2021-2022学年数学北师大版选择性必修第二册测评：第一章　习题课1　数列的通项问题 WORD版含解析.docx

1、第一章数列习题课1数列的通项问题课后篇巩固提升必备知识基础练1.在数列an中,an+1=an1+3an,a1=2,则a4=()A.165B.219C.85D.87答案B2.已知数列an中,a1=1,an+1=an1+2an,则这个数列的第n项为()A.2n-1B.2n+1C.12n-1D.12n+1答案C解析an+1=an1+2an,a1=1,1an+1-1an=2.1an为等差数列,公差为2,首项1a1=1.1an=1+(n-1)2=2n-1,an=12n-1.3.若数列an中,a1=3,an+an-1=4(n2),则a2 021的值为()A.1B.2C.3D.4答案C解析a1=3,an+a

2、n-1=4(n2),an+1+an=4,an+1=an-1,an=an+2,即奇数项、偶数项构成的数列均为常数列,又a1=3,a2021=3.4.已知等比数列an的前n项和为Sn=3n+1+t,则数列的通项公式an=.答案23n解析等比数列an中,前n项和Sn=3n+1+t,a1=S1=9+t,a2=S2-S1=18,a3=S3-S2=54,182=54(9+t),解得t=-3,a1=9+t=6,公比q=3,an=63n-1=23n.5.在数列an中,a1=1,an+1=n+1nan,则数列an的通项公式an=.答案n解析当n2时,an=anan-1an-1an-2a3a2a2a1a1=nn-

3、1n-1n-23221=n,当n=1时,a1=1也符合an=n,an=n.6.在等比数列an中,a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.行数列数第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818则数列an的通项公式为.答案an=23n-1解析当a1=3时,不合题意;当a1=2时,当且仅当a2=6,a3=18时,符合题意;当a1=10时,不合题意.因此a1=2,a2=6,a3=18,所以公比q=3,故an=23n-1.7.设f(x)=log2x-logx4(0x1),数列an的通项an满足f(2an)=2n,求数列an的通

4、项公式.解f(x)=log2x-logx4(0x1),f(2an)=2n,log22an-log2an4=2n,由换底公式得log22an-log24log22an=2n,即an-2an=2n,an2-2nan-2=0,解得an=nn2+2.又0x1,02an1,an1,nN+,满足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),则下列式子正确的是()A.a9=17B.a10=18C.S9=81D.S10=91答案BD解析对于任意n1,nN+,满足Sn+1+Sn-1=2(Sn+1),Sn+1-Sn=Sn-Sn-1+2,an+1-an=2,n2.数列an在n2时是等差数列,公差为2.又a1=1,a2=2,则

5、a9=2+72=16,a10=2+82=18,S9=1+82+8722=73,S10=1+92+9822=91.故选BD.12.(多选题)已知数列an的前n项和是Sn,则下列说法正确的有()A.若Sn=2n,则an是等差数列B.若Sn=2an-1,则an是等比数列C.若an是等差数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列D.若an是等比数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列答案ABC解析若Sn=2n,当n2时,an=Sn-Sn-1=2n-2(n-1)=2,当n=1时,a1=S1=2也适合上式,故an=2,因为an-an-1=0,所以数列an是等差数列,故选项A正确;若S

6、n=2an-1,当n2时,an=Sn-Sn-1=(2an-1)-(2an-1-1)=2an-2an-1,整理可得an=2an-1,所以anan-1=2,所以数列an是等比数列,故选项B正确;若an是等差数列,设公差为d,则Sn=a1+a2+an,S2n-Sn=an+1+an+2+a2n=Sn+nd,S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+a3n=Sn+2nd,所以2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n,故Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,故选项C正确;若an是等比数列,当公比q=-1时,an=a1(-1)n-1,当n为偶数时,则有Sn=0,S2n-Sn=0,S3n-S2n=0,不

7、构成等比数列,故选项D错误.故选ABC.13.已知数列an满足lna13lna26lna39lnan3n=3n2(nN+),则a10=.答案e1003解析lna13lna26lna39lnan3n=3n2(nN+),lna13lna26lna39lnan-13(n-1)=3(n-1)2(n2),lnan=3n2n-1(n2),an=e3n2n-1(n2),a10=e1003.14.已知数列an满足a1=1,a2=13,若an(an-1+2an+1)=3an-1an+1(n2,nN+),则数列an的通项公式an=.答案12n-1解析由题意知anan-1+2anan+1=3an-1an+1,1an

8、+1+2an-1=3an,1an+1-1an=21an-1an-1,即1an+1-1an1an-1an-1=2,数列1an+1-1an是首项为2,公比为2的等比数列,1an+1-1an=22n-1=2n.利用累加法,得1an=1a1+1a2-1a1+1a3-1a2+1an-1an-1=1+2+22+2n-1,即1an=2n-12-1=2n-1,an=12n-1.15.设Sn是数列an的前n项和,若an2+1=2anSn,且an0,则Sn=,a100=.答案n10-311解析由an2+1=2anSn,则当n=1时,a12+1=2a1S1,即S12=1;当n2时,(Sn-Sn-1)2+1=2(Sn

9、-Sn-1)Sn,整理得Sn2-Sn-12=1.所以数列Sn2是以1为首项,1为公差的等差数列,则Sn2=n.由于an0,所以Sn=n,故a100=S100-S99=100-99=10-311.16.设数列an的前n项和为Sn,数列Sn的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,nN+.(1)求a1的值;(2)求数列an的通项公式.解(1)当n=1时,T1=2S1-1,因为T1=S1=a1,所以a1=2a1-1,所以a1=1.(2)当n2时,Tn-1=2Sn-1-(n-1)2,则Sn=Tn-Tn-1=2Sn-n2-2Sn-1-(n-1)2=2(Sn-Sn-1)-2n+1=2an-2n+1,因为当

10、n=1时,a1=S1=1也满足上式,所以Sn=2an-2n+1(n1),当n2时,Sn-1=2an-1-2(n-1)+1,-,得an=2an-2an-1-2,所以an=2an-1+2(n2),所以an+2=2(an-1+2),因为a1+2=30,所以数列an+2是以3为首项,2为公比的等比数列,所以an+2=32n-1,所以an=32n-1-2.学科素养创新练17.已知数列an的前n项和为Sn,且满足a1=1,nSn+1-(n+1)Sn=n(n+1)2,nN+.(1)求数列an的通项公式.(2)是否存在正整数k,使ak,S2k,a4k成等比数列?若存在,求k的值;若不存在,请说明理由.解(1)

11、由nSn+1-(n+1)Sn=n(n+1)2,得Sn+1n+1-Snn=12,数列Snn是首项为S11=1,公差为12的等差数列,Snn=1+12(n-1)=12(n+1),Sn=n(n+1)2.当n2时,an=Sn-Sn-1=n(n+1)2-(n-1)n2=n.而a1=1适合上式,an=n.(2)由(1)知an=n,Sn=n(n+1)2.假设存在正整数k,使ak,S2k,a4k成等比数列,则S2k2=aka4k,即2k(2k+1)22=k4k.k为正整数,(2k+1)2=4,得2k+1=2或2k+1=-2,解得k=12或k=-32,与k为正整数矛盾.不存在正整数k,使ak,S2k,a4k成等比数列.