2021-2022学年数学北师大版选择性必修第二册测评：第一章　5　数学归纳法 WORD版含解析.docx

1、第一章数列*5数学归纳法课后篇巩固提升必备知识基础练1.用数学归纳法证明:对任意正偶数n,均有1-12+13-14+1n-1-1n=21n+2+1n+4+12n,在验证n=2正确后,归纳假设应写成()A.假设n=k(kN+)时命题成立B.假设nk(kN+)时命题成立C.假设n=2k(kN+)时命题成立D.假设n=2(k+1)(kN+)时命题成立答案C2.利用数学归纳法证明不等式1+12+13+12n-1(n+1)2(nN+)时,初始值n0应等于.答案6解析由题意,当n=1时,21(1+1)2;当n=2时,22(2+1)2;当n=3时,23(3+1)2;当n=4时,24(4+1)2;当n=5时,

2、25(6+1)2,所以用数学归纳法证明不等式2n(n+1)2(nN+)时,初始值n0应等于6.6.用数学归纳法证明122+132+1(n+1)212-1n+2.假设n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是.答案122+132+1k2+1(k+1)2+1(k+2)212-1k+3解析观察不等式中各项的分母变化,知n=k+1时,应推证的不等式是122+132+1k2+1(k+1)2+1(k+2)212-1k+3.7.用数学归纳法证明1-141-191-1161-1n2=n+12n(n2,nN+).证明(1)当n=2时,左边=1-14=34,右边=2+122=34,所以左边=右边

3、,所以n=2时等式成立.(2)假设n=k(k2,kN+)时等式成立,即1-141-191-1161-1k2=k+12k,那么n=k+1时,1-141-191-1161-1k21-1(k+1)2=k+12k1-1(k+1)2=k+12kk(k+2)(k+1)2=k+22(k+1)=(k+1)+12(k+1),即n=k+1时等式成立.综合(1)(2)知,对任意n2,nN+等式恒成立.关键能力提升练8.凸n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形对角线的条数f(n+1)等于()A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2答案C解析增加一个顶点,就增加(n+1-3)条对角

4、线,另外,原来的一边也变成了对角线,故f(n+1)=f(n)+1+n+1-3=f(n)+n-1.故选C.9.用数学归纳法证明不等式1n+1+1n+2+12n45(nN+,n2)时,可将其转化为证明()A.1n+1+1n+2+12n45+12n+1(nN+,n2)B.1n+1+1n+2+12n45-12n+1(nN+,n2)C.1n+1+1n+2+12n45+12n(nN+,n2)D.1n+1+1n+2+12n45-12n(nN+,n2)答案B解析由于45+12n+145,45+12n45,不能推得不等式1n+1+1n+2+12n45成立,故排除选项A,C.可令f(n)=1n+1+1n+2+12

5、n+12n,当n=2时,f(2)=12+13=5645,故排除D.由于1n+1+1n+2+12n1n+1+1n+2+12n+12n+1,只要证1n+1+1n+2+12n45-12n+1,当n=k时,假设1k+1+1k+2+12k45-12k+1成立,当n=k+1时,1k+2+12k+12k+1+12k+245-12k+1-1k+1+12k+1+12k+2=45-12k+245-12k+3=45-12(k+1)+1,即n=k+1时,不等式也成立.综上可得1n+1+1n+2+12n45-12n+1成立.故原不等式成立.10.某个命题与自然数n有关,如果当n=k(kN+)时命题成立,则可得当n=k+

6、1时命题也成立,若已知当n=5时命题不成立,则下列说法正确的是()A.当n=4时,命题不成立B.当n=1时,命题可能成立C.当n=6时,命题不成立D.当n=6时,命题成立答案A解析由题意可知,P(n)对n=4成立,则n=5也成立,与题设矛盾,所以n=4时,命题不成立,所以A的说法正确;如果n=1命题成立,则n=2命题成立,可得n=5时,命题成立,与题设矛盾,所以B说法不正确;当n=6时,命题可能成立也可能不成立,所以C的说法不正确,D的说法不正确,故选A.11.(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)k+1成立时,总有f(k+1)k+2成立.下列命题总成立的是(

