2021年中考数学压轴题专项训练12 二次函数的综合（含解析）.docx

1、二次函数的综合1如图，直线过轴上一点，且与抛物线相交于，两点，点的坐标为（1）求直线的表达式及抛物线的表达式（2）求点的坐标（3）点在直线上，点在抛物线上，若，直接写出的取值范围（4）若抛物线上有一点（在第一象限内），使得，直接写出点的坐标【解析】解：（1）设直线的解析式为，把，代入得，解得所以直线的解析式为；把代入得，所以抛物线解析式为；（2）解方程组得或，所以（3）观察图象，当抛物线在直线的下方时，满足，即（4）设，解得或（舍去），2已知抛物线的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，图象的对称轴为直线.连接，有一动点在线段上运动，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点设点的横坐标为（1）求的长

2、度；（2）连接、，当的面积最大时，求点的坐标；（3）当为何值时，与相似【解析】（1）对称轴，当时，解得，即，.（2）经过点和的直线关系式为，点的坐标为.在抛物线上的点的坐标为，当时，的最大值是，点的坐标为，即，（3）连，情况一：如图，当时，当时，解得，点的横坐标为2，即点的横坐标为2，情况二：点和，即.如图，当时，即为等腰直角三角形，过点作，即点为等腰的中线，即，解得，（舍去）综述所述，当或2时，与相似3如图，在平面直角坐标系中，己知二次函数的图像与y轴交于点B(0， 4)，与x轴交于点A(1，0)和点D(1)求二次函数的解析式； (2)求抛物线的顶点和点D的坐标； (3)在抛物线上是否存在点

3、P，使得BOP的面积等于？如果存在，请求出点P的坐标？如果不存在，请说明理由【解析】解：(1)把点A(1，0)和点B(0， 4)代入二次函数中得： 解得： 所以二次函数的解析式为： ；（2）根据（1）得点D的坐标为（3，0）， =，顶点坐标为（1，）；(3)存在这样的点P，设P的坐标为P(x，y)，到y轴的距离为x SBOPBOx 4x 解得：x所以x 把x代入中得：即：y， 把x代入中得：即：y 满足条件的点P有两个，坐标分别为P1(，)、P2()4已知抛物线yx22x3与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点D为OC中点，点P在抛物线上（1）直接写出A、B、C、D坐标；（2）点P在第四象限，

4、过点P作PEx轴，垂足为E，PE交BC、BD于G、H，是否存在这样的点P，使PGGHHE？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由（3）若直线yx+t与抛物线yx22x3在x轴下方有两个交点，直接写出t的取值范围【解析】解：（1）在yx22x3中，当x0时，y3；当y0时，x11，x23，A（1，0），B（3，0），C（0，3），D为OC的中点，D（0，）；（2）存在，理由如下：设直线BC的解析式为ykx3，将点B（3，0）代入ykx3，解得k1，直线BC的解析式为yx3，设直线BD的解析式为ymx，将点B（3，0）代入ymx，解得m，直线BD的解析式为yx，设点P的坐标为（x，x22x3）

5、，则E（x，0），H（x，x），G（x，x3），EHx+，HGx（x3）x+，GPx3（x22x3）x2+3x，当EHHGGP时，x+x2+3x，解得x1，x23（舍去），点P的坐标为（，）；（3）当直线yx+t经过点B时，将点B（3，0）代入yx+t，得，t1，当直线yx+t与抛物线yx22x3只有一个交点时，方程x+tx22x3只有一个解，即x2x3t0，（）24（3t）0，解得t，由图2可以看出，当直线yx+t与抛物线yx22x3在x轴下方有两个交点时，t的取值范围为：t1时5已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，点是线段上方抛物线上的一个动点（1）求抛物线解析式；（2）在抛物线的对称轴

6、 上找一点，使的值最小，求出点M的坐标；（3）当点运动到什么位置时，的面积最大？【解析】解：（1）把，代入抛物线得：，解得：，抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3；（2）由题意可得：抛物线的对称轴为直线，点，要使的值最小，对称轴直线x=-1 与线段AB的交点即为所求点M，设直线AB的解析式为：，把点A和点B的坐标代入，解得：，直线AB：y=x+3，M（-1，2）；（3）连接OP，如图所示：设P(t，-t2-2t+3)，其中t0，-t2-2t+30，由（1）（2）可得：OA=3，OB=3，PAO的高为点P到y轴的距离，PBO的高为点P到x轴的距离，=0.53（-t）+0.53（-t2-2t+3

