2021届高考数学（全国统考版）二轮复习梳理纠错预测学案：专题三 三角函数与解三角形（理） WORD版含解析.docx

1、专题 3三角函数与解三角形命题趋势1三角函数的考查大多为三角函数性质与图象的考查，其中三角函数图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值作为热点，难度中等偏简单2解三角形的考查常与三角恒等变换结合，考查正弦定理、余弦定理的综合使用，利用三角恒等变换进行化简等，难度中等偏简单考点清单一、三角函数1公式（1）扇形的弧长和面积公式：如果半径为r的圆的圆心角所对的弧的长为l，那么角的弧度数的绝对值是相关公式：l=r（2）诱导公式：正弦余弦正切+k2sincostan+-sin-costan-sincos-tan-sin-cos-tancos-sincossin-cossin-cos-sin

2、（3）同角三角函数关系式：sin2+cos2=1，（4）两角和与差的三角函数：sin(+)=sincos+cossinsin(-)=sincos-cossincos(+)=coscos-sinsincos(-)=coscos+sinsin（5）二倍角公式：sin2=2sincoscos2=cos2-sin2=1-2sin2=2cos2-1（6）降幂公式：，2三角函数性质性质y=sinx，xRy=cosx，xR奇偶性奇函数偶函数单调性在区间上是增函数，在区间上是减函数在区间-+2k，2k(kZ)上是增函数，在区间2k，+2k(kZ)上是减函数最值在时，ymax；在时，ymin在x=2k(kZ)时

3、，ymax；在x=2k+(kZ)时，ymin对称中心(k，0)(kZ)对称轴x=k(kZ)正切函数的性质图象特点定义域为图象与直线没有交点值域为R图象向上、向下无限延伸最小正周期为在区间上图象完全一样在内是增函数图象在内是上升的对称中心为图象关于点成中心对称3函数y=Asin(x+)的图象及变换（1）对函数y=sin(x+)的图象的影响（2）(0)对y=sin(x+)的图象的影响（3）A(A0)对y=Asin(x+)的图象的影响4函数y=Asin(x+)的性质（1）函数y=Asin(x+)(A0，0)中参数的物理意义（2）函数y=Asin(x+)(A0，0)的有关性质二、解三角形1正余弦定理定

4、理正弦定理余弦定理内容(为外接圆半径)；变形形式，；，；2利用正弦、余弦定理解三角形（1）已知两角一边，用正弦定理，只有一解（2）已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况在中，已知，和角时，解得情况如下：为锐角为钝角或直角直角图形关系式解的个数一解两解一解一解上表中为锐角时，无解为钝角或直角时，均无解（3）已知三边，用余弦定理，有解时，只有一解（4）已知两边及夹角，用余弦定理，必有一解3三角形中常用的面积公式（1）(表示边上的高）；（2）；（3）（为三角形的内切圆半径）4解三角形应用题的一般步骤精题集训（70分钟）经典训练题一、选择题1若角的终边在直线y=-2x上，则sin2

5、021+cos-+cos2+1=（）A2BCD1【答案】A【解析】因为角的终边在直线y=-2x上，所以，即，即，所以cos=2sin，所以，故选A【点评】本题主要考查三角函数的定义，诱导公式，二倍角公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题关键点是：构造齐次式，使问题相对容易求解2若将函数y=3sin2x的图象向右平移个单位长度，平移后图象的一条对称轴为（）ABCD【答案】B【解析】将函数y=3sin2x的图象向右平移个单位长度，所得的函数为，由，得，当k=0时，故选B【点评】本题主要考查三角函数的图象的平移变换，以及对称性，属于基础题3将函数f(x)=sinx+3cosx图象上所有点

6、的横坐标扩大到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数gx的图象，则该函数在0，上的单调递增区间是（）ABCD【答案】B【解析】，将其图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍得，再向右平移个单位长度后得到，令，得，令k=0，得，因为x0，所以，所以函数gx在0，上的单调递增区间是，故选B【点评】已知三角函数的解析式求单调区间先将解析式化为或的形式，然后将x+看成一个整体，根据y=sinx与y=cosx的单调区间列不等式求解4已知函数fx=2sinx+，的部分图象如图所示，fx的图象过，两点，将fx的图象向左平移个单位得到gx的图象，则函数gx在上的最小值为（）A-2B2C-3D-1【答案】A【解

