2021高考数学文科（全国版）一轮复习考点考法精练：第十章 第三讲　抛物线 WORD版含解析.docx

1、第三讲抛物线1.2020福州质检设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,P为该抛物线上一点,PAl,A为垂足.若直线AF的斜率为 - 3,则PAF的面积为()A.23B.43C.8D.832.2020合肥市调研检测设抛物线的顶点为坐标原点,焦点F的坐标为(1,0).若该抛物线上两点A,B的横坐标之和为5,则弦AB的长的最大值为()A.8B.7C.6D.53.2020长春市第一次质量监测已知椭圆x24+y23=1的右焦点F是抛物线y2=2px(p0)的焦点,过F作倾斜角为60的直线交抛物线于A,B(A在x轴上方)两点,则|AF|BF|的值为()A.3B.2C.3D.44.2019东北三省四市一模

2、已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,过F且倾斜角为120的直线与抛物线C交于A,B两点,若AF,BF的中点在y轴上的射影分别为M,N,且|MN|=43,则抛物线C的准线方程为()A.x= - 1B.x= - 2C.x= - 32D.x= - 35.2019湖南省邵阳市高三大联考已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,|AF|BF|=8,则p=()A.1B.2C.4D.86.2019广东六校第一次联考抛物线y=2x2上有一动弦AB,中点为M,且弦AB的长为3,则点M的纵坐标的最小值为()A.118B.54C.32D.17.2019安徽示范高中高三测

3、试设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在抛物线C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的焦点到准线的距离为 ()A.4或8B.2或4C.2或8D.4或168.2020武汉高三测试已知过点M(1,0)的直线AB与抛物线y2=2x交于A,B两点,O为坐标原点,若OA,OB的斜率之和为1,则直线AB的方程为.9.2020湖北部分重点中学高三测试已知点A(0,1),抛物线C:y2=ax(a0)的焦点为F,连接FA,与抛物线C相交于点M,延长FA,与抛物线C的准线相交于点N,若|FM|MN|=12,则实数a的值为.10.2019山西八校高三第一次联考已知A是抛物线y2

4、= - 4x上的动点,点A在y轴上的射影是点C,B是圆D:(x - 3)2+(y - 2)2=1上的动点,则|AB|+|AC|的最小值是.11.2019太原高三二模已知直线l与抛物线C:x2=2py(p0)相交于两个不同的点A,B,点M是抛物线C在点A,B处的切线的交点.(1)若直线l经过抛物线C的焦点F,求证:FMAB;(2)若点M的坐标为(2, - 2p),且|AB|=410,求抛物线C的方程.12.2019广东七校第二次联考已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,抛物线C上存在一点E(2,t)到焦点F的距离等于3.(1)求抛物线C的方程;(2)已知点P在抛物线C上且异于原点,点Q为

5、直线x= - 1上的点,且FPFQ,求直线PQ与抛物线C的交点个数,并说明理由.13.2020绵阳高三模拟已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为F,点A(1,0),直线FA与抛物线C交于点P(P在第一象限内),与其准线交于点Q,若PQ=2 FP,则点P到y轴的距离为()A.22 - 1B.22 - 2C.32 - 1D.32 - 214.2020湖北部分重点中学高三测试已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,P为抛物线C的准线l上一点,直线PF与抛物线C相交于M,N两点,若PF=3MF,则|MN|=()A.10B.212C.323D.1115.2019郑州市第二次质量预测已知抛物线C:y2=4

6、x的焦点为F,直线l过焦点F且与抛物线C交于A,B两点,且直线l不与x轴垂直,线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5,0),O为坐标原点,则SAOB=()A.22B.3C.6D.3616.2019石家庄高三一模已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为K,点P为抛物线上异于原点的任意一点,若KPF的平分线与x轴交于点(m,0),则m的最大值为()A.3 - 22B.23 - 3C.2 - 3D.2 - 217.2019福建五校第二次联考已知以圆C:(x - 1)2+y2=4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于点A,点B是抛物线C2:x2=8y上任意一点,BM与直线y= - 2垂

