2022版高中数学 第三章 指数函数和对数函数 6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较提升训练（含解析）北师大版必修1.docx

1、指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 基础过关练 题组一 不同增长函数模型的比较 1.下列函数中,增长速度越来越慢的是()A.y=6x B.y=log6x C.y=x6 D.y=6x 2.“红豆生南国,春来发几枝.”如图给出了红豆生长时间 t(月)与枝数 y(枝)的散点图,那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是()A.指数函数 y=2t B.对数函数 y=log2t C.幂函数 y=t3 D.二次函数 y=2t2 3.三个变量 y1,y2,y3,随着变量 x 的变化情况如下表:x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1715 3645 6655 y2 5 29 245

2、 2189 19685 177149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.2 7.4 则与 x 呈对数型函数,指数型函数,幂型函数变化的变量依次为()A.y1,y2,y3 B.y2,y1,y3 C.y3,y2,y1 D.y1,y3,y2 4.(2020 广东惠州高一上期末)有一组实验数据如下表:t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是()A.v=log2t B.v=lo t C.v=-D.v=2t-2 5.函数 f(x)=lgx,g(x)=0.3x-1 的图像

3、如图所示.(1)指出图中 C1,C2分别对应哪一个函数;(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点,对 f(x),g(x)的大小进行比较).题组二 不同增长函数模型的应用 6.某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 10.4%,要增长到原来的 x 倍,需经过 y 年,则函数 y=f(x)的图像大致是()7.某校甲、乙两食堂某年 1 月份的营业额相等,甲食堂的营业额逐月增加,并且每月的增加值相同;乙食堂的营业额也逐月增加,且每月增加的百分率相同.已知该年 9 月份两食堂的营业额又相等,则该年 5 月份()A.甲食堂的营业额较高 B.乙食堂的营业额较高 C.甲、乙两食堂的营业额相同 D.不能

4、确定甲、乙哪个食堂的营业额较高 8.一种专门侵占内存的计算机病毒,开机时占据内存 2KB,然后每 3 分钟自身复制一次,复制后所占内存是原来的 2 倍,那么开机后经过 分钟,该病毒占据 64MB 内存(1MB=210KB).9.某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度 h(米)与生长时间 t(年)的相关数据如下表所示,选择 h=mt+b 与 h=loga(t+1)来拟合 h 与 t 的关系,你认为哪个符合?并预测第 8 年松树的高度.t(年)1 2 3 4 5 6 h(米)0.6 1 1.3 1.5 1.6 1.7 10.(2019 四川成都高一上期末调研)某公司承包了一个工程项目,经

5、统计发现该公司在这项工程项目上的月利润 P 与月份 x 近似地满足某一函数关系.其中 2 月到 5 月所获利润统计如下表:月份(月)2 3 4 5 所获利润(亿元)89 90 89 86(1)已知该公司的月利润 P 与月份 x 近似满足下列中的某一个函数模型:P(x)=ax2+bx+c;P(x)=abx+c;P(x)=alogbx+c,请以表中该公司这四个月的利润与月份的数据为依据给出你的选择(需要说明选择该模型的理由),并据此估计该公司 8 月份在这项工程项目中获得的利润;(2)根据(1)中选择的函数模型 P(x),若该公司承包项目的月成本符合函数模型 Q(x)=-(单位:亿元),求该公司承

6、包的这项工程项目月成本的最大值及相应的月份.题组三 不同增长函数模型的图像特征 11.小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图像是()12.向高为 H 的水瓶内注水,一直到注满为止,如果注水量 V 与水深 h 的函数图像如图所示,那么水瓶的形状大致是()13.如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的残留量 y 与净化时间 t(月)的近似函数关系:y=at(t0,a0 且 a1)的图像.有以下叙述:第 4 个月时,残留量就会低于 ;每月减少的有害物质量都相等;若残留量为 ,时,所经过的时间分别是 t1,t2,t

