2021-2022学年高中数学 第二章 概率测评 北师大版选修2-3.docx

1、第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若随机变量的分布列如下表所示,则p1=()-124Pp1A.0B.C.D.1解析:由分布列性质pi=1,n=1,2,3,n,得+p1=1.所以p1=.答案:B2.在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,则下列概率中等于的是()A.P(X=2)B.P(X2)C.P(X=4)D.P(X4)解析:X服从超几何分布,P(X=k)=,故k=4.答案:C3.某校高考的数学成绩近似服从正态分布N(100,100),则该校成绩位于(80,120)内的

2、人数占考生总人数的百分比约为()A.22.8%B.45.6%C.95.4%D.97.22%解析:设该校高考数学成绩为X,由XN(100,100)知,正态分布的两个参数为=100,=10,所以P(80X120)=P(100-20X100+20)=P(-2X+2)=95.4%.答案:C4.若YB(n,p),且EY=3.6,DY=2.16,则此二项分布是()A.B(4,0.9)B.B(9,0.4)C.B(18,0.2)D.B(36,0.1)解析:由题意得np=3.6,np(1-p)=2.16,所以n=9,p=0.4.答案:B5.某普通高校招生体育专业测试合格分数线确定为60分.甲、乙、丙三名考生独立

3、参加测试,他们能达到合格的概率分别是0.9,0.8,0.75,则三人中至少有一人达标的概率为()A.0.015B.0.005C.0.985D.0.995解析:三人都不合格的概率为(1-0.9)(1-0.8)(1-0.75)=0.005.所以至少有一人合格的概率为1-0.005=0.995.答案:D6.某种动物活到20岁的概率是0.8,活到25岁的概率是0.4,则现龄20岁的这种动物活到25岁的概率是()A.0.32B.0.5C.0.4D.0.8解析:记事件A表示“该动物活到20岁”,事件B表示“该动物活到25岁”,由于该动物只有活到20岁才有活到25岁的可能,故事件B包含事件A,从而有P(AB

4、)=P(B)=0.4,所以现龄20岁的这种动物活到25岁的概率为P(B|A)=0.5.答案:B7.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率,则事件A在1次试验中发生的概率p的取值范围是()A.0.4,1)B.(0,0.4C.(0,0.6D.0.6,1)解析:由题意知p(1-p)3p2(1-p)2,化简得2(1-p)3p,解得p0.4,又因为0p1,所以0.4p1.故选A.答案:A8.由正方体ABCD-A1B1C1D1的8个顶点中的任意3个顶点构成的所有三角形中,任取其中的两个,这两个三角形不共面的概率为()A.B.C.D.解析:从8个顶点中任选3个顶点组成三

5、角形的个数为=56,从56个三角形中任选2个有种选法.正方体中四点共面的情况共有12种,每共面的四个顶点可组成=4个三角形,在4个三角形中任取2个的取法有=6种,所以8个顶点中的任意3个顶点构成的所有三角形中,任取其中的两个,这两个三角形共面的概率为,所以所求概率为1-.答案:A9.设集合A=1,2,B=1,2,3,分别从集合A和集合B中随机取一个数a和b,确定平面上的一个点P(a,b),记“点P(a,b)落在直线x+y=n上”为事件Cn(2n5,nN+),当事件Cn发生的概率最大时,n的所有可能取值为()A.3B.4C.2和5D.3和4解析:由题意知点P的坐标可能为(1,1),(1,2),(

6、1,3),(2,1),(2,2),(2,3),故事件C2发生的概率为,事件C3发生的概率为,事件C4发生的概率为,事件C5发生的概率为,故选D.答案:D10.利用下列盈利表中的数据进行决策,应选择的方案是()自然状况概率A1A2A3A4S10.255070-2098S20.3065265282S30.45261678-10A.A1B.A2C.A3D.A4解析:分别求出方案A1,A2,A3,A4盈利的均值,得EA1=43.7,EA2=32.5,EA3=45.7,EA4=44.6,故选C.答案:C11.设10x1x2x3D2B.D1=D2C.D1D2.答案:A12.一袋中有大小、形状、质地相同的4