7、直,垂足为M,则|BM| - |AB|的最大值为()A.1B.2C. - 1D.818.2019江西红色七校第一次联考设抛物线y2=8x的焦点为F,过点M(4,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|=4,则BCF与ACF的面积之比SBCFSACF=()A.34B.45C.56D.2519.2019武汉市高三调研测试如图10 - 3 - 1,抛物线E:x2=4y与圆M:x2+(y - 1)2=16交于A,B两点,点P为劣弧AB上不同于A,B的一个动点,平行于y轴的直线PN交抛物线E于点N,则PMN的周长的取值范围是()图10 - 3 - 1A.(6,12)B.(8

8、,10)C.(6,10)D.(8,12)20.2020石家庄市重点高中高三摸底测试已知点E在y轴上,点F是抛物线y2=2px(p0)的焦点,直线EF与抛物线交于M,N两点,若点M为线段EF的中点,且|NF|=12,则p=.21.2020成都市高三摸底测试已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,准线为l,过点F作倾斜角为120的直线与准线l相交于点A,线段AF与抛物线C相交于点B,且|AB|=43,则抛物线C的标准方程为.22.2020唐山市摸底考试已知F为抛物线T:x2=4y的焦点,直线l:y=kx+2与T相交于A,B两点.(1)若k=1,求|FA|+|FB|的值;(2)点C( - 3,

9、 - 2),若CFA=CFB,求直线l的方程.23.2020合肥市调研检测已知抛物线E:y2=2px(p2)的焦点为F,准线l与x轴交于点M,P(x0,4)为抛物线上一点,过P作PNl,垂足为N,若四边形MFPN的周长为16.(1)求p的值;(2)过点M作直线交抛物线于点A,B,设直线FA,FB的斜率分别为k1,k2,求k1+k2的值.24.新角度题已知抛物线:y2=tx(t0)的焦点为F,直线l与交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,点F在曲线C:(x - x1)(x - x2)+(y - y1)(y - y2)=0上.若线段AB的中点M与点F的距离为3,则点M到的准线的距离的最大值为

10、()A.18B.6C.32D.2225.2020山东省统考双空题直线l过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F(1,0),且与抛物线C交于A,B两点,则p=,1|AF|+1|BF|=.第三讲抛物线1.B解法一设准线与x轴交于点Q,因为直线AF的斜率为 - 3, |FQ|=2,所以AFQ=60,|FA|=4,易知|PA|=|PF|,PAF=60,所以PAF是边长为4的等边三角形,所以PAF的面积为34|FA|2=3442=43.故选B.解法二设准线与x轴交于点Q,P(m,n),因为直线AF的斜率为 - 3,|FQ|=2,所以AFQ=60,|AQ|=23,所以n=23,又n2=4m,所以m=3,则

11、|PA|=4, 所以PAF的面积为12|PA|n|=12423=43.故选B.2.B因为抛物线的顶点为坐标原点,焦点为F(1,0),所以p2=1,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.设A(x1,y1),B(x2,y2),则由题意知x1+x2=5.连接AF,BF,则由抛物线的定义知|AF|=x1+p2=x1+1,|BF|=x2+p2=x2+1,则|AB|AF|+|BF|=x1+x2+2=7,所以弦AB的长的最大值为7,故选B.【方法总结】求解与抛物线焦点有关的最值问题时,通常将所涉及的距离进行转化,即可将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,或将抛物线上的点到准线的距离转化为该点

12、到焦点的距离.距离的最值问题通常要结合平面几何知识来求解,如两点之间线段最短等. 3.C设A(xA,yA),B(xB,yB),由题意知F(1,0),所以p2=1,p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.过F且倾斜角为60的直线的方程为y=3(x - 1),代入抛物线方程,得3x2 - 10x+3=0,解得xA=3,xB=13.解法一易得yA2=12,yB2=43,所以|AF|BF|=(3 - 1)2+12(13 - 1)2+43=3,故选C.解法二由抛物线的定义,得|AF|=xA+p2=4,|BF|=xB+p2=43,所以|AF|BF|=3,故选C. 4.D设A(x1,y1),B(x2,y2),

13、由抛物线C的焦点为(p2,0),知AF,BF的中点的纵坐标分别为y12,y22,则|MN|=|y22 - y12|=12|y2 - y1|=43,所以|y2 - y1|=83.由题意知直线AB的方程为y= - 3(x - p2),由y= - 3(x - p2),y2=2px消去x得y= - 3(y22p - p2),即3y2+2py - 3p2=0,所以y1+y2= - 23p,y1y2= - p2,由|y2 - y1|=83,得(y2+y1)2 - 4y1y2=192,所以( - 23p)2+4p2=192,解得p=6,则p2=3,所以抛物线C的准线方程为x= - 3,故选D.5.B设直线方