7、3,则 t1+t2=t3.其中所有叙述正确的序号是 .14.在某种金属材料的耐高温实验中,温度 y 随着时间 t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图像如图所示.现给出下列说法:前 5min 温度增加的速度越来越快;前 5min 温度增加的速度越来越慢;min 以后温度保持匀速增加;min 以后温度保持不变.其中说法正确的是 (填序号).15.函数 f(x)=2x和 g(x)=x3的图像如图所示.设两函数的图像交于点 A(x1,y1),B(x2,y2),且 x1x0时()A.2xx2log2x B.x22xlog2x C.log2x2xx2 D.log2xx22x 2.()下表是函数值 y

8、 随自变量 x 变化的一组数据,由此判断它最可能的函数模型是()x 4 5 6 y 15 20 15 A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 3.()某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:万元)对年销售量 y(单位:t)的影响,对近 6 年的年宣传费 xi(i=1,2,6)和年销售量 yi进行整理,得到的数据如下表所示:x 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 y 1.65 2.20 2.60 2.76 2.90 3.10 根据上表数据,下列函数中适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的拟合函数的是()A.y

9、=0.5(x+1)B.y=log3x+1.5 C.y=2x-1 D.y=2 4.(2021 四川江油一中高一上期中,)一种放射性元素最初的质量为 500g,按每年 10%衰减,则这种放射性元素的半衰期约为 年.(注:剩余质量为最初质量的一半,所需的时间叫作半衰期)(结果精确到 0.1,参考数据:lg2=0.3010,lg3=0.4771)()A.5.2 B.6.6 C.7.1 D.8.3 5.(2021 湖北武汉三中高一上月考,)如图所示,液体从一个圆锥形漏斗漏入一个圆柱形桶中,开始时漏斗中盛满液体,经过 3 秒漏完,圆柱形桶中液面上升速度是一个常量,则漏斗中液面下降的高度 H 与下降时间 t

10、之间的函数关系的图像只可能是()6.()某小型贸易公司为了实现年终 10 万元利润的目标,特制订了一个销售人员年终绩效奖励方案:当销售利润为 x 万元(4x10)时,奖金 y(万元)随销售利润 x(万元)的增加而增加,但奖金总数不超过 2 万元,同时不超过销售利润的 ,则下列函数中,符合该公司奖励方案的函数模型是(参考数据:lg20.3,lg30.48,lg50.7)()A.y=0.4x B.y=lgx+1 C.y=D.y=1.125x 二、填空题 7.(2020 四川泸州泸县一中高一下月考,)把物体放在空气中冷却,如果物体原来的温度是 1,空气温度是 0,t 分钟后温度 可由公式:=0+(1

11、-0)-n 求得,现有 0的物体放在 的空气中冷却,当物体温度降为 时,所用冷却时间 t=分钟.8.(2020 广东深圳中学高一上期中,)小菲在选修课中了解到艾宾浩斯记忆曲线,为了解自己记忆一组单词的情况,她记录了随后一个月的有关数据,绘制图像,拟合了记忆保持量 y 与时间 x(天)之间的函数关系:y=-0 ,0 ,0 -,0 某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论:随着时间的增加,小菲的单词记忆保持量降低;天后,小菲的单词记忆保持量低于 40%;天后,小菲的单词记忆保持量不足 20%.其中正确的结论序号有 .三、解答题 9.(2020 江西信丰中学高一上期末,)某纪念章于 2021 年元旦开

12、始上市.通过市场调查,得到该纪念章每一枚的市场价 y(单位:元)与上市时间 x(单位:天)的数据如下表:上市时间 x 天 4 10 36 市场价 y 元 90 51 90(1)根据上表数据,从下列函数中选择一个恰当的函数模型描述该纪念章的市场价 y 与上市时间 x 的关系,并说明理由;y=ax+b(a0;y=ax2+bx+c(a0;y=alogbx(b0,且 b1).(2)利用选取的函数,求该纪念章市场价最低时的上市时间及最低的价格.10.()某医药研究所研发的一种新药,成年人按规定的剂量服用后,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:微克)与时间 t(单位:小时)之间近似满足如图所示的曲

