2022版新教材高中数学 第三章 函数的概念与性质 2.docx

1、第1课时 函数的单调性基础达标练1.（多选）（2020山东潍坊高一月考）下列四个函数中为减函数的是( )A.f(x)=-2x+1 B.f(x)=1xC.f(x)=x+1 D.f(x)=2x2(x0)答案： A ; D2.（2020吉林洮南第一中学高一月考）下列函数中,满足对任意x1,x2(0,+) ,当x1x2 时,都有f(x1)f(x2) 的是( )A.f(x)=x2 B.f(x)=1xC.f(x)=|x| D.f(x)=2x+1答案：B3.（多选）（2020重庆江津中学高一月考）函数f(x)=2x-ax+1 在区间(b,+) 上单调递增,则下列说法正确的是( )A.a-2 B.b-1C.b

2、-1 D.a-2答案：A ; C4.（多选）（2020广东实验中学附属天河学校高一月考）给出下列命题,其中是假命题的是( )A.若函数f(x) 的定义域为0,2 ,则函数f(2x) 的定义域为0,4B.函数f(x)=1x 的单调递减区间是(-,0)(0,+)C.若定义在R 上的函数f(x) 在区间(-,0 上是增函数,在区间(0,+) 上也是增函数,则f(x) 在R 上是增函数D.x1、x2 是f(x) 的定义域内的任意两个值,且x1x2 ,若f(x1)f(x2) ,则f(x) 是减函数答案：A ; B ; C5.（2020北京海淀清华附中高一期中）已知函数f(x)=x2+ax-1 在2,3

3、上不单调,则实数a 的取值范围为 .答案：(-6,-4)6.已知定义在1,4 上的函数f(x) 是减函数,求满足不等式f(1-2a)-f(3-a)0 的实数a 的取值范围.答案：由题意可得,f(1-2a)f(3-a) .因为f(x) 在定义域1,4 上单调递减,所以11-2a4,13-a4,1-2a3-a, 解得-1a0 ,所以实数a 的取值范围为-1,0 .7.用定义研究函数f(x)=ax+1x+2(a12) 在(-2,+) 上的单调性.答案：x1,x2(-2,+), 且x1x2,则f(x2)-f(x1)=ax2+1x2+2-ax1+1x1+2=(ax2+1)(x1+2)-(ax1+1)(x

4、2+2)(x2+2)(x1+2)=(x2-x1)(2a-1)(x1+2)(x2+2) .-2x1x2,x2-x10,x1+20,x2+20,故当2a-10 ,即a12 时,f(x2)-f(x1)0 ,则f(x) 在(-2,+) 上是减函数;当2a-10, 即a12 时,f(x2)-f(x1)0 ,则f(x) 在(-2,+) 上是增函数.素养提升练8.（2020湖北襄阳高一期中）若函数f(x)=-x2+(a2-3)x-8,x1,ax,x1 在R 上是增函数,则实数a 的取值范围是( )A.-4,-5 B.5,4C.-3,4 D.5,3答案：B解析：因为函数f(x)=-x2+(a2-3)x-8,x

5、1,ax,x1在R 上是增函数,所以满足下列条件：y=-x2+(a2-3)x-8 在(-,1 上单调递增,则a2-321 ,解得a5 或a-5 ;y=ax 在(1,+) 上单调递增,则a0 ;当x=1 时,满足-1+a2-3-8a ,解得-3a4 .综上可得,若函数f(x) 在R 上是增函数,则实数a 的取值范围是5a4 .故选B.9.已知函数f(x)=x-ax+a2 在(1,+) 上是增函数,则实数a 的取值范围是 .答案：-1,+)解析：x1,x2(1,+), 且x1x2, 所以x1x21 .因为函数f(x) 在(1,+) 上是增函数,所以f(x1)-f(x2)=x1-ax1+a2-(x2

6、-ax2+a2)=(x1-x2)(1+ax1x2)0 .因为x1-x20, 所以1+ax1x20, 即a-x1x2 .因为1x1x2,x1x21, 所以-x1x2-1, 所以a-1 .故a的取值范围是-1,+) .10.已知f(x) 的定义域为R ,对任意x,yR 都有f(x+y)=f(x)+f(y)-1 ,当x0 时,f(x)1,f(1)=0 .（1）求f(-1) ;（2）试判断f(x) 在R 上的单调性,并证明;（3）解不等式f(2x2-3x-2)+2f(x)4 .答案：（1）令x=y=0 ,得f(0)=f(0)+f(0)-1 ,解得f(0)=1 .令x=1,y=-1 ,得f(0)=f(1

7、)+f(-1)-1 ,所以f(-1)=2 .（2）函数f(x) 在R 上单调递减.证明如下：x1,x2R, 且x1x2,可得f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1+x1)=f(x1)-f(x2-x1)+f(x1)-1=1-f(x2-x1),因为x2-x10, 所以f(x2-x1)1,所以1-f(x2-x1)0 ,即f(x1)f(x2) ,所以f(x) 在R 上单调递减.（3）令y=x ,得f(2x)=f(x)+f(x)-1 ,2f(x)=f(2x)+1 ,f(2x2-3x-2)+2f(x)=f(2x2-3x-2)+f(2x)+1=f(2x2-3x-2+2x)+24 ,f(2x2-x

8、-2)2 ,f(-1)=2,f(2x2-x-2)f(-1),f(x) 在R 上单调递减,2x2-x-2-1 .解得-12x1 , 原不等式的解集为x|-12x1 .创新拓展练11.（2020吉林蛟河一中高一月考）已知函数f(x)=xx2+4,x(-2,2) .（1）求f(f(1) 的值;（2）用定义证明函数f(x) 在(-2,2)上为增函数;（3）若f(a+2)f(2a-1) ,求实数a 的取值范围.解析：命题分析 本题考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性,考查抽象不等式的解法,过程中体现数学运算和逻辑推理的核心素养.答题要领 （1）先求f(1) 的值,再求f(f(1) 的值即可;（2）x

9、1,x2(-2,2), 且x1x2, 作差、通分、分解因式,判断出f(x1)-f(x2)0, 即可证明函数f(x) 在(-2,2)上为增函数;（3）利用函数的单调性,结合函数的定义域,将不等式f(a+2)f(2a-1) 转化为不等式组,即可求实数a 的取值范围.答案： （1）因为f(1)=11+4=15 ,所以f(f(1)=f(15)=15(15)2+4=5101 .（2）证明：x1,x2(-2,2), 且x1x2,则f(x1)-f(x2)=x1x12+4-x2x22+4=(x2-x1)(x1x2-4)(x12+4)(x22+4) ,因为-2x1x22 ,所以x2-x10,x1x2-40,所以f(x1)-f(x2)0, 即f(x1)f(x2),所以函数f(x) 在(-2,2)上为增函数.（3）由（2）知f(x) 在(-2,2)上为增函数.又f(a+2)f(2a-1) ,所以-2a+22,-22a-12,a+22a-1, 解得-4a0,-12a32,a3, 即-12a0,所以实数a 的取值范围是(-12,0) .方法感悟 解决抽象不等式f(a)f(b) 问题时,切勿将自变量代入函数解析式进行求解,应该利用函数f(x) 的单调性进行求解.若函数f(x) 为增函数,则ab ;若函数f(x) 为减函数,则ab .解题过程中,一定要注意抽象函数的定义域.