14、程为y=x - p2,与抛物线方程联立,消去x,得y2 - 2py - p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2= - p2,则|AF|BF|=2|y1|2|y2|=8,所以p=2.故选B.6.A由题意设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),直线AB的方程为y=kx+b.由题意知y0b0.由y=kx+b,y=2x2,消去y并整理得2x2 - kx - b=0,=k2+8b0,x1+x2=k2,x1x2= - b2,则|AB|=1+k2k24+2b,点M的纵坐标y0=y1+y22=x12+x22=k24+b.因为弦AB的长为3,所以1+k2k24+2b=3,即(

15、1+k2)(k24+2b)=9,故(1+4y0 - 4b)(y0+b)=9,即(1+4y0 - 4b)(4y0+4b)=36.由基本不等式得,(1+4y0 - 4b)+(4y0+4b)2(1+4y0 - 4b)(4y0+4b)=12(当且仅当b=18,y0=118时取等号),即1+8y012,所以y0118,所以点M的纵坐标的最小值为118.故选A.7.C易知抛物线C的焦点为F(p2,0),准线方程为x= - p2.如图D 10 - 3 - 3,设准线与x轴的交点为K,则|KF|=p.过点M作MP平行于x轴交准线于点P,则|MP|=|MF|=5.取MF的中点N,过点N作NQ平行于x轴交准线于点

16、Q,交y轴于点A,则|NQ|=|MP|+|FK|2=52+p2,|AN|=|NQ| - p2=52=|MF|2,以MF为直径的圆与y轴相切,A为切点,A(0,2),N(52,2),故M(5 - p2,4),把(5 - p2,4)代入抛物线方程,得16=2p(5 - p2),整理得p2 - 10p+16=0,解得p=2或p=8,抛物线C的焦点到准线的距离为2或8.故选C.图D 10 - 3 - 3【解题关键】解决本题的关键是得出以MF为直径的圆与y轴相切这一结论.8.2x+y - 2=0设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB过点M(1,0),可设直线AB的方程为x=ty+1.由y2=2x

17、,x=ty+1,消去x得y2 - 2ty - 2=0,则y1+y2=2t,y1y2= - 2.又kOA=y1x1,kOB=y2x2,y1x1+y2x2=1,于是x2y1+x1y2=x1x2.x1=ty1+1,x2=ty2+1,(ty2+1)y1+(ty1+1)y2=(ty1+1)(ty2+1),2ty1y2+(y1+y2)=t2y1y2+t(y1+y2)+1,(t2 - 2t)y1y2+(t - 1)(y1+y2)+1=0,(t2 - 2t)( - 2)+(t - 1)2t+1=0,2t= - 1,t= - 12.故直线AB的方程为2x+y - 2=0.9.433解法一依题意得抛物线的焦点F的

18、坐标为(a4,0),过M作抛物线的准线的垂线,垂足为K,由抛物线的定义知|MF|=|MK|.因为|FM|MN|=12,所以|KN|KM|=31,又kFN=0 - 1a4 - 0= - 4a,kFN= - |KN|KM|= - 3,所以 - 4a= - 3,解得a=433.解法二设M(xM,yM),因为A(0,1),抛物线C:y2=ax(a0)的焦点为F(a4,0),准线方程为x= - a4,所以直线AF的方程为4x+ay - a=0,所以N( - a4,2).因为|FM|MN|=12,所以|FM|=13|FN|,所以xM=a12,yM=23.因为点M(xM,yM)在抛物线上,所以49=a212

19、,解得a=433.10.25 - 2 圆D:(x - 3)2+(y - 2)2=1的圆心为D(3,2),半径r=1.设抛物线y2= - 4x的焦点为F,则F( - 1,0),易知抛物线的准线方程为x=1.如图D 10 - 3 - 4,设点A在抛物线的准线上的射影为点H,连接CH,则A,C,H三点共线,则|AB|+|AC|=|AB|+|AH| - 1.连接AF,由抛物线的定义可知|AH|=|AF|,|AB|+|AC|=|AB|+|AF| - 1.易知当D,B,A,F四点共线时,|AB|+|AF|取得最小值,连接DF,则(|AB|+|AF|)min=|DF| - r=(3+1)2+22 - 1=2