13、线对应的函数.(1)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t);(2)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于 1 微克时,治疗有效.问:服药多少小时后开始有治疗效果?治疗效果能持续多少小时?(结果精确到 0.1,参考数据:lg20.301)11.(2019 四川攀枝花高一上教学质量监测,)攀枝花是一座资源富集的城市,矿产资源储量巨大,已发现矿种 76 种,探明储量 39 种,其中钒、钛资源储量分别占全国的 63%和 93%,占全球的 11%和 35%,因此其素有“钒钛之都”的美称.攀枝花市某科研单位在研发钛合金产品的过程中发现了一种新合金材料,由大数据测得该产品的性能指标值 y(y

14、 值越大产品的性能越好)与这种新合金材料的含量 x(单位:克)的关系为:当 0 xf(x);当 x(x1,x2)时,g(x)f(x).g(x)呈直线增长,函数值变化是均匀的,f(x)随着 x 的增大而逐渐增大,其函数值变化得越来越慢.6.D 设该林区的森林原有蓄积量为 a,由题意知,ax=a(1+0.104)y,故 y=log1.104x(x ,y=f(x)的图像大致为 D 中的图像.7.A 设甲、乙两食堂 1 月份的营业额均为 m,甲食堂的营业额每月增加 a(a0),乙食堂的营业额每月增加的百分率为 x,由题意可知,m+8a=m +x)8,则 5 月份甲食堂的营业额 y1=m+4a,乙食堂的

15、营业额y2=m +x)4=.因为 -=(m+4a)2-m(m+8a)=16a20,所以 y1y2,故该年 5 月份甲食堂的营业额较高.8.答案 45 解析 设开机后经过 n 个 3 分钟,该病毒占据 64MB 内存,则 n=10=216,解得 n=15,故时间为 =分钟).9.解析 根据题表中数据作出散点图如图.由图像可以看出增长的速度越来越慢,用一次函数模型拟合不合适,选用对数函数模型比较合理.不妨将(2,1)代入 h=loga(t+1)中,得 1=loga3,解得 a=3.故可用函数 h=log3(t+1)来拟合这个实际问题.当 t=8 时,求得 h=log3(8+1)=2(米),故可预测

16、第 8 年松树的高度为 2 米.10.解析(1)易知 a0,因为 P(x)=abx+c,P(x)=alogbx+c 为单调函数,由所给数据知,满足条件的函数不单调,所以选取 P(x)=ax2+bx+c 进行描述.将题表中(2,89),(3,90),(4,89)代入 P(x),得到 ,0 ,解方程组得 -,所以该公司月利润 P 与月份 x 近似满足的函数为 P(x)=-x2+6x+81,x 1,12,x N+,当 x=8 时,得 P=65(亿元).所以 8 月份所获得的利润约为 65 亿元.(2)由(1)得,Q(x)=-=-.当 x=2 时,Q(x)max=11.所以该公司承包的这项工程项目月成

17、本的最大值为 11 亿元,相应的月份为 2 月.11.C 开始时小明匀速行驶,所得图像为一条直线,且距离学校越来越近,故排除 A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除 D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除 B.故选 C.12.B 水深 h 为自变量,随着 h 的增大,A 中 V 的增长速度越来越快,C 中先慢后快再慢,D 中增长速度不变,只有 B 中 V 的增长速度越来越慢.故选 B.13.答案 解析 根据题意,函数的图像经过点 2,故函数为 y=().易知正确.14.答案 解析 因为温度 y 关于时间 t 的图像是先凸后平,所以前 5min 每当 t 增加一个单位时,相应的增

18、量 y 越来越小,而 5min 后 y 关于 t 的增量保持为 0,所以正确.15.解析(1)曲线 C1对应的函数为 g(x)=x3,曲线 C2对应的函数为 f(x)=2x.f(1)=2g(1)=1,f(2)=4g(2)=8,f(9)=512g 0=000,x12,9x210,由题图可以看出,当 x1xx2时,f(x)g(x,f(6)x2时,f(x)g(x),f(2017)g(2017).又 g(2017)g(6),f(2017)g(2017)g(6)f(6).能力提升练 1.A 2.B 3.B 4.B 5.B 6.B 一、选择题 1.A 由于指数函数增长最快,对数函数增长最慢,因此当 x 很