7、个红球和2个白球,给出下列结论:从中任取3球,恰有一个白球的概率是;从中有放回的取球6次,每次任取一球,则取到红球次数的方差为;现从中不放回的取球2次,每次任取1球,则在第一次取到红球后,第二次再次取到红球的概率为;从中有放回的取球3次,每次任取一球,则至少有一次取到红球的概率为.其中所有正确的结论是()A.B.C.D.解析:恰有一个白球的概率P=,故正确;每次任取一球,取到红球次数XB,其方差为6,故正确;设A=第一次取到红球,B=第二次取到红球,则P(A)=,P(AB)=,所以P(B|A)=,故错;每次取到红球的概率P=,所以至少有一次取到红球的概率为1-,故正确.答案:A二、填空题(本大

8、题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知离散型随机变量X的分布列为:X012P0.51-2qq2则常数q=.解析:由离散型随机变量的分布列意义得得q=1-.答案:1-14.在等差数列an中,a4=2,a7=-4.现从an的前10项中随机取数,每次取出一个数,取后放回,连续抽取3次,假定每次取数互不影响,那么在这三次取数中,取出的数恰好为两个正数和一个负数的概率为(用数字作答).解析:由a4=2,a7=-4可得等差数列an的通项公式为an=10-2n(n=1,2,10).由题意,三次取数相当于三次独立重复试验,在每次试验中取得正数的概率为,取得负数的概率为,在三次取数中,取出的数恰好为两个正

9、数和一个负数的概率为.答案:15.在(x+1)9的二项展开式中任取2项,Pi表示取出的2项中有i项系数为奇数的概率.若用随机变量表示取出的2项中系数为奇数的项数i,则随机变量的均值为.解析:(x+1)9的展开式中各项的系数为(k=0,1,2,9),共10个,系数为奇数的有共4个.P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=.E=0+1+2.答案:16.甲、乙两人进行一场比赛,已知甲在一局中获胜的概率为0.6,无平局,比赛有3种方案:比赛3局,先胜2局者为胜者;比赛5局,先胜3局者为胜者;比赛7局,先胜4局者为胜者.则方案对乙最有利.解析:设三种方案中乙获胜的概率分别为P1,P2,P3,每种方案都可

10、以看成独立重复试验,则P1=0.42+0.60.42=0.352,P2=0.43+0.60.43+0.620.430.317,P3=0.44+0.440.6+0.440.62+0.440.630.290.由于P1P2P3,所以方案对乙最有利.答案:三、解:答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与均值.(注:若三个数a,b,c满足abc,则称b为这三个数的

11、中位数.)解:(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P=.(2)X的所有可能值为1,2,3,且P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,故X的分布列为X123P从而EX=1+2+3.18.(本小题满分12分)某高校设计了某实验学科的考核方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3题,按照题目要求独立完成全部实验操作.规定:至少正确完成其中2题才可提交通过.已知6道备选题中,考生甲有4道题能正确完成,2道题不能正确完成;考生乙每题正确完成的概率都是,且每题正确完成与否互不影响.(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列,并计算数学期望;(2)试从两位考生正确完成题数的数学期望及至

12、少正确完成2道题的概率分析比较两位考生的实验操作能力.解:(1)设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为,则的所有可能取值为1,2,3,的所有可能取值为0,1,2,3.P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=,考生甲正确完成题数的概率分布列为123PE=1+2+3=2.P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=,考生乙正确完成题数的分布列为0123PE=0+1+2+3=2.(2)P(2)=0.8,P(2)=0.74,P(2)P(2).从做对题数的数学期望考核,两人水平相当;从至少正确完成2道题的概率考核,甲获得通过的可能性大.因此可以判断甲的实验操作能力较强.19.(本小题满分12