7、）-0.533=-0.5(t+0.5)2+3.375；，即抛物线的开口向下，当t=-0.5时，S最大，此时，点P(-0.5，3.75)6如图，二次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A（-1，0）和点B（0，2），图象的对称轴交x轴于点C，一次函数的图象经过点B，C，与二次函数图象的另一个交点为点D（1）求二次函数的解析式和一次函数的解析式；（2）求点D的坐标；（3）结合图象，请直接写出 时，x的取值范围：_【解析】解：（1）将点和点代入，得：，解得：，二次函数的解析式为二次函数的对称轴为直线，一次函数的图象经过点、，解得，一次函数的解析式为（2）联立二次函数的解析式和一次函数的解析式得：，解之得

8、或，点D的坐标为，（3）由图象可知，当或时，有7平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+3交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（3，0），（1，0），与y轴交于点C，点D为顶点（1）求抛物线的解析式和tanDAC；（2）点E是直线AC下方的抛物线上一点，且SACE2SACD，求点E的坐标；（3）如图2，若点P是线段AC上的一个动点，DPQDAC，DPDQ，则点P在线段AC上运动时，D点不变，Q点随之运动求当点P从点A运动到点C时，点Q运动的路径长【解析】解：（1）将A（3，0），B（1，0）分别代入抛物线yax2+bx+3可得：，解得；抛物线解析式为yx22x+3，D（1，4），C（0，3

9、）；AC，DC；tanDAC（2）如图1所示，过E作EF/x轴交AC于点F，设点E（m，m22m+3），直线AC的表达式为ykx+n，将A（3，0），C（0，3）分别代入ykx+n可得：，解得，直线AC表达式为yx+3，F（m22m，m22m+3），EFm+m2+2mm2+3m，SACE（xCxA）EF，SACDACCD3，SACE（xCxA）EF2SACD6，（m2+3m）6，解得m11，m24（舍），E（1，0）（3）如图2所示当点P与点A重合时，ADQ=DCA=90，DAC+ADC=90=ADC+QDC，DAC=QDC，又DCA=DCQ=90，ADCDQC，当点P与点C重合时，QDC=A

10、CD=90，DQCQ，DAC=QPD，QDP=ACD=90，ADCPQD，DQ=CQ，四边形DQQC是平行四边形，QQ=CD=8已知，点，抛物线经过点，且与直线交于点，与轴交于点（异于原点）（1）填空：用含的代数式表示_；（2）若是直角三角形，求的值；（3）点是抛物线的顶点，连接与交于点，当点是三等分点时，求的值【解析】（1）抛物线经过点B（1，1），1b，b1，故答案为：；（2），抛物线的解析式为：令，则，解得，点异于原点，点的坐标为，Q（a+1，0），OQ2=，是直角三角形，即（3）如图，（x）2，点M（，），设直线OM的解析式为y=kx，把M（，）代入得k=直线OM的解析式为yx，当y1

11、时，x，点N（，1），与直线AB交于点P，1x2（1）x，x11，x2a，点P（a，1），点N是BP三等分点，BN2PN，12（a），解得：a1或9如图，在坐标系中，ABC是等腰直角三角形，BAC = 90，A(1，0)，B(0，2)抛物线的图象过C点，交y轴于点E（1）求抛物线的解析式；（2）在x轴上是否存在点P使得BPC的周长最小，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由；（3）直线BC解析式为，若平移该抛物线的对称轴所在直线l，当l移动到何处时，恰好将ABC的面积分为相等的两部分?【解析】（1）解：（1）如图1所示，过点C作CDx轴于点D，则CAD+ACD90AOB90OBA+OAB

12、90，BAC90OAB+CAD90，OABACD，OBACAD在AOB与CDA中， ，AOBCDA（ASA）CDOA1，ADOB2ODOA+AD3C（3，1）点C（3，1）在抛物线yx2+bx2上，1=9+3b2，解得：b= 抛物线的解析式为：；（2）把x=0代入，得y=-2，点E坐标为(0，-2)，B(0，2)， 点B，E关于x轴对称，连接EC交x轴于点P，则BP+PC最小即BPC的周长最小设直线CE解析式为，把点E（0，-2），C（3，1）代入解析式，得 ，解得 ，直线EC的解析式为y=x-2，令y=0，解得x=2，P点坐标为(2，0)；（3）如图2，设直线AC解析式为，把点A（1,0），