7、)A.若f(6)7成立,则f(5)6成立B.若f(3)4成立,则当k1时,均有f(k)k+1成立C.若f(2)3成立,则f(1)2成立D.若f(4)5成立,则当k4时,均有f(k)k+1成立答案AD解析若f(5)6不成立,则f(5)6,由题意知f(6)7,与f(6)7成立矛盾,所以f(5)6成立,A正确.BC显然错误.若f(4)5成立,由题意,得当k4时,均有f(k)k+1成立,故D正确.所以选AD.12.在用数学归纳法证明“f(n)=1n+1n+1+1n+2+12n1(nN+,n3)”的过程中,假设当n=k(kN+,k3)时,不等式f(k)1成立,当证明n=k+1,f(k+1)n2=1,当n

8、=2时,22+2=6n2=4,当n=3时,23+2=10n2=9,当n=4时,24+2=18n2=16,由此可以猜想,2n+2n2(nN+)成立.下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,21+212,所以原不等式成立.当n=2时,22+222,所以原不等式成立.当n=3时,23+232,所以原不等式成立.(2)假设当n=k时(k3且kN+)时,不等式成立,即2k+2k2.当n=k+1时,2k+1+2=22k+2=2(2k+2)-22k2-2.又2k2-2-(k+1)2=k2-2k-3=(k-3)(k+1)0,即2k2-2(k+1)2,故2k+1+2(k+1)2成立.根据(1)和(2),原不等式

9、对于任意nN+都成立.14.(1)设数列an满足a0=2,an=an-12-n(nN+),用数学归纳法证明ann(nN+).(2)证明:对任意自然数n,都有1+2+3+n0,a1=a02-1=31,a2=a12-2=72,a3=a22-3=463;设n=k,k3时,有akk,则ak+1ak2-(k+1)k2-(k+1)3k-(k+1)=2k-1k+1,所以n=k+1时,ak+1k+1也成立.于是,对任意自然数nN+,都有ann.(2)由(1)知,an=an-12-n,且ann0,nN+,所以an-1=an+nn,an-2=an-1+(n-1)(n-1)+n,a01+2+3+n,即1+2+3+n

10、2成立.学科素养创新练15.汉诺塔问题源于一种古老的益智游戏.这个游戏的目的是将图1中按照直径从小到大依次摆放在号塔座上的盘子,移动到号塔座上,在移动的过程中要求:每次只可以移动一个盘子,并且保证任何一个盘子都不可以放在比自己小的盘子上.记将n个直径不同的盘子从号塔座移动到号塔座所需要的最少次数为an.(1)试写出a1,a2,a3,a4的值,并猜想出an.(无需给出证明)(2)著名的毕达哥拉斯学派提出了形数的概念.他们利用小石子摆放出了图2的形状,此时小石子的数目分别为1,4,9,16,由于小石子围成的图形类似正方形,于是称bn=n2这样的数为正方形数.当n2时,试比较an与bn的大小,并用数

11、学归纳法加以证明.解(1)由题意得,a1=1,a2=3,a3=7,a4=15,猜想an=2n-1;(2)a1=1,a2=3,a3=7,a4=15,a5=31,b1=1,b2=4,b3=9,b4=16,b5=25.则当2n5时,anbn,即2n-1n2.下面利用数学归纳法证明:当n=5时,a5=31,b5=25,a5b5,结论成立;假设n=k(k5,kN+)时结论成立,即2k-1k2,那么当n=k+1时,ak+1=2k+1-1=2(2k-1)+12k2+1=k2+k2+1.而k5时,k(k-2)0,即k22k,ak+1=2k+1-1k2+k2+1k2+2k+1=(k+1)2=bk+1.当n=k+1时,结论成立.由可知,当n5时,结论成立.综上,当2n5时,anbn.