13、分)某班从6名班干部(其中男生4人,女生2人)中,任选3人参加学校的义务劳动.(1)设所选3人中女生人数为X,求X的分布列;(2)求男生甲或女生乙被选中的概率;(3)设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,求P(B)和P(A|B).解:(1)X的所有可能取值为0,1,2,依题意得P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=.X的分布列为X012P(2)设“男生甲、女生乙都不被选中”为事件C,则P(C)=,所求概率为P()=1-P(C)=1-.(3)由题意得P(B)=,又P(AB)=,P(A|B)=.20.(本小题满分12分)某球类总决赛采取7局4胜制,预计本次比赛两队的实力相当

14、各队在一场比赛中获胜的可能性均为,每场比赛组织者可获利200万元.(1)求组织者在本次比赛中获利不低于1 200万元的概率;(2)组织者在本次比赛中获利的期望为多少万元?解:设本次比赛组织者获利为X万元,当X=800时,这两队只进行四场比赛,两队有一队全胜,P(X=800)=2=0.125;当X=1 000时,这两队进行五场比赛,两队中有一队前四场比赛是胜三场,败一场,第五场胜,P(X=1 000)=2=0.25;当X=1 200时,这两队进行六场比赛,P(X=1 200)=2=0.312 5;当X=1 400时,这两队比赛满七场,P(X=1 400)=2=0.312 5.所以X的分布列为X8

15、001 0001 2001 400P0.1250.250.312 50.312 5(1)组织者在本次比赛中获利不低于1 200万元的概率是0.312 52=0.625.(2)EX=8000.125+1 0000.25+1 2000.312 5+1 4000.312 5=1 162.5.故组织者在本次比赛中获利的期望为1 162.5万元.21.(本小题满分12分)一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概

16、率;(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,均值EX及方差DX.解:(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”,因此P(A1)=(0.006+0.004+0.002)50=0.6,P(A2)=0.00350=0.15,P(B)=0.60.60.152=0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3,相应的概率为P(X=0)=(1-0.6)3=0.064,P(X=1)=0.6(1-0.6)2=0.288,P(X=2)=0.

17、62(1-0.6)=0.432,P(X=3)=0.63=0.216.分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为XB(3,0.6),所以EX=30.6=1.8,方差DX=30.6(1-0.6)=0.72.22.(本小题满分12分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品,生产1吨A产品需鲜牛奶2吨,使用设备1小时,获利1 000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1 200元,要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12小时,假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为W12151

18、8P0.30.50.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是一个随机变量.(1)求Z的分布列和均值;(2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率.解:(1)设每天A,B两种产品的生产数量分别为x,y,相应的获利为z,则有目标函数为z=1 000x+1 200y.当W=12时,表示的平面区域如图1,三个顶点分别为A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0).将z=1 000x+1 200y变形为y=-x+,当x=2.4,y=4.8时,直线l:y=-x+在y轴上的截距最大,最大获利Z=zmax=2.

19、41 000+4.81 200=8 160.当W=15时,表示的平面区域如图2,三个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(7.5,0).图1图2将z=1 000x+1 200y变形为y=-x+,当x=3,y=6时,直线l:y=-x+在y轴上的截距最大,最大获利Z=zmax=31 000+61 200=10 200.当W=18时,表示的平面区域如图3.图3四个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0).将z=1 000x+1 200y变形为y=-x+,当x=6,y=4时,直线l:y=-x+在y轴上的截距最大,最大获利Z=zmax=61 000+41 200=10 800.故最大获利Z的分布列为Z8 16010 20010 800P0.30.50.2因此,EZ=8 1600.3+10 2000.5+10 8000.2=9 708.(2)由(1)知,一天最大获利超过10 000元的概率p1=P(Z10 000)=0.5+0.2=0.7,由二项分布,得3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为p=1-(1-p1)3=1-0.33=0.973.