2023届安徽省“江南十校”联考数学参考答案.pdf

1、“江南十校”数学答案 第 1 页 共 12 页 2023 届安徽省“江南十校”联考 数学试题评分参考一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）题号12345678答案CDCABCBD1.C【命题立意】本题考查不等式的解法、集合的交集、补集运算，体现了数学运算的核心素养。【试题难度】易【试题解析】31xxA，2,12,RRBx xABxx（）故选 C2.D【命题立意】本题考查复数的运算，体现了数学运算的核心素养。【试题难度】易【试题解析】i23212i31)i1(i1)i1)(i2(i1i2）（z，故选 D3.C【命题立意】

2、本题考查向量的运算，体现了数学运算的核心素养。【试题难度】易【试题解析】2622324362222）（baba，故选 C4.A【命题立意】本题以数学文化中的中国古代建筑为背景考查异面直线所成角的求解问题，体现了直观想象的核心素养。【试题难度】中【试题解析】如图所示，过1D,E,F 三点的平面与平面 ABCD 的交线GH AC，而 AC 与1AD 所成的角为3，故选 A5.B【命题立意】本题考查利用排列组合知识解决相邻问题和插空问题，体现了逻辑推理和数学运算的核心素养。GHFECDC1B1A1AD1B“江南十校”数学答案 第 2 页 共 12 页【试题难度】中【试题解析】由题意得，不同的排法共有

3、24232222AAA种，故选 B6.C【命题立意】本题考查三角变换的相关公式和三角函数的性质，体现了数学运算的核心素养。【试题难度】中【试题解析】由题意得42)42sin(21)(xxf，由,2842kxkx得则)(xf的对称中心为）（42,28k）（Zk，所以 A，B 错误.由,28242kxkx得则)(xf的对称轴方程为28kx）（Zk，C 正确，D 错误，故选 C7.B【命题立意】本题考查三棱锥外接球的综合问题，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养。【试题难度】中【试题解析】如图所示，由2 CBCA，32ACB得 ABC的外接圆半径为 2，又 PA底面 ABC，取 PA的中点

4、D,由21ODPD，得5R,即三棱锥ABCP外接球半径为 5，所以2042 RS,故选 B8.D【命题立意】本题考查利用函数的单调性比较大小问题，体现了数学抽象、数学运算等核心素养。【试题难度】难【试题解析】构造函数3ln,2,1321xyxyeyx，令1)(21xeyyxfx，1ln)(32xxyyxg，则xxgexfx11)(,1)(，所 以)(xf在)1,0(单 增，所 以0)0()9.0(ff，所以,9.19.0 e所以ba.同理cb，所以选 D.二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2

5、 分，有选错的得 0 分.）题号9101112答案ABACBCDABC9.ABODABCPO1“江南十校”数学答案 第 3 页 共 12 页【命题立意】本题考查三次函数的性质，体现了数学运算的核心素养。【试题难度】易【试题解析】A 正确:因为3,()(),xfxxxf x R对所以()f x 是R 上的奇函数；B 正确:由233()310 33fxxxx 得 或；C 错误:因为(),xf x 时，所以()f x 无最大值；D 错误:由23()310,3fxxx 得经检验33x 是函数()f x 的极大值点，33x 是函数()f x 的极小值点.10.AC【命题立意】本题考查空间角、空间距离的计

6、算，体现了数学运算、直观想象、逻辑推理等核心素养。【试题难度】中【试题解析】设1,ABa ADb AAc，则1abc，且12a bb cc a A 正确:1ACabc，BDba，221()()0AC BDabcbabaa cb c ；B 错误:因为22222122ACabcabcb c，所以12AC；C 正确:因为211()0AC BBabcca cb cc ，所以11BBAC；D 错误:因为 BD 平面1AAC，所以平面1AAC 平面 ABCD，则1AC 与平面 ABCD 所成的角为1ACA.在1Rt AAC中，11AA，3AC，所以13sin3ACA.11.BCD【命题立意】本题考查抛物线

7、及其切线性质，体现了数学运算、数学抽象、逻辑推理等核心素养。【试题难度】中【试题解析】A 错误:将 AB 中点2(2,)Ma a代入2:2C xpy得2p，所以抛物线2:4C xy的准线方程为1y ；B 正确:将直线OB 的方程 yax代入2:4C xy得2(4,4)Naa，所以 B 为ON 中点；C 正确:抛物线C 在点 N 处的切线方程为：242(4)axay，令0y 得2xa，所以直线 AN 为C 的切线；D 正确:抛物线2:4C xy在2(2,)Ma a处的切线方程为：222()axay，其斜率 ka与直线OB 的斜率相等，所以C 在点 M 处的切线与直线ON 平行.C1D1B1CAB

