2B（x+）2C（x+3）210D（x+3）28【答案】B【详解】x2+3x+10，x2+3x1，x2+3x+()21+()2，即(x+)2，故选B【名师点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法用配方法解一元二次方程的步骤：(1)形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可(2)形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次

12、项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方9若关于x的一元二次方程(a+1)x2+x+a210的一个根是0，则a的值为( )A1B1C1D0【答案】A【详解】把x=0代入方程得：，解得：，是关于x的一元二次方程，a-1，即a，a的值是-1.故选B【名师点睛】本题考查一元二次方程的解，一元二次方程的定义.10若关于x的一元二次方程x22x+kb+10有两个不相等的实数根，则一次函数ykx+b的大致图象可能是( )ABCD【答案】C【详解】关于x的一元二次方程x22x+kb+1=0有两个不相等的实数根，=44（kb+1）0，解得kb0，Ak0，b0，即kb0，故A不正确；Bk0，b0，即kb0，故

13、B不正确；Ck0，b0，即kb0，故C正确；Dk0，b=0，即kb=0，故D不正确，故选C【名师点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根与=b24ac有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根二、填空题（共5小题）11关于x的一元二次方程x22kx+k2k=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=4，则x12x1x2+x22的值是_【答案】4【详解】x22kx+k2k=0的两个实数根分别是x1、x2，x1+x2=2k，x1x2=k2k，x12+x22=4，（x1+x

14、2）2-2x1x2=4，（2k）22（k2k）=4，2k2+2k4=0，k2+k2=0，k=2或1，=（2k）241（k2k）0，k0，k=1，x1x2=k2k=0，x12x1x2+x22=40=4，故答案为：4【名师点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当一元二次方程有实数根时，根的判别式0”是解题的关键12已知a、b、c为ABC的三边长，且a、b满足a2-6a+b2-4b+13=0，c为奇数，则ABC的周长为_【答案】8【详解】a2+b2-4a-6b+13=0，(a2-4a+4)+(b2-6b+9)=0，(a-2)2+(b-3)2=0，a=2，b=3，边长c的范围为1c5

15、边长c的值为奇数，c=3，ABC的周长为2+3+3=8故答案为：8【名师点睛】本题考查的是配方法的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键13已知：m22m1=0，n2+2n1=0且mn1，则的值为_【答案】3【先理解再解答】将n2+2n-1=0变形为.据此可得m，是方程x2-2x-1=0的两根，由一元二次方程的根与系数的关系可得m+=2，代入可得【详解】由n2+2n-1=0可知n01+-=0，又m2-2m-1=0，且mn1，即mm，是方程x2-2x-1=0的两根m+=2=2+1=3，故答案为：3【名师点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是将方程变形后

16、得出m，是方程x2-2x-1=0的两根14设m，n是一元二次方程x22x70的两个根，则m23mn_.【答案】5【解析】试题分析：根据根与系数的关系可知m+n=2，又知m是方程的根，所以可得m2+2m7=0，最后可将m2+3m+n变成m2+2m+m+n，最终可得答案设m、n是一元二次方程x2+2x7=0的两个根，m+n=2，m是原方程的根，m2+2m7=0，即m2+2m=7，m2+3m+n=m2+2m+m+n=72=515关于x的一元二次方程（m5）x2+2x+2=0有实根，则m的最大整数解是_【答案】m=4【解析】分析：若一元二次方程有实根，则根的判别式=b24ac0，建立关于m的不等式，求

17、出m的取值范围还要注意二次项系数不为0详解：关于x的一元二次方程（m5）x2+2x+2=0有实根，=48（m5）0，且m50，解得m5.5，且m5，则m的最大整数解是m=4故答案为：m=4【名师点睛】考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）0，方程有两个不相等的实数根；（2）=0，方程有两个相等的实数根；（3）0方程没有实数根三、解答题（共2小题）16阅读材料:若，求m、n的值.解: ，.根据你的观察，探究下面的问题:（1）己知，求的值.（2）已知ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值.（3）若己知，求的值.【答案】（1）2（2）6（3）7【分析】

18、（1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出xy的值；（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长；（3）由ab=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出ab+c的值【详解】（1）x2+2xy+2y2+2y+1=0（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0（x+y）2+（y+1）2=

19、0x+y=0 y+1=0解得：x=1，y=1xy=2；（2）a2+b26a8b+25=0（a26a+9）+（b28b+16）=0（a3）2+（b4）2=0a3=0，b4=0解得：a=3，b=4三角形两边之和第三边ca+b，c3+4，c7又c是正整数，ABC的最大边c的值为4，5，6，c的最大值为6；（3）ab=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c26c+13=0，整理得：（b2+4b+4）+（c26c+9）=（b+2）2+（c3）2=0，b+2=0，且c3=0，即b=2，c=3，a=2，则ab+c=2（2）+3=7故答案为：7【名师点睛】本题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌

20、握完全平方公式是解答本题的关键17己知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2（1）求k的取值范围；（2）若=1，求k的值【答案】（1）k；（2）k=3【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于k的不等式，解之即可得出k的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=2k3、x1x2=k2，结合=1即可得出关于k的分式方程，解之经检验即可得出结论【详解】（1）关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根，=（2k+3）24k20，解得：k；（2）x1、x2是方程x2+（2k+3）x+k2=0的实数根，x1+x2=2k3，x1x2=k2，=1，解得：k1=3，k2=1，经检验，k1=3，k2=1都是原分式方程的根，又k，k=3【名师点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合=1找出关于k的分式方程