20、5 - 1,(|AB|+|AC|)min=25 - 2.图D 10 - 3 - 4【素养落地】试题的命制立足于圆与抛物线的几何性质,引导考生通过分析几何图形,依托“形”的直观得到数量关系,突出对数学运算、直观想象等核心素养的考查.11.设直线l的斜率为k,设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).(1)由题意可得F(0,p2).当k0时,直线l:y=kx+p2,由y=kx+p2,x2=2py,得x2 - 2pkx - p2=0,x1+x2=2pk,x1x2= - p2,易得抛物线C在点A处的切线方程为y - y1=x1p(x - x1),即y=x1px - x122p,在点B处的切

21、线方程为y=x2px - x222p.由y=x1px - x122p,y=x2px - x222p,得x=x1+x22=pk,y=x1x22p= - p2,M(pk, - p2),kFMkAB= - p2 - p2pkk= - 1,FMAB.当k=0时,直线l:y=p2,M(0, - p2),FMAB.综上,FMAB.(2)由题意知k0,设直线l:y=kx+m,由y=kx+m,x2=2py,得x2 - 2pkx - 2pm=0,=4p2k2+16p20,x1+x2=2pk,x1x2= - 2pm,易得抛物线C在点A处的切线方程为y - y1=x1p(x - x1),即y=x1px - x122

22、p,在点B处的切线方程为y=x2px - x222p,由y=x1px - x122p,y=x2px - x222p,得x=x1+x22=pk=2,y=x1x22p= - m= - 2p,|AB|=1+k2|x1 - x2|=1+k24k2p2+8pm=41+k21+p2=4(1+4p2)(1+p2)=410,解得p=1或p=2,抛物线C的方程为x2=2y或x2=4y.12.(1)由题意知,抛物线C的准线方程为x= - p2,所以点E(2,t)到焦点F的距离为2+p2=3,解得p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)直线PQ与抛物线C只有一个交点.理由如下:设P(y024,y0),y00,

23、Q( - 1,m).由(1)得焦点F(1,0),则FP=(y024 - 1,y0),FQ=( - 2,m),由题意可得FPFQ=0,故 - 2(y024 - 1)+my0=0,从而m=y02 - 42y0.故直线PQ的斜率kPQ=y0 - my024+1=2y0.故直线PQ的方程为y - y0=2y0(x - y024),得x=y0y2 - y024.又抛物线C的方程为y2=4x,所以由得(y - y0)2=0,故y=y0,x=y024.故直线PQ与抛物线C只有一个交点.13.B由题意知抛物线的焦点为F(0,p2),准线方程为y= - p2.设抛物线的准线与y轴交于点F1.如图D 10 - 3

24、 - 5,过点P作抛物线准线的垂线,垂足为P1,图D 10 - 3 - 5则|PF|=|PP1|,所以|QP|FP|=|QP|PP1|=2,所以PQP1=45,所以直线FA的倾斜角为135,所以kFA=p2 - 00 - 1= - 1,解得p=2.又PP1FF1,所以|QP|FQ|=|PP1|FF1|=22+1,即|PP1|2=22+1,解得|PP1|=4 - 22.设P(x,y),则由抛物线的定义,知|PP1|=y+1=4 - 22,所以y=3 - 22,所以x2=4(3 - 22)=2(2 - 1)2,又点P在第一象限,所以x=22 - 2,即点P到y轴的距离为22 - 2,故选B.14.

