2_9.1　直线和圆.pdf

1、 专题九平面解析几何专题九平面解析几何9.1 直线和圆基础篇考点 一 直线的方程1.直线的倾斜角)倾斜角:当直线 与 轴相交时我们以 轴为基准 轴正向与直线 向上的方向之间所成的角 叫做直线 的倾斜角.)规定:当直线 与 轴平行或重合时规定 的倾斜角为.)范围:直线的倾斜角 的取值范围是)表示圆心为 半径为 的圆.)圆的一般方程的形式特点:和 的系数相等且大于.没有含 的二次项.且 是二元二次方程 表示圆的必要不充分条件.)已知()()则以 为直径的圆的方程为()()()().考点 三 直线与圆的位置关系1.设直线:()圆:()()()为圆心()到直线 的距离联立直线和圆的方程消元后得到一元二

2、次方程根的判别式.位置关系图形判断方法代数法几何法公共点个数相交相切 相离2.与圆的切线有关的结论)过圆 上一点()的切线方程为 .)过圆()()上一点()的切线方程为()()()().3.直线与圆相交直线与圆相交时若 为弦长 为弦心距为半径则有 即 求弦长或已知弦长求其他量时一般用此公式.考点 四 圆与圆的位置关系1.设两圆的圆心距为 两圆的半径分别为()则位置关系图形公共点个数 的关系公切线条数外离外切 相交内切 内含)其中 是定值 是参数.过直线 与圆 交点的圆系方程为()().过圆:和圆:交点的圆系方程为()()(该圆系不含圆 解题 专题九平面解析几何时注意检验圆 是否满足题意以防漏解

3、).2.两圆相交时，公共弦所在直线的方程设圆:圆:若两圆相交则有一条公共弦由得()().方程表示圆 与 的公共弦所在直线的方程.综合篇考法 一 对称问题1.中心对称)若点()与()关于()对称则由中点坐标公式得 .)直线关于点的对称问题可以转化为点关于点的对称问题来解决.2.轴对称)点关于直线对称求()关于直线:()对称的点()由线段 的中点在对称轴 上而且过点 的直线垂直于对称轴得方程组 可得到 点 的坐标()(其中).)直线关于直线的对称问题可以转化为点关于直线的对称问题来解决.特别地点 ()关于直线 的对称点为().点 ()关于直线 的 对 称 点 为().点()关于直线 的对称点为()

4、.点()关于直线 的对称点为().例 1已知 的一个顶点()且 的平分线所在直线的方程分别为 则 边所在直线的方程为 .解析 由角平分线的性质知点 关于 的平分线所在直线的对称点均在直线 上设点 关于直线 的对称点为()则有 解得 即 同理点()关于直线 的对称点 的坐标为().直线 的方程为 ()即 .边所在直线的方程为 .答案 考法 二 与圆的切线相关的问题1.求过圆上一点()的切线若切线斜率存在且不为零则先求切点和圆心连线的斜率 由垂直关系知切线斜率为 由点斜式可求切线方程若切线斜率不存在或为零则可直接写出切线的方程为 或.2.求过圆外一点()的切线)几何法:当切线斜率存在时设斜率为 则

5、 5年高考3年模拟A版高考数学切线方程为 ()即 由圆心到切线的距离等于半径长列出关于 的方程解方程即可得到 的值从而可得切线方程当切线斜率不存在时可直接写出切线的方程为 检验该直线是不是切线.)代数法:当切线斜率存在时设斜率为 则切线方程为 ()即 代入圆的方程得到一个关于 的一元二次方程由 求得 的值从而得到切线方程当切线斜率不存在时可直接写出切线的方程为 检验该直线是不是切线.例 2已知点()()圆:()().()求过点 的圆 的切线方程()求过点 的圆 的切线方程以及切线长.解析 易知圆 的圆心为()半径.()()()点 在圆 上又 切线的斜率 .过点 的圆 的切线方程为()()即 .

6、()()()点 在圆 的外部.当过点 的直线的斜率不存在时直线的方程为 又知点()到该直线的距离 直线 符合题意.当过点 的直线的斜率存在时设直线方程为 ()即 则圆心 到直线的距离 即 解得 切线方程为 即 .综上可知过点 的圆 的切线方程为 或 .()()过点 的圆 的切线长为 .考法 三 与圆有关的最值问题1.与圆有关的长度或距离的最值问题的常见解法:一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解.注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线的距离或点到圆心的距离.2.与圆上点()有关的最值的常见类型及解法如下：)形如 型的最值问题可转化为过点()和点()的直线的

7、斜率的最值问题.)形如 型的最值问题可转化为动直线的截距的最值问题.)形如()()型的最值问题可转化为动点到定点()的距离平方的最值问题.3.与距离最值有关的常见的结论)圆外一点 到圆 上的最近距离为 最远距离为 (为圆的半径).)过圆内一点的弦最长的是圆的直径最短的是以该点为中点的弦.)直线与圆相离则圆上点到直线的距离最大为 最小为.(其中 为圆心到直线的距离 为圆的半径)过两定点的所有圆中面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆.)直线外一点与直线上的点的距离中最短的是点到直线的距离.)两个动点分别在两条平行线上运动这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离.例 3(山东日照二模)若实数、满

8、足条件 则的取值范围是().专题九平面解析几何.(.解析 的几何意义是圆上的点()与定点()的斜率由图知斜率的范围处在圆的两条切线斜率之间其中直线 的斜率不存在设直线 的斜率为 则直线 的方程为 ()即 由直线 与圆相切得 解得 故的取值范围为 故选.答案 例 4(湖南岳阳三模)已知圆()()经过原点则圆上的点到直线 距离的最大值为().解析 因为圆()()经过原点所以 则圆心()在单位圆 上问题转化为与单位圆上的点到直线 的最大距离问题.原点()到直线 的距离为 .延长 交圆 于点以 为圆心 长为半径作圆 的延长线交圆 于点 当圆心()在 处时点()到直线 的距离最大为 此时圆()()上的点 到直线 的距离最大为 .答案 例 5(福建宁德质检)已知点().若过点()的直线 与圆:()交于 两点则 的最大值为().解析 由已知圆的方程可得:圆心()半径 设线段 的中点为()则由垂径定理可知:即 而()()所以()()即点 的轨迹方程为()即点 的轨迹是以线段 为直径的圆设 为 的中点则()所以 的最大值为()又 所以的最大值为.故选.答案