8、DA1“江南十校”数学答案 第 4 页 共 12 页 12.ABC【命题立意】本题考查抽象函数的对称性、周期性以及导函数的相关性质，体现了数学抽象、数学运算等核心素养。【试题难度】难【试题解析】A 正确:由(21)gx为偶函数得(21)(21)gxgx，则g()x 关于直线1x 对称，即(1)(1)gxgx，两边同时求导得(1)(1)gxgx，令0 x 得(1)0g；B正 确:由 g()x关 于 直 线1x 对 称 得()(2)gxg x，由(3)()4f xgx得(1)(2)4fxg x，所以(3)(1)f xfx，即()f x 关于直线2x 对称；C 正确：对(3)()4f xgx两边同时

9、求导得(3)()f xgx，由()(1)0f xgx得(1)()0fxgx，则(3)(1)f xfx，所以()f x关于直线1x 对称；D 错误:由(3)(1)f xfx得(3)(1)f xfx，所以函数()f x的图像关于(2,0)对称，结合 C 选项可知，4 是函数()f x的一个周期，由()(1)0f xgx得，4 也是函数()g x的一个周期，由(1)0g得(2)(3)(4)0fgf，所以20231()()0kf k g k.三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.）13.60 【命题立意】本题考查二项式定理，体现了数学运算的核心素养。【试题难度】易【试题解析】66

10、61113=+3xxxx xxxx，6)1(xx 展开式的通项为：66 21661CCrrrrrrTxxx，当620r即3r 时，363C=60，所以613xxx的展开式中，常数项为60.14.4 5 【命题立意】本题考查直线和圆的相关性质，体现了数学运算、直观想象核心素养。【试题难度】中【试题解析】易 知 l 过 定 点(1,1)P,|5PC，当 PCl时，弦 长|AB取 得 最 小 值.此 时|2 25 54 5AB 15.32【命题立意】本题考查直线和椭圆的位置关系，体现了数学运算、逻辑推理等核心素养。“江南十校”数学答案 第 5 页 共 12 页 【试题难度】中【试题解析】设11(,)

11、M x y，22(,)N xy，00(,)P xy，其中01x ，记坐标原点为O，直线l，OP，PQ的斜率分别为MNk,OPk,PQk,又22112222222211xyabxyab，两式相减整理可得2012122121202()()()()2MNyyyyybkxxxxxa,即22MNOPbkka.又1MNPQkk ，所以两式相比可得22OPPQkbka，即02020034yxbyax，代入01x ，整理可得2214ba，所以离心率22312cbeaa.16.250em【命题立意】本题考查导数的几何意义，曲线的切线方程，体现了数形结合思想和数学运算的核心素养。【试题难度】难【试题解析】设切点坐

12、标为00,x y，则切线斜率001 exkx，所以切线方程为00000ee1xxyxxxx，将 1,Pm 代入得02001 exmxx.存在三条切线,即方程21 exmxx 有三个不等实数根.设2()1 exg xxx，又 12 exg xxx，易得在2,1上，0gx，g x 单调递增；在,2 和1,上，0gx，g x 单调递减，当251x或251x时，0)(xg，画出图象可得 20gm，即250em四、解答题:本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.【命题立意】本题考查三角函数和解三角形相关知识.以三角函数的定义为载体，考查学生和差角公式的应用，同时结合

13、正余弦定理考查解三角形能力。本题以基础知识和基本技能立意，重点考查学生对基本概念和基本公式的掌握，同时考查了学生的计算能力。体现了数学运算、逻辑推理等核心素养。【试题难度】易【试题解析】(1)由题意 P，Q在单位圆上，且在第一象限可得)734,71(P，)1433,1413(Q，1 分“江南十校”数学答案 第 6 页 共 12 页 由三角函数定义知1413cos,1433sin,71cos,734sin .3 分故211433734141371sinsincoscos)cos(.5 分(2)（选）方法 1：由(1)中结论可得21cosC，又(0,)C，3C.6 分由余弦定理可得,cos2222

