广西南宁市2023届高中毕业班第二次适应性测试文科数学试卷.pdf

1、 1 南宁市 2023 届高中毕业班第二次适应性测试参考答案文科数学一、选择题 12.D 解：依题意,因为()g x 为偶函数,所以()()g xgx,所以()()g xgx,所以()g x 为奇函数且(0)0g,因为()()2,()(4)2 f xg xf xgx,令2x,则有(2)(2)2(2)(42)2 fgfg,解得(2)2f.因为()(4)2 f xgx,所以(4)()2 f xgx,又()()g xgx,所以(4)()2 f xg x由()()2(4)()2 f xg xf xg x，得()(4)f xf x,所以()f x 是以 4 为周期的周期函数,所以(2022)(2)2ff

2、,所以(2022)24f.故选：D二、填空题 13.4 14.280 xy或220 xy（正确写出一个方程可给 5 分）15.7 16.8 23 解:将 ACD沿 AD 翻折到与 ABD 共面得到平面四边形ABDC如图 1 所示.设CDx,由题意得:10C B,在 C BD中,由余弦定理得:2222cos135C BC DBDC D BD即2222(10)(2)222 xx,即2280 xx,解得2x或4 x(舍去),将三棱锥ABCD补成长方体如图 2 所示该棱锥的外接球即为长方体的外接球,题号123456789101112答案CDBCDBCCAACD 2 则外接球的半径为:2221(2)(2

3、)222R,所以外接球的体积为348 233VR,故答案为:8 23 三、解答题 17.为庆祝神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，某学校开展了航天知识竞赛活动，共有 100 人参加了这次竞赛，已知所有参赛学生的成绩均位于区间 50,100，将他们的成绩(满分 100 分)分成五组依次为 50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100，制成如图所示的频率分布直方图.（1）试估计这 100 人的竞赛成绩的平均数；（2）采用按比例分配的分层抽样的方法，从竞赛成绩在80,100 内的学生中随机抽取 6 人作为航天知识宣讲使者，再从第四组和第五组的使者中随机抽取 2 人作为组长，求这

4、 2 人来自同一组的概率.解:(1)依题意可得:(0.0150.0250.0350.005)101a1 分解得:0.02a.2 分(3 分)【备注 1】结果正确，见“0.02a”可给 3 分；若结果不准确，但写出“(0.0150.0250.0350.005)101a”，可给 1 分。根据频率分布直方图知:平均数的估计值为55 0.1565 0.275 0.35 85 0.25 95 0.0573.5所以这 100 人的竞赛成绩的平均数的估计值为73.53 分(6 分)【备注 2】见“55 0.15”、“65 0.2”、“75 0.35”、“85 0.25”、“95 0.05”之一，可给 1 分

5、。【备注 3】结果正确，见“73.5”可给 2 分。(2)由题可知,竞赛成绩在80,90),90,100两个组中,人数之比为5:1,现采用分层 3 抽样从中抽取 6 人,所以每组各抽学生人数分别为5,1.2 分(8 分)【备注 4】见“每组各抽学生人数分别为5,1”各给 1 分,共 2 分.分别记80,90)中所抽取的 5 人编号依次为1,2,3,4,5,90,100中所抽取的 1 人编号为 A所以从 6 人中随机抽取 2 人的情况为:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,),(2,3),(2,4),(2,5),(2,)AA,(3,4),(3,5),(3,),(4,5),(4,

6、),(5,)AAA,共 15 种结果2 分(10 分)【备注 5】结果正确,见“共 15 种结果”或“共21015C种”,可给 2 分;若结果不正确,但能至少列出 1 种情况以上,可给 1 分.其中这 2 人来自同一组(记为事件 M)的有 10 种1 分(11 分)【备注 6】结果正确,见有 10 种”,可给 1 分所以102()153P M所以这 2 人来自不同组的概率为 23 1 分(12 分)【备注 7】见“23”可给 1 分.18.如图，在四棱锥PABMN 中，PMN 是边长为 1 的正三角形，平面PMN平面 AMN,/,22ANBM ANNP ANBM,C 为 PA 的中点.（1）求

7、证:/BC平面 PMN；（2）求 M 到平面 PAB的距离.解：(1)证明:取 PN 中点 E，连接CE和 ME.1 分C为 PA 中点，/CEAN 且12CEAN.1 分【备注 1】见“/CEAN”给 1 分。/BMAN 且12BMAN/BMCE且BMCE 1 分(3 分)【备注 2】见“/BMCE”给 1 分。四边形 BMEC为平行四边形,则/BM EM1 分【备注 3】见“/BM EM”给 1 分。4 EM面，PMNBC面，PMN/BC面 PMN 1 分(5 分)【备注 4】若缺少写出“BC 面，PMN”扣 1 分.(2)解:连接 AM,取 MN 中点O,连接 PO1 分(6 分)【备注

