2021高考数学课标版理数一轮复习讲义 提能作业：第二节　导数与函数的单调性 WORD版含解析.docx

1、第二节导数与函数的单调性了解函数单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).导数与函数的单调性的关系函数y=f(x)在某个区间内可导,(1)若f (x)0,则f(x)在这个区间内单调递增;(2)若f (x)0(0(0,在(-2,-ln 2)上,f (x)0,f(x)的单调增区间是(-,-2)和(-ln 2,+),单调减区间是(-2,-ln 2).(2)令g(x)=f (x)=ex(cos x-sin x)-10x2,则g(x)=-2exsin x0x2,当0x2时,ex0,sin x0,所以g(x)0,即g(x)在0,2上单调递减,所以当

2、0x2时, f (x)f (0)=0,所以f(x)在0,2上单调递减.方法技巧确定函数单调区间的步骤(1)确定函数y=f(x)的定义域;(2)求f (x);(3)解不等式f (x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;(4)解不等式f (x)0.由f (x)0,得xln 2.由f (x)0,得0x0时,a2.当aa2-4且a0在(0,+)上恒成立,所以f(x)在(0,+)上单调递增;当a2时,方程x2-ax+1=0的两个根为x1=a+a2-42,x2=a-a2-42,因为a2a2-4且a2,所以x1,x2均为正数,且x1x2.所以x0,a-a2-42或xa+a2-42,+时, f (x)0,

3、f(x)单调递增,xa-a2-42,a+a2-42时, f (x)2时, f(x)的单调递增区间为0,a-a2-42和a+a2-42,+,单调递减区间为a-a2-42,a+a2-42.(2)函数f(x)的定义域为(-,+),f (x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).若a=0,则f(x)=e2x,则f(x)在(-,+)上单调递增.若a0,则由f (x)=0,得x=ln a.当x(-,ln a)时, f (x)0.故f(x)在(-,ln a)上单调递减,在(ln a,+)上单调递增.若a0,则由f (x)=0,得x=ln-a2.当x-,ln-a2时, f (x)0.故f(x)

4、在-,ln-a2上单调递减,在ln-a2,+上单调递增.综上,当a=0时, f(x)在(-,+)上单调递增;当a0时, f(x)在(-,ln a)上单调递减,在(ln a,+)上单调递增;当a0),若a0,则f (x)0在(0,+)上恒成立,则f(x)在(0,+)上单调递增;若a0, f(x)单调递增,x-12a,+时, f (x)0, f(x)单调递减.综上,当a0时, f(x)在(0,+)上单调递增;当a0在R上恒成立,当a0时,令f (x)=0,得x=ln a,易得f(x)的单调增区间是(ln a,+),单调减区间是(-,ln a).综上所述,当a0时, f(x)的单调增区间是(-,+)

5、;当a0时, f(x)的单调增区间是(ln a,+),单调减区间是(-,ln a).函数单调性的应用典例4(1)函数f(x)的定义域为R, f(0)=2,对任意的xR,f(x)+f (x)1恒成立,则不等式exf(x)ex+1的解集是()A.x|x0B.x|x0C.x|x1D.x|x-1或0x1,g(x)=ex(f(x)+f (x)-1)0,g(x)在R上是增函数.又g(0)=e0f(0)-e0-1=0,exf(x)ex+1exf(x)-ex-10g(x)0g(x)g(0)x0,故选A.(2)由f(x)=x3-2x+ex-1ex,得f(-x)=-x3+2x+1ex-ex=-f(x),所以f(x

6、)是R上的奇函数,又f (x)=3x2-2+ex+1ex3x2-2+2ex1ex=3x20,当且仅当x=0时取等号,所以f(x)在其定义域内单调递增,所以不等式f(a-1)+f(2a2)0f(a-1)-f(2a2)=f(-2a2)a-1-2a2,解得-1a12,故实数a的取值范围是-1,12.典例5已知函数f(x)=ln x,g(x)=12ax2+2x,a0.(1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在1,4上单调递减,求a的取值范围.解析(1)h(x)=ln x-12ax2-2x,x(0,+),所以h(x)=1x-ax-