14、Cabbac即abbaabba34222.7 分，2222414342babababaab4ba,当2 ba时等号成立.9 分6cba.即当 ABC为等边三角形时，周长最大，最大值为 6.10 分方法 2：由(1)中结论可得角3C且AB 32.6 分又由正弦定理334sinsinsinCcBbAa，可得3sin34,3sin34BbAa.7 分故 ABC周长2)32sin(334sin33423sin343sin34AABAcba2)6sin(42cos2sin32AAA.9 分25 0 33666CAA 26 A即3A时，ABC周长取最大值 6.10 分（选）由(1)可知1413cos,14

15、33sin,71cos,734sinBBAA则98355)sin(sinBAC.7 分由正弦定理3598sinsinsinCcBbAa，可得521,556ba.9 分则53669835552155621sin21CabS ABC.10 分18.【命题立意】本题考查了函数的零点、等差数列的定义、数列的通项.体现了数学运算、逻辑推理等核心素养。“江南十校”数学答案 第 7 页 共 12 页【试题难度】易【试题解析】解：（1）由na递增及()0f x 得123,8aa，则215aa,1 分即1nnaa 是以5 为首项，2 为公差的等差数列.所以123nnaan.2 分11232212121 .(2)

16、75nnnnaanaannaaaa相加得15721357212nnaanann n .5 分经检验13a 也满足上式，所以2nan n.6 分（2）由（1）得：)211(21)2(11nnnnan.8 分1111111111123243511211113111 =122124212nSnnnnnnnn.11 分由于11012nn，所以34nS.12 分19.【命题立意】通过实际生活情境，考查频率分布直方图相关计算、全概率、分布列、期望，体现了数据分析、数学运算等核心素养。【试题难度】中【试题解析】（1）解：记这天浪级是“微浪”为事件1A，浪级是“小浪”为事件2A，浪级是“中浪”为事件3A，浪级

17、是“大浪”为事件4A.该渔船当天出海作业为事件 B，则由题意可知：10.2P A，20.3P A，30.3P A，40.2P A.2 分 123()()P BP BAP BAP BA 112233()()P B A P AP B A P AP B AP A .3 分0.9 0.20.8 0.3 0.6 0.3 .4 分0.180.240.180.6 .5 分（2）依题意可知，X 的所有可能取值为 0，1，2，3 .6 分“江南十校”数学答案 第 8 页 共 12 页 228(0)()327P X，.7 分11221122110(1)32333233327P X ，.8 分1111112111(

18、2)3223233324P X，.9 分1111(3)32212P X，.10 分则 X 的分布列为.11 分数学期望81011121()01232727412108E X .12 分20.【命题立意】本题考查线面垂直、面面垂直的判定与性质、平面与平面夹角余弦值的求解，体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养。【试题难度】中【试题解析】（1）取 AD 的中点O，连接,OP OC，PAPD，POAD，2,ADBCOABC，/AOBC，四边形 ABCO 为平行四边形，2 分又90DAB，COAD，又 POOCO，AD平面 POC，又/ADBC，BC平面 POC，又 PC 平面 POC，BCPC

19、.5 分（2）,ABAD ABAP，且 ADAPA，AB 平面 PAD，又/ABOC，则OC 平面 PAD，.6 分分别以,OC OP OD 所在的直线为,x y z 轴建立空间直角坐标系Oxyz，又8AD，则4OD，8OCABAD，又5PD，则3OP，则(0,0,4),(8,0,4),(8,0,0)ABC，(0,0,4),(0,3,0)DP，则有(8,3,4),(8,0,4)PBDC，184(,1,)333PMPB，816(,2,)33DMDPPM，.8 分X0123P827102714112ODPABCxyzM“江南十校”数学答案 第 9 页 共 12 页 设平面 DMC 的法向量为(,)

20、mx y z，则816020,330840DM mxyzDC mxz即，令1x，则平面 DMC 的一个法向量为(1,4,2)m，.10 分又平面 PAD 的一个法向量为(1,0,0)n，则|121|cos,|21211|n mn mn m，平面 DMC 与平面 PAD 夹角的余弦值为2121.12 分21.【命题立意】（1）本题是一道新定义问题，考查学生探究能力和创新能力；（2）本题考查了椭圆和双曲线的标准方程与离心率、双曲线的简单性质、直线与双曲线的位置关系、渐近线与双曲线的位置关系等。体现了数学运算、逻辑推理、直观形象等核心素养。【试题难度】难【试题解析】（1）由题意可设双曲线222214