8、 5】体现作图过程,给 1 分.则等边PMN 中,.POMN EMPN面PMN面,AMN MN面PMN面 AMN,PO面.AMN 1 分(7 分)【备注 5】见“PO面.AMN”给 1 分.POAN.,ANNP PONPPAN面 PMN,ANMNBMMN.11111331 1.33232212P ABMABMVSPOBM MN PO 1 分(8 分)【备注 6】见“1.3P ABMABMVSPO”可给 1 分.因直角梯形 ABMN 中2AB,连接OB,则225,2POOB OBOMBM,222.PBPOOB.1 分(9 分)22,5PBABBCAP APANNP222253(2)22BCABA

9、C113155.2224ABPSAPBC1 分(10 分)【备注 7】见“154ABPS”给 1 分.设 M 到面 PAB的距离为 h,则 5-1115333412P ABMMABPABPVVShh,解得5.5h.2分(12分)【备注 8】结果正确,见“55h”即可给 2 分;若结果不正确,但能写出“-P ABMMABPVV”,体现等体积法,可给 1 分.19.记nS 为各项均为正数的等比数列 na的前 n 项和，37S且324,3,aa a 成等差数列.（1）求 na的通项公式；（2）设221lognnnbaa，求 nb 的前 n 项和nT.解:(1)设数列 na的首项为1a,公比为 q,则

10、23211317aaaSaqq.1 分【备注 1】正确写出“21 17aqq”、“31 171aqq”之一，给 1 分。因为324,3,aa a 成等差数列,则234=+6aaa 即231116a qa qa q1 分【备注 2】正确写出“234=+6aaa”、“231116a qa qa q”之一，给 1 分。故联立可得260qq,解得2q 或3 q(舍)2 分(4 分)【备注 3】正确写出“260qq”、“2q”之一，可给 2 分。111,2 nnaa.2 分(6 分)【备注 4】正确写出“12nna”给 2 分.(2)由221lognnnbaa得1222 nnnbnn.1 分则12311

11、+1 22 23 2+2nnnTbbbn 1 分(8 分)所以234121 22 23 22nnTn 1 分【备注 5】写出能体现将式两边同乘以 2 的方法,给 1 分.得.1 分(10 分)6【备注 6】正确写出“”、“”、“两式相减”之一，给 1 分。则12311112 1 22222222221 2nnnnnnnTnnn 1 分【备注 7】正确写出“1232222n”、“12nn”、“11222nnn”之一，给 1 分。1(1)22nnTn 1分（12分）【备注 8】正确写出“1(1)22nn”、“11222nnn”之一，给 1 分。20.已知抛物线2:2(0)C ypx p经过点(1,

12、2)P，过点(0,1)Q的直线l与抛物线C有两个不同交点，A B，且直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N.（1）求直线l斜率的取值范围;（2）证明:存在定点T，使得,QMQT QNQT且 114.解:(1)解法 1:将(1,2)P代人抛物线得22,4pyx.2 分【备注 1】写出“24yx”,给 2 分.若结果不准确,但写出“2p”,可给 1 分依题意可设 1111,A x yB x y,直线:1(0)l ykxk.1 分(3 分)7【备注 2】见“1ykx”,可给 1 分联立直线l与抛物线24yx得:22(24)10 k xkx,则122122421kxxkx xk.1

13、 分【备注 3】正确写出“12242kxxk”、“1221x xk”之一，给 1 分。由00002121xxxxk得01kk且1 分(5 分)【备注 4】正确写出“00k ”、“10kk 且”之一，给 1 分。又直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N，所以直线不能过(1,2)P及(1,2),1 k且3k，综上(1,0)(0,3)(3,)k 1 分（6 分）【备注 5】见“(1,0)(0,3)(3,)k ”、“10k 或03k 或3k ”之一，可给 1 分。(1)解法 2：将(1,2)P代人抛物线得22,4pyx.2 分【备注 1】写出“24yx”,给 2 分.若结果不准确,

14、但写出“2p”,可给 1 分依题意可设 1111,A x yB x y,直线:1(0)l ykxk.1 分(3 分)【备注 2】见“1ykx”,可给 1 分=12=4，得：2 4 4=0，.1 分(4 分)【备注 3】只要联立方程消去 x 后的方程正确即可得这 1 分。则 0=16+16 0,得 1 且 0 .1 分(5 分)8【备注 4】正确写出 0=16+16 0,或 1 且 0其中之一给 1 分 又直线 PA 交 y 轴于 M，直线 PB 交 y 轴于 N，所以直线不能过(1,2)P及(1,2),1 k且3k，综上(1,0)(0,3)(3,)k 1 分（6 分）【备注 5】见“(1,0)