7、析】由图象知，T=2，则，fx=2sinx+，将点的坐标代入得，即，又，则，将fx的图象向左平移个单位得到函数，gx在上的最小值为，故选A【点评】本题主要考了三角函数关系式的求法，正弦型函数的性质及应用，主要考查学生的运算能力，转换能力属于基础题5已知函数的周期为，当时，方程恰有两个不同的实数解x1，x2，则fx1+x2=（）A2B1CD【答案】B【解析】，由，得=2，作出函数fx在上的图象如图：由图可知，故选B项【点评】本题考查正弦型函数的化简及其图象与性质，属于简单题6已知函数fx=sin2x-2cosx，下列说法正确的是（）函数fx是周期函数；是函数fx图象的一条对称轴；函数fx的增区间

8、为；函数fx的最大值为ABCD【答案】D【解析】T=2为函数fx=sin2x-2cosx的一个周期，故正确；因为，所以不是函数fx的对称轴，故不正确；fx=2cos2x+2sinx=-4sin2x+2sinx+2=4sinx+2-sinx+1，令fx0，得，所以函数fx的增区间为，故正确；fx=2cosxsinx-1，T=2，不妨取x0，2，又因为求最大值必有fx0，所以只需考虑，又可由fx=4sinx+2-sinx+10，得fx在上单调递增，在上单调递减，所以函数fx的最大值为，故正确，故选D【点评】本题主要考查了求三角函数的性质，包括周期性，对称轴，单调性和最值属于中档题7将函数f(x)=

9、cosx的图象先向右平移个单位长度，在把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在上没有零点，则的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】函数f(x)=cosx的图象先向右平移个单位长度，可得的图象，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，周期，若函数g(x)在上没有零点，解得01，又，解得，当时，解；当时，01，可得，故答案为A【点评】本题考查函数y=Acosx+的图象变换及零点问题，此类问题通常采用数形结合思想，构建不等关系式，求解可得，属于较难题8在ABC中，则AC+3BC的最大值为（）A57B47C37D27【答案

10、】B【解析】有正弦定理得，所以a=4sinA，b=4sinB，所以AC+3BC=b+3a=4sinB+43sinA=10sinB+23cosB=100+12sinB+=47sinB+其中，由于，所以，故当时，AC+3BC的最大值为47，故选B【点评】要求与三角形边长有关的最值问题，可以利用正弦定理将边转化为角，然后利用三角函数的最值的求法来求最值二、填空题9已知在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，ABC的外接圆的半径为，则ABC的面积的最大值为_【答案】【解析】因为，所以，又，所以，由余弦定理得，所以，即，当且仅当时等号成立，所以，即ABC的面积的最大值为，故答案为【点评】在解

11、三角形中，选择用正弦定理或余弦定理，可以从两方面思考：（1）从题目给出的条件，边角关系来选择；（2）从式子结构来选择10将函数f(x)=2-4sin2x的图象向左平移个单位后得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间和上均单调递增，则实数a的范围是_【答案】【解析】f(x)=21-2sin2x=2cos2x，由，解得，k=0时，增区间为；k=1时，增区间为，若函数g(x)在区间和上均单调递增，则，解得，故答案为【点评】本题考查三角函数的图象平移变换，考查余弦函数的单调性，掌握余弦函数的单调性是解题关键11对于函数f(x)=sinxcosx+cosxsinx，下列说法：函数fx是奇函数；函数f

12、x是周期函数，且周期是；函数fx的值域是-2，2；函数fx在上单调递增其中正确的是_（填序号）【答案】【解析】f-x=sin-xcos-x+cos-xsin-x=-sinxcosx+cosxsinx-fx，fx不是奇函数，不正确；fx+=sinx+cosx+cosx+sinx+=-sinxcosx-cosxsinxfx，但是fx+2=sinx+2cosx+2+cosx+2sinx+2=sinxcosx+cosxsinx=fx，所以fx是周期函数，但是不是它的周期，故不正确；当sinx0，cosx0时，f(x)=sinxcosx+cosxsinx=sin2x0，1，当sinxcosx0时，fx=

13、0；当sinx0，cosx0时，fx=sinx-cosx+cosx-sinx=-sin2x-1，0，所以函数值域为-1，1，故不正确；当时，fx=sin2x，显然单调递增，因此正确，故答案为【点评】本题考查了三角函数的性质及图象，采用数型结合的思想进行解题，难度中等三、解答题12在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角A的大小；（2）若，且，求ABC的面积【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以，所以，所以，所以，所以2cosAsinB=sinB，因为0B，所以sinB0，所以，又因为0A，所以（2）因为，a2=b2+c2-2bccosA，所以，即，因为，所以bc=