7、2,x(0,+).因为h(x)在(0,+)上存在单调递减区间,所以当x(0,+)时,1x-ax-21x2-2x,x(0,+)有解.令G(x)=1x2-2x,x(0,+),所以只要aG(x)min即可.而G(x)=1x-12-1,x(0,+),所以G(x)min=-1,所以a-1且a0.(2)因为h(x)在1,4上单调递减,所以当x1,4时,h(x)=1x-ax-20恒成立,即a1x2-2x恒成立,x1,4,所以a1x2-2xmax,x1,4.因为x1,4,所以1x14,1,而1x2-2x=1x-12-1,所以1x2-2xmax=-716(此时x=4),所以a-716且a0.探究1(变条件)本例

8、(2)中,若h(x)在1,4上存在单调递减区间,求a的取值范围.解析h(x)在1,4上存在单调递减区间,则h(x)1x2-2x有解,又当x1,4时,1x2-2xmin=-1,所以a-1,又a0,所以a的取值范围是(-1,0)(0,+).探究2(变条件)本例(2)中,若函数h(x)在1,4上不单调,求a的取值范围.解析h(x)在1,4上不单调,h(x)=0在(1,4)上有解,即a=1x2-2x在x(1,4)上有解,令m(x)=1x2-2x,x(1,4),则-1m(x)0(或f (x)0(或f (x)min0)在该区间上有解,从而转化为不等式问题,求出参数的取值范围.(3)若已知f (x)在区间I

9、上的单调性,区间I上含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而求出参数的取值范围.3-1已知函数f(x)=ln x+12ax2-x-m(mR)为增函数,那么实数a的取值范围是.答案14,+3-2已知函数 f(x)(xR)满足f(1)=1,且f(x)的导数f (x)12,则不等式f(x2)x22+12的解集为.答案(-,-1)(1,+)解析由题意构造函数F(x)=f(x)-12x,则F(x)=f (x)-12,f (x)12,F(x)=f (x)-120,即函数F(x)在R上单调递减.f(x2)x22+12,f(x2)-x22f(1)-12,F(x2)1,即x(-,-1

10、)(1,+).A组基础题组 1.函数y=12x2-ln x的单调递减区间为()A.(0,1)B.(0,+)C.(1,+)D.(0,2)答案A2.函数f(x)=x-ln x的单调递减区间为()A.(0,1)B.(0,+)C.(1,+)D.(-,0)(1,+)答案A3.函数f(x)=3+xln x的单调递减区间是()A.1e,eB.0,1eC.-,1e D.1e,+答案B4.若f(x)=x2-aln x在(1,+)上单调递增,则实数a的取值范围是()A.(-,1)B.(-,1C.(-,2)D.(-,2答案D由f(x)=x2-aln x,得f (x)=2x-ax,f(x)在(1,+)上单调递增,2x

11、-ax0在(1,+)上恒成立,即a2,a2.5.下列函数在(0,+)上为增函数的是()A.f(x)=sin 2xB.f(x)=xexC.f(x)=x3-xD.f(x)=-x+ln x答案B对于A, f(x)=sin 2x的单调递增区间为k-4,k+4(kZ),f(x)在(0,+)上不单调;对于B, f (x)=ex(x+1),当x(0,+)时, f (x)0,函数f(x)=xex在(0,+)上为增函数;对于C, f (x)=3x2-1,令f (x)0,得x33或x0,得0x0)的单调递减区间是(0,4),则m=.答案137.函数f(x)=ex-2x的单调递增区间是.答案(ln 2,+)8.已知

12、函数f(x)=(x2+1)ln x-2x+2,x1,求f(x)的单调递增区间.解析x1,f (x)=2xln x+x+1x-20,当且仅当x=1时取等号.f(x)在1,+)上单调递增.9.已知函数f(x)=aln x+x2-ax(aR),若x=3是f(x)的极值点,求f(x)的单调区间.解析f(x)的定义域为(0,+),f (x)=ax+2x-a=2x2-ax+ax,因为x=3是f(x)的极值点,所以f (3)=18-3a+a3=0,解得a=9,所以f (x)=2x2-9x+9x=(2x-3)(x-3)x.由f (x)0,得0x3;由f (x)0,得 32x0,令g(x)=x2+ln x-1,