15、(0,3)(3,)k ”、“10k 或03k 或3k ”之一，可给 1 分。(2)设点0,0,MNMyNy，由,(0,1)QMQTQNQTQ，则可设(0,)Tt0,1,(0,1).MQMyQTt,1(1)MQMQTyt 故 111Mty1 分同理:111Nty.1 分(8 分)【备注 6】见“111Mty”、“111Nty”各给 1 分。11124,12PAykxy直线14:2(1)2PA yxy，令0 x得1122Myyy 1 分同理2222Nyyy，1 分（10 分）【备注 7】见“1122Myyy”、“2222Nyyy”各给 1 分。2121221111(1)(1)1221NMyyttt

16、tyyyy，12121212222811(1)12222yyy yttyyyy（）1 分(11 分)【备注 8】若1+1最终表达式不准确,但表达式中出现1+1或1 2其中 9 之一,也可给 1 分。88(1)2(1)444kttk 3 t所以存在点(0,3)T满足题意.1 分(12 分)【备注 9】见“(0,3)T”即给 1 分;21.已知函数2()e,02xaxf xa.(1)若()f x 过点(1,0)，求()f x 在该点处的切线方程；(2)若()f x 有两个极值点12,x x，且120 xx，当2ee2a时，证明:122xx.解:(1)已知2(),02xaxf xea,将(1,0)代

17、人得02ae.则2.ae.1 分【备注 1】见“2.ae”给 1 分.所以2(),()2.xxf xeexfxeex.1 分(2 分)【备注 2】见“”、“().xfxeaex”之一，给 1 分.所以(1)2.feee 1 分所以所求切线方程为(1)ye x,即0.exye.1 分(4 分)(2)(),()xfxeax f x 有两个极值点12,x x,且120 xx所以12,x x 是方程0 xeax的两根.1 分不妨令()xeF xx,则2(1)()xexF xx.令()0F x解得1x.1 分(6 分)【备注 3】见“令()xeF xx”、“令()0F x解得1x.”之一，给 1 分.所

18、以()F x 在(0,1)单调递减,在(1,)单调递增.1 分(7 分)()2xfxeex 10【备注 4】见“在(0,1)单调递减”、“在(1,)单调递增”之一，给 1 分.其大致图像如图所示,由图像可知当2(,)2eae,由1112xxeaxeax,两边取对数得1122lnlnlnlnxaxxax,作差得1212lnln.xxxx.1 分(8 分)要证122xx,等价于证明1122121112122122212lnln21ln.1xxxxxxxxxxxxxxxx 1 分(9 分)【备注 5】体现正确写出同构过程,给 1 分.令122(1)(0,1),()ln,(0,1).1xtt tttt

19、xt.1 分(10 分）【备注 6】写出构造新的函数,给 1 分.2222214(1)4(1)()0.(1)(1)(1)ttttttt tt t故()t在(0,1)上单调递增.1 分【备注 7】见“()t在(0,1)上单调递增”,给 1 分.从而()(1)0t,即122.xx.1 分(12 分)【备注 8】见“()(1)0t”,给 1 分.11 12 22.在直角坐标系 xOy 中已知曲线cos:2sinxCy(为参数)，直线1:32 xtlyt(t为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C和直线l的极坐标方程;（2）点 P 在直线l上，射线OP 交曲线C于点

20、R，点Q在射线OP 上，且满足25|4|OROP OQ，求点Q的轨迹的直角坐标方程.解:(1)因为曲线cos:2sinxCy(为参数),所以曲线C的普通方程为2214yx .1 分因为cos,sinxy1 分【备注 1】见“cosx”、“siny”之一,可给 1 分。所以曲线C的极坐标方程为2222sincos14.即22244cossin.1 分(3 分)因为直线1:32 xtlyt(t为参数)则直线:250lxy.1 分直线l的极坐标方程为 2 cossin50.1 分(5 分)(2)设点Q的极坐标为(,)Q ,1 分则22245|,|4cossin2cossinOROP1 分(7 分)【

21、备注 2】见“2224|4cossinOR”、“5|2cossinOP”之一,给 1 分。代人25|4|OROPOQ 得225 44 54cossin2cossin1 分即2222 cossin4cossin,则22224cossin2 cossin 1 分所以点Q轨迹直角坐标方程为2242xyxy.1 分(10 分)【备注 3】正确写出结果“2242xyxy”且有一定的过程,即可给 3 分.13 若结果不准确,就按标准给分.23.已知,a b c均为正数，且222234abc，证明:（1）若ac，则22ab;（2）232 6abc.证明:(1)222234,abcac22424ab 1 分【

22、备注 1】见“22424ab”、“2222ab”之一,给 1 分。22422 22abab2 分(3 分)【备注 2】见“22422 22abab”、“2222 2abab”之一,可给 2 分。当且仅当2,12ab时取等号.1 分【备注 3】见“22a”、“1b ”之一,可给 1 分。4 2 22ab,即22ab.1 分(5 分)(2),a b c均为正数,且222234,abc由柯西不等式得2222222231(2)(3)(23)abcabc.2 分(7 分)2(23)4 6abc.1 分232 6abc,当且仅当63abc时取等号2 分(10 分)【备注 4】漏写“63abc”扣 1 分。