14、1，所以【点评】本题的重点是第一问，难点也是第一问，涉及三角恒等变形的灵活掌握，如降幂公式，ABC中，sinA=sinB+C=sinBcosC+cosBsinC等公式的灵活应用13ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且（1）求cosA的值；（2）若ABC的面积为，求a+b+c的最小值【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，A+B+C=，所以，由正弦定理可得，则，由余弦定理可得（2）由，得，bc=12，由，得，a4，当且仅当b=c=23时，等号成立又b+c2bc=43，当且仅当b=c=23时，等号成立，a+b+c4+43，当且仅当b=c=23时，等号成立即a+b+c的最小值为【点评】求解三

15、角形中有关边长、角、面积的最值（范围）问题时，常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式，建立a+b，ab，a2+b2之间的等量关系与不等关系，然后利用函数或基本不等式求解14在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，bsinA=3sinB，b2+c2-a2=bc（1）求ABC外接圆的面积；（2）若BC边上的中线长为，求ABC的周长【答案】（1）3；（2）9【解析】（1）因为bsinA=3sinB，又，即bsinA=asinB，所以a=3，由，得，设ABC外接圆的半径为R，则，所以ABC外接圆的面积为3（2）设BC的中点为D，则因为，所以，即c2+b2+bc=27，又b2+c2-a2=b

16、c，a=3，则，整理得b2-92=0，解得b=3或-3（舍去），则c=3，所以ABC的周长为9【点评】本题第二问的关键是结合向量加法运算，用向量AB，AC表示中线所在的向量15在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（a，b，c互不相等），且满足bcosC=2b-ccosB（1）求证：A=2B；（2）若c=2a，求【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）证明：因为bcosC=2b-ccosB，由正弦定理，得sinBcosC=2sinBcosB-sinCcosB，所以sinB+C=sin2B，所以sinA=sin2B又因为0A0，所以3-4sin2B=22cosB，所以4cos2B-

17、22cosB-1=0，解得，又，得【点评】此题考查了正弦定理、两角和差的正弦公式，考查转化能力和计算能力，属于中档题16在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c已知（1）求角B的大小；（2）若b=10，ABC的面积为，求ABC的周长【答案】（1）；（2）5+10【解析】（1）由二倍角公式，得2cos2B+3cosB-2=0，解得或cosB=-2 (舍去)，B0，得（2）由，得ac=5，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-3ac=10，得a+c2=25，则a+c=5，所以ABC的周长为5+10【点评】解三角形时，当给出一组对边和对角时，求面积或周长时，往往使用余弦定理

18、，并结合形如a2+c2=a+c2-2ac的公式，求解17如图，矩形ABCD是某个历史文物展览厅的俯视图，点E在AB上，在梯形DEBC区域内部展示文物，DE是玻璃幕墙，游客只能在ADE区域内参观在AE上点P处安装一可旋转的监控摄像头，MPN为监控角，其中M、N在线段DE（含端点）上，且点M在点N的右下方经测量得知：AD=6米，AE=6米，AP=2米，记EPM=（弧度），监控摄像头的可视区域PMN的面积为S平方米（1）分别求线段PM、PN关于的函数关系式，并写出的取值范围；（2）求S的最小值【答案】（1），；（2）8(2-1)平方米【解析】（1）在PME中，EPM=，米，由正弦定理得，所以，同理在

19、PNE中，由正弦定理得，所以，当M与E重合时，=0；当N与D重合时，tanAPD=3，即APD=arctan3，所以（2）PMN的面积S，因为，所以当，即时，S取得最小值为，所以可视区域PMN面积的最小值为8(2-1)平方米【点评】本题考查解三角形的应用掌握三角函数的性质是解题关键是解题方法是利用正弦定理或余弦定理求出三角形的边长，面积，利用三角函数的恒等变换化函数为基本三角函数形式，然后由正弦函数性质求最值高频易错题一、选择题1函数的一个单调递减区间是（）ABCD【答案】B【解析】对于函数，令，kZ，解得，kZ，可得函数的单调递减区间为，kZ，令k=0，可得选项B正确，故选B【点评】本题主要