13、x(0,+),则g(x)=2x+1x0,x(0,+),函数g(x)在(0,+)上单调递增,且g(1)=0,f (1)=0,且x=1是f (x)=0的唯一解.当0x0;当x1时, f (x)0),则f (x)=(x-1)(ex-ex)x2,x0,令g(x)=ex-ex,则g(x)=ex-e,令g(x)=0,得x=1,当0x1时,g(x)1时,g(x)0,函数y=g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,当0xg(1)=0,当x1时,g(x)g(1)=0,x(0,+),g(x)0,即exex,当0x1时,x-10, f (x)1时,x-10, f (x)0,函数y=f(x)在(0,1

14、)上单调递减,在(1,+)上单调递增.12.已知函数f(x)=x-2x+1-aln x,a0,讨论f(x)的单调性.解析由题意知, f(x)的定义域是(0,+),f (x)=1+2x2-ax=x2-ax+2x2,a0.设g(x)=x2-ax+2,a0,方程g(x)=0的判别式为=a2-8.当0,即00都有f (x)0,此时f(x)是(0,+)上的单调递增函数.当0,即a22时,方程g(x)=0有两个不同的实数根,即x1=a-a2-82,x2=a+a2-82,0x10,得0xx2.由f (x)0,得x1xx2.所以f(x)在0,a-a2-82上单调递增,在a-a2-82,a+a2-82上单调递减

15、,在a+a2-82,+上单调递增.综上,当022时, f(x)在0,a-a2-82,a+a2-82,+上单调递增,在a-a2-82,a+a2-82上单调递减.B组提升题组 1.已知函数f(x)是定义在R上的可导函数, f (x)为其导函数,若对于任意实数x,都有f(x)-f (x)0成立,则()A.ef(2 015)f(2 016)B.ef(2 015)0,所以g(x)g(2 016),即 f(2 015)e2 015f(2 016)e2 016,所以ef(2 015)f(2 016),故选A.2.已知a0,函数f(x)=(x2-2ax)ex,若f(x)在-1,1上是单调递减函数,则a的取值范

16、围是()A.0,34B.12,34C.34,+D.0,12答案Cf (x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=x2+(2-2a)x-2aex,由题意知当x-1,1时, f (x)0恒成立,即x2+(2-2a)x-2a0在x-1,1上恒成立.令g(x)=x2+(2-2a)x-2a,则有g(-1)0,g(1)0,即(-1)2+(2-2a)(-1)-2a0,12+2-2a-2a0,解得a34.3.函数f(x)的定义域为R, f(-1)=2,对任意xR, f (x)2,则f(x)2x+4的解集为.答案(-1,+)解析设g(x)=f(x)-2x-4,则g(-1)=f(-1)-2(-1)-4=0,

17、又g(x)=f (x)-20,则g(x)为增函数.解g(x)0,即g(x)g(-1),得x-1.4.已知函数f(x)=m(x-1)x+1-ln x在(1,+)上是减函数,求实数m的取值范围.解析f(x)=m(x-1)x+1-ln x在(1,+)上是减函数,f (x)=m(x+1)-m(x-1)(x+1)2-1x=-x2+(2m-2)x-1x(x+1)20在(1,+)上恒成立,则2m-20),令f (x)=0,得x=ea-11,易知f (x)为增函数,当1a2时,1ea-1e,当1xea-1时, f (x)0,当ea-1x0,f(x)在1,ea-1)上单调递减,在(ea-1,e上单调递增,当a2

18、时,ea-1e,易知f (x)0, f(x)在1,e上单调递减.综上,当1a2时, f(x)在1,ea-1)上单调递减,在(ea-1,e上单调递增;当a2时, f(x)在1,e上单调递减.6.已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.讨论f(x)的单调性.解析f (x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).设a0,则当x(-,1)时, f (x)0.所以f(x)在(-,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增,设aa-e2,则ln(-2a)0;当x(ln(-2a),1)时, f (x)0.所以f(x)在(ln(-2a),1)上单调递减,在(-,ln(-2a),(1,+)上单调递增.若a1,故当x(-,1)和(ln(-2a),+)时, f (x)0;当x(1,ln(-2a)时, f (x)a-e2时, f(x)在(ln(-2a),1)上单调递减,在(-,ln(-2a),(1,+)上单调递增;当a=-e2时, f(x)在(-,+)上单调递增;当a-e2时, f(x)在(1,ln(-2a)上单调递减,在(-,1),(ln(-2a),+)上单调递增.