21、xyCb：.1 分则221 24415224bbe e,2 分解得21b .所以双曲线2C 的方程为2214xy.3 分（2）（i）（仅写出定值13给 1 分）设11(,)A x y，22(,)B xy，直线 AB 的方程为4xty,由22414xtyxy消元得22(4)8120tyty.则20t ，,且12212284124tyyty yt 5 分1112121211212221221122122222222222222(2)22()22(6)66212164221444121236644AMBNykxyxy tyty yyty yyyyykxyy tyty yyty yyxtttyyttt

22、ttyytt “江南十校”数学答案 第 10 页 共 12 页 或由韦达定理可得121223yyty y，即12123()2ty yyy.11211121212112212211221212223()222(2)231232(6)6393()622AMBNyyyykxyxy tyty yyyyykxyy tyty yyyyyyyx 即AMk与BNk的比值定值13.8 分（ii）方法 1：设直线:AM(2)yk x，代入双曲线方程并整理得2222(1 4)161640kxk xk)0412 k（.由于点 M 为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为 2.由韦达定理得：2216421 4Akxk，解得

23、222(41)14Akxk.因为点 A在双曲线的右支上，所以222(41)014Akxk，解得1 1(,)2 2k ,即1 1(,)2 2AMk.9 分同理可得11(,)(,)22BNk .10 分由（i）中结论可知113(,)(,)22BNAMkk ，得11(,)(,)66AMk .所以111 1(,)(,)266 2AMk.11 分故2222231113 5(3)2(,)(,)3343636 4AMBNAMAMAMAMwkkkkkk.12 分方法 2：由于双曲线2214xy 的渐近线方程为12yx，如图2，过点 M 作两渐近线的平行线 1l 与 2l，由于点 A在双曲线2214xy 的右支

24、上，所以直线 AM 介于直线 1l 与 2l 之间（含 x轴，不含直线 1l 与 2l），所以1 1(,)2 2AMk.9 分同理，如图 3，过点 N 作两渐近线的平行线 3l 与 4l，由于点 B 在双曲线2214xy 的右支上，所以直线 BN 介于直线 3l 与 4l 之间（不含 x 轴，不含直线 3l 与 4l），所以11(,)(,)22BNk .10 分“江南十校”数学答案 第 11 页 共 12 页 由（i）中结论可知113(,)(,)22BNAMkk ，得11(,)(,)66AMk ,所以111 1(,)(,)266 2AMk.11 分故2222231113 5(3)2(,)(,)

25、3343636 4AMBNAMAMAMAMwkkkkkk.12 分22.【命题立意】本题考查导函数的应用和不等式的证明，突出了创新能力和函数同构思想。体现了逻辑推理、数学抽象、数学运算等核心素养。【试题难度】难【试题解析】（1）由题意得 )(xf的定义域为(0,)222)1()1()1(1)(xxkxxxkxxf.1 分若)(xf在定义域上单调递增，则0)(xf恒成立，即21 xxk在，0上恒成立，又421221xxxx，4k.3 分若)(xf在定义域上单调递减，则0)(xf恒成立，即21 xxk在，0上恒成立，而这样的k 不存在.综上所述：)(xf在定义域上单调递增，且4k.5 分（2）方法

26、一：要证02)2(2)1(2xxexxx成立，只需证 xxxexx222)1(2，只需证 xxxxx22ln)1(22，.6 分只需证 1212ln)1(2xxxx，只需证 xxxx2)12ln(2)12ln(，.8 分当4k时，14ln)(xxxf，原不等式即证 )12()12(xfxf，.10 分由（1）知)(xf在），（0上单调递增，)2,1(x ,012,012xx又1212xx，则)12()12(xfxf，原不等式成立.12 分方法二：要证02)2(2)1(2xxexxx成立，只需证 xxxexx222)1(2，只需证 xxxxx22ln)1(22，.6 分“江南十校”数学答案 第 12 页 共 12 页 只需证 xxxxx22)2ln()2ln(2，令xxxxxxg22)2ln()2ln()(2，则222221214)(xxxxxxg .7 分0)2)(12()1()1(4222xxxxxx.10 分)(xg在)2,1(x上单调递增，0)1()(gxg，022)2ln()2ln(2xxxxx，原不等式成立.12 分以上各解答题如有不同解法并且正确,请按相应步骤给分。