13、C（3，1）代入解析式，得 ，解得 ，直线EC的解析式为， 如图设直线l与BC、AC分别交于点E、F，在CEF中，EF边上的高h=ODx=3x由题意得：SCEF=SABC，即 EFh= SABC ，整理得：（3x）=3解得x=3或x=3+（不合题意，舍去）当直线l解析式为x=3时，恰好将ABC的面积分为相等的两部分 10把函数的图象绕点旋转180，得到新函数的图象，我们称是关于点的相关函数，是图象的对称轴与轴交点坐标为（1）若，时，的相关函数为_；（2）的值为_（用含的代数式表示）；（3）若，当时，函数的最大值为，最小值为，且，求的解析式【解析】（1），函数为：的顶点坐标为（1，-4），绕原点

14、旋转180后的抛物线的顶点坐标为（-1，4），的相关函数为，即，故答案为：；（2）：，顶点坐标为（，），顶点（，）围绕点P（，0）旋转180的对称点为（，），的相关函数为：，函数的对称轴为：，故答案为：；（3）时，：，对称轴为直线，当时，时，有最小值，时，有最大值，则，整理得：，无解；当时，时，有最大值，时，有最小值，（舍去）；当时，时，有最大值，时，有最小值，解得：(舍去)或，故：，故的解析式为11已知函数，（为常数）（1）当时，求此函数图象与轴交点坐标当函数的值随的增大而增大时，自变量的取值范围为_（2）若已知函数经过点（1，5），求的值，并直接写出当时函数的取值范围（3）要使已知函数的取

15、值范围内同时含有和这四个值，直接写出的取值范围【解析】（1）当时， 把x0代入得此函数图象与y轴交点坐标为（0,3）当x时，配方得a10，对称轴为直线x1，当x1，y随x的增大而增大，符合题意，当x时，配方得，a10，对称轴为直线x1，当x1时，y随x的增大而增大，符合题意，综上所述：当函数的值随的增大而增大时，自变量的取值范围为x或x1；（2）当k1时，把（1,5）代入，得，解得无实根当k1时，把（1,5）代入，得，解得（不合题意，舍去）， 当x2时，将x2代入得：y4，当2x0时，配方得a10，对称轴为直线x2，当2x0时，8y20，综上所述：当2x0时，y的取值范围为或8y20（3）由题

16、意可知，当k0时，函数图像如图所示，则的最大值2k2即可，解得k1，1k0，当0k2时，的最大值2k4则当xk时，的最小值4即可，将xk，y4代入得解得（舍去），0k，当k2时，的最大值2k4，如图，此时在左边的图像上的最大值不小于4，符合题意，k2，综上所述：k或k212如图，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于E，点D在第一象限，且在抛物线的对称轴上，DEOC，DM（1）求抛物线的对称轴方程；（2）若DADC，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P是抛物线对称轴上的一个动点，若在直线BM上只存在一个点Q，使

17、PQC45，求点P的坐标【解析】（1）OCc，DEOCc，点D在抛物线对称轴上，点D纵坐标为c，点M是抛物线顶点，点M的纵坐标为，则DMc（cb2）， ；解得b（舍去），或b，抛物线的对称轴为直线x=5；（2）由（1）可知抛物线的表达式为yx2x+c，令yx2x+c0，设A、B两点横坐标为xA、xB，则xA+xB10，xAxB4c，则AB，在Rt中，AEAB，DEc，ADDC5，由勾股定理得：AD2DE2+AE2， ，25c2+254c，化简得： ，解得c4，故抛物线的表达式为yx2x+4；（3）如图，连接PQ、PC、QC，作的外接圆K，连接KP、KC，过点K作y轴的垂线，交y轴于点F，交抛物

18、线的对称轴于点N，设点K的坐标为（m，n），点P（5，t），PQC45，故PKC90，且PKCKQK，FKC+NKP90，NKP+NPK90，FKCNPK，RtRt（AAS），CFNK，PNMK，4n5m，tnm，nm1，t2m1，故点K的坐标为（m，m1），点P的坐标为（5，2m1）由抛物线的表达式知，顶点M的坐标为（5，），点B的坐标为（8，0），由点B、M的坐标得，直线MB的表达式为yx6，设点Q的坐标为（r，r6），由KC2KQ2得，m2+（m14）2（mr）2+（m1r+6）2，整理得：r2（m+）r+20m0，关于r的一元二次方程，直线BM上只存在一个点Q，r的解只有一个，（m+）2420m0，解得m5或，点P坐标（5，t），t2m1，当m5时，t9；当m时，t；故点P的坐标为（5，9）或（5，）