25、C解法一如图D 10 - 3 - 6,过点M作准线l的垂线,垂足为M,则|MM|=|MF|.由已知得F(2,0),准线l的方程为x= - 2.图D 10 - 3 - 6 因为PF=3MF,所以|MF|=|MM|=12|PM|,所以PMM=60,故直线PF的斜率为 - 3,所以直线PF的方程为y= - 3x+23.由y= - 3x+23,y2=8x,消去y得3x2 - 20x+12=0,设M,N的横坐标分别为xM,xN,则xM+xN=203,所以|MN|=xM+xN+p=203+4=323,故选C.解法二由已知得F(2,0),设M(xM,yM),N(xN,yN),不妨设P( - 2,m)(m0)

26、.因为PF=3MF,所以(4, - m)=3(2 - xM, - yM),所以xM=23,yM=m3,因为点M在抛物线上,所以(m3)2=823,解得m=43,所以直线PF的斜率为 - 3,故直线PF的方程为y= - 3x+23,由y= - 3x+23,y2=8x,消去y得3x2 - 20x+12=0,所以|MN|=xM+xN+p=203+4=323,故选C.15.A由题意知抛物线的焦点为F(1,0),设直线l:y=k(x - 1)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2),由y=k(x - 1),y2=4x,消去y得k2x2 - (2k2+4)x+k2=0,所以x1+x2=2+4k2,x1

27、x2=1,y1+y2=k(x1+x2) - 2k=2k+4k - 2k=4k,所以线段AB的中点为(1+2k2,2k),线段AB的垂直平分线的方程为y - 2k= - 1k(x - 1 - 2k2),因为线段AB的垂直平分线与x轴交于点T(5,0),所以0 - 2k= - 1k(5 - 1 - 2k2),解得k=1,所以直线AB的方程为y=(x - 1),即x - y - 1=0或x+y - 1=0,所以点O到直线AB的距离d=| - 1|1+1=22,又|AB|=1+k2|x1 - x2|=1+1(x1+x2)2 - 4x1x2=236 - 4=8,所以SAOB=12228=22,故选A.1

28、6.A由题意得F(1,0),K( - 1,0).由角平分线的性质可知,|PF|PK|=1 - mm+1=2m+1 - 1.作PP垂直于准线,垂足为P,则|PP|=|PF|,|PP |PK| =2m+1 - 1,sinPKP=|PP |PK|=2m+1 - 1,又PKP(0,2),若m最大,则PKP最小,PKF最大.易知当PK与抛物线相切时PKF最大,设此时lPK:y=k(x+1),由y=k(x+1),y2=4x,消去y得k2x2+(2k2 - 4)x+k2=0,= - 16k2+16=0,k=1,此时sinPKP =22=2m+1 - 1,解得m=3 - 22.m的最大值为3 - 22,故选A

29、.17.A易知抛物线C1的焦点为(1,0),所以抛物线C1的方程为y2=4x.由y2=4x,(x - 1)2+y2=4及点A位于第一象限可得点A(1,2).因为抛物线C2:x2=8y的焦点F的坐标为(0,2),准线方程为y= - 2,所以由抛物线的定义得|BM|=|BF|.如图D 10 - 3 - 7,在平面直角坐标系中画出抛物线C2及相应的图形,可得|BM| - |AB|=|BF| - |AB|AF|(当且仅当A,B,F三点共线,且点B在第一象限时,不等式取等号).故|BM| - |AB|的最大值为|AF|=1,故选A.图D 10 - 3 - 7【解题关键】与抛物线的焦点或准线有关的最值问题

30、,求解时一般先利用抛物线的定义将最值问题加以等价转化,再借助图形分析何时取得最值.18.D由抛物线方程y2=8x,得焦点F的坐标为(2,0),准线方程为x= - 2.如图D 10 - 3 - 8,过点A,B分别作准线的垂线,垂足分别为E,N.设直线AB的方程为y=k(x - 4),则由y=k(x - 4),y2=8x,消去y并整理得k2x2 - (8k2+8)x+16k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=16.由抛物线的定义知|BF|=|BN|=x2+2=4,所以x2=2,所以x1=8,所以|AE|=x1+2=10.因为BNAE,所以SBCFSACF=|BC|AC|=|B

31、N|AE|=410=25,故选D.图D 10 - 3 - 8【规律总结】抛物线中与焦点、准线有关的问题,一般情况下都与拋物线的定义有关,解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化:(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离;(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,使问题得到解决.19.B由题意可得抛物线E的焦点为(0,1),圆M的圆心为(0,1),半径为4,所以圆心M(0,1)为抛物线的焦点,故|NM|等于点N到准线y= - 1的距离,又PNy轴,故|PN|+|NM|等于点P到准线y= - 1的距离.由x2=4y,x2+(y - 1)2=16,得y=3