20、考查诱导公式、余弦函数的单调性，属于基础题2函数的单调递增区间是（）ABCD【答案】D【解析】要求函数的单调递增区间，只需求函数的单调递减区间，由题意可得，解得，原函数的单调递增区间为，故选D【点评】本题考查三角函数的单调性，复合函数的单调性，熟记余弦函数的单调性，准确计算是关键，属基础题二、填空题3在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，C是锐角，且a=27，则ABC的面积为_【答案】72【解析】由，得，sin2B=sin2C，又B，C为三角形的内角，B=C或，又，B=C，于是b=c由余弦定理得a2=b2+c2-2bcosA，即，解得b=21，故c=21，故答案为72【点评】正余

21、弦定理常与三角变换结合在一起考查，此类问题一般以三角形为载体，解题时要注意合理利用相关公式和三角形三角的关系进行求解，考查综合运用知识解决问题的能力，属于中档题精准预测题一、选择题1将函数的图象向左平移个单位长度，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=gx的图象，则下面叙述正确的是（）Agx的周期为Bgx图象的一条对称轴是Cgx图象的一个对称中心为Dgx在上单调递减【答案】D【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数对于A项，gx的周期为，故A错误；对于B项，因为，所以不是对称轴，故B错误；对于

22、C项，由，解得，则不是对称中心，故C错误；对于D项，令，函数y=cosX在0，上单调递减，则y=gx在上单调递减，故D正确，故选D【点评】解决本题的关键在于将余弦型函数的性质转化为余弦函数的性质进行处理，将未知的问题利用已知的知识进行求解2（多选）函数f(x)=2sin(x+) (0，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）AB若把f(x)的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在-，上是增函数C若把函数f(x)的图象向左平移个单位，则所得函数是奇函数D，若恒成立，则a的最小值为3+2【答案】ACD【解析】对A，由题意知：T=6，f2=2，即，（），（），又，所以A正确；对B，把y=

23、f(x)的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数，x-，在-，上不单调递增，故B错误；对C，把y=f(x)的图象向左平移个单位，则所得函数为，是奇函数，故C正确；对D，对，恒成立，即，恒成立，令，则，3-1g(x)3+2，a3+2，的最小值为3+2，故D正确，故选ACD【点评】对于三角函数，求最小正周期和最值时可先把所给三角函数式化为y=Asin(x+)或y=Acos(x+)的形式，则最小正周期为，最大值为A，最小值为-A；奇偶性的判断关键是解析式是否为y=Asin(x)或y=Acos(x)的形式3在ABC中，“”是“ABC为钝角三角形”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D

24、既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，且B必为锐角，可得或，即角A或角C为钝角；反之，当A=100，B=30时，而，所以sinAcosB不成立，所以“sinA0，0，)的部分图象如图所示，A为图象与x轴的交点，B，C分别为图象的最高点和最低点，ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC的面积（1）求ABC的角B的大小；（2）若b=3，点B的坐标为，求fx的最小正周期及的值【答案】（1）；（2）最小正周期为2，【解析】（1），由余弦定理得，又，即tanB=3，B0，（2）由题意得，由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得，即c=1，设边BC与x轴的交点为D，则ABD为正三角形

25、，且AD=1，函数fx的最小正周期为2，又点在函数fx的图象上，即，即，即，又，【点评】（1）求f(x)Asin(x)(0)的对称轴，只需令，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令xk(kZ)即可（3）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为yAsin(x)或yAcos( x)的形式，则最小正周期为；（3）奇偶性的判断关键是解析式是否为yAsinx或yAcosxb的形式9已知在ABC中，（1）求角C的大小；（2）若BAC与ABC的内角平分线交于点I，ABC的外接圆半径为4，求周长的最大值【答案】（1）；（2）最大值为8+43【解析】（1）A+B+C=，A+B=-C，cosA+B=-cosC，又5+4cosA+B=4sin2C，5-4cosC=41-cos2C，即4cos2C-4cosC+1=0，解得又0C，（2）ABC的外接圆半径为4，所以由正弦定理得，AB=43，又BAC与ABC的内角平分线交于点I，设ABI=，则，在中，由正弦定理得，得，AI=8sin，的周长为，当，即时，的周长取得最大值，为8+43，周长的最大值为8+43【点评】解决解三角形问题的关键是灵活运用正弦定理余弦定理求边和角，如果给出的等式中既有边又有角，则可考虑利用正弦定理将已知等式转化为关于边或关于角的关系式进行求解，若给出的等式是关于边的二次式，则一般需利用余弦定理求解