32、,又点P为劣弧AB上不同于A,B的一个动点,所以点P到准线y= - 1的距离的取值范围是(4,6),又|PM|=4,所以PMN的周长的取值范围是(8,10),故选B.20.8如图D 10 - 3 - 9,图D 10 - 3 - 9由题意知F(p2,0).M为线段EF的中点,点M的横坐标为p4.设直线EF的方程为y=k(x - p2),k0.由y=k(x - p2),y2=2px,得k2x2 - (k2p+2p)x+k2p24=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=k2p+2pk2,x1x2=p24,x1=p4,x2=p,则y22=2p2,N(p,2p).|NF|2=(p -

33、p2)2+(2p)2,144=p24+2p2,p2=64,p0,p=8.21.y2=2x如图D 10 - 3 - 10,设直线l与x轴交于点D,过点B作BEl于点E,图D 10 - 3 - 10则|DF|=p.因为直线AF的倾斜角为120,所以AFD=ABE=60,所以EAB=30.因为|AB|=43,所以|BE|=12|AB|=23.由抛物线的定义知|BE|=|BF|,所以|AF|=|AB|+|BF|=|AB|+|BE|=2,所以|DF|=12|AF|=1,即p=1,所以抛物线C的标准方程为y2=2x.22. 由已知可得F(0,1),设A(x1,x124),B(x2,x224),由y=kx+

34、2,x2=4y,得x2 - 4kx - 8=0,所以x1+x2=4k,x1x2= - 8.(1)|FA|+|FB|=x124+1+x224+1=(x1+x2)2 - 2x1x24+2=4k2+6.当k=1时,|FA|+|FB|=10.(2)由题意可知,FA=(x1,x124 - 1),FB=(x2,x224 - 1),FC=( - 3, - 3).由CFA=CFB得cos=cos,即FAFC|FA|FC|=FBFC|FB|FC|,又|FA|=x124+1,|FB|=x224+1,所以 - 3x1 - 3(x124 - 1)32(x124+1)= - 3x2 - 3(x224 - 1)32(x2

35、24+1),化简并整理得4+2(x1+x2) - x1x2=0,即4+8k+8=0,解得k= - 32,所以直线l的方程为3x+2y - 4=0.23. (1)点P(x0,4)在抛物线上,16=2px0.由四边形MFPN的周长为16得,p+4+2(x0+p2)=16,即x0+p=6.由可解得p=4或p=2.p2,p=4.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为x=my - 2,代入抛物线方程得y2=8(my - 2),得y2 - 8my+16=0.由=64m2 - 640得,m21,且y1+y2=8m,y1y2=16,k1+k2=y1x1 - 2+y2x2 - 2=y1(m

36、y2 - 4)+y2(my1 - 4)(x1 - 2)(x2 - 2)=2my1y2 - 4(y1+y2)(x1 - 2)(x2 - 2)=0.24.C因为点F在曲线C:(x - x1)(x - x2)+(y - y1)(y - y2)=0上,所以点F在以AB为直径的圆上.连接AF,BF,易知AFBF,因为线段AB的中点M与点F的距离为3,所以|AB|=6,所以|AF|2+|BF|2=36.设的准线为l1,过点A作AA1l1于点A1,过点B作BB1l1于点B1,过点M作MM1l1于点M1,由抛物线的定义,得|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.在直角梯形ABB1A1中,2|MM1|=|A

37、A1|+|BB1|=|AF|+|BF|,所以4|MM1|2=|AF|2+|BF|2+2|AF|BF|AF|2+|BF|2+|AF|2+|BF|2=236=72(当且仅当|AF|=|BF|=32时,等号成立),所以|MM1|32,即点M到的准线的距离的最大值为32,故选C.【素养落地】试题以抛物线为载体,结合点在曲线上考查考生对几何与代数统一性的理解与掌握,考查了逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养.【方法总结】破解此类题需注意以下三点:一是会判断曲线的特征;二是会画图与用图,即会画出草图,根据图形的特征,寻找转化的桥梁;三是运算要认真,求解圆锥曲线题时,运算一定要认真才能得到正确的结果.25.21由抛物线y2=2px的焦点为F(1,0),得p2=1,所以p=2,则1|AF|+1|BF|=2p=1.