19、大时,指数函数值最大,对数函数值最小,即在区间 0,+上一定存在 x0,当 xx0时,2xx2log2x,故选 A.2.B 当自变量 x 由 4 增大到 5 时,函数值 y 由 15 增大到 20;当自变量 x 由 5 增大到 6 时,函数值 y 由 20 减小到 15.因此函数不是单调函数,从而函数模型不可能是一次函数模型、指数函数模型和对数函数模型,故选 B.3.B 由题表知,当自变量增加 1 个单位时,函数值依次增加 0.55、0.40、0.16、0.14、0.20,因此 A、C 不符合题意;当 x 取 1、4 时,y=2 的值分别为 2、4,与题表中的数据相差较大,故选 B.4.B 设

20、这种放射性元素的半衰期为 x 年,则 500(1-10%)x=250,所以(1-10%)x=,所以 log0.9 =x,所以 x=lo 0 2,所以 x=0-,所以 x=-,所以 x=0 0 0-0 6.6.故选 B.解题模板 求解和对数有关的实际问题的思路:(1)根据题设条件列出符合的关于待求量的等式;(2)利用指对互化、对数运算法则以及对数运算性质、对数换底公式求出待求量的值.5.B 由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口,当时间取 t 时,漏斗中液面下落的高度不 会达到漏斗高度的 ,对比四个选项的图像可得结果.故选 B.6.B A 选项中,当 x=10 时,y=4,超过 2 万元,故 A 不符

21、合;B 选项中,y=lgx+1 在4,10上是增函数,x=10时,ymax=2,结合图像(如图)知:lgx+12,超过 2 万元,故 C 不符合;D 选项中,当 x=10 时,y=()0,设()0=a,则 lga=10(lg9-lg8)0.6,因此 a100.6 02,超过 2 万元,故 D 不符合.故选 B.二、填空题 7.答案 2 解析 由题意,得 0=,1=0,=,=0+(1-0)-n ,=+0-15)-n ,=-n =n -=()-=(),解得 t=2.8.答案 解析 由 y=-0 ,0 ,0 -,0,可得 y 随着 x 的增加而减少,故正确;当 1 ,故 9 天后,小菲的单词记忆保持

22、量低于40%,26 天后,小菲的单词记忆保持量高于 20%,故正确,错误.故答案为.三、解答题 9.信息提取 当 x=4,10,36 时,y 依次为 0,0;给出三个函数模型,选择一个恰当的函数模型描述该纪念章的市场价 y 与上市时间 x 的关系.数学建模 本题以经济生活中纪念章的市场价的估算为背景,建立函数模型,通过比较函数值增长的快慢选择最恰当的函数模型进行估算.求解时,首先确定三种模型的解析式,分析、验证函数模型,找出最接近的函数模型.解析 随着时间 x 的增加,y 的值先减后增,而所给的三个函数中,y=ax+b(a0)和 y=alogbx(b0,且 b1)显然都是单调函数,不满足题意,

23、选取 y=ax2+bx+c(a0).(2)由题知,把点(4,90),(10,51),(36,90)代入 y=ax2+bx+c 中,得 0,00 0 ,0,解得 a=,b=-10,c=126,y=x2-10 x+126=(x-20)2+26,当 x=20 时,ymin=26.故该纪念章市场价最低时的上市时间为 20 天,最低的价格为 26 元.10.解析(1)根据题中图像知:当 0t1 时,y=4t;当 t1 时,y=a0.8t,由 t=1 时,y=4 得 4=a0.8,所以 a=5,即 y=0.8t.因此 y=,0 ,0 ,(2)根据题意,由 4t1(0t1),解得 0.25t1;由 0.8t

24、1(t1),得 0.8t0.2,所以 1t 0 0 =-=-7.21,所以 0.25t7.21,又 7.21-0.25=6.967.0,所以服药 0.25 小时(即 15 分钟)后开始有治疗效果,治疗效果能持续 7.0 小时.11.解析(1)当 0 x7 时,y 是 x 的二次函数,可设 y=ax2+bx+c(a0),由 x=0,y=-4 可得 c=-4,由 x=2,y=8,可得 4a+2b=12,由 x=6,y=8,可得 36a+6b=12,解得 a=-1,b=8,即有 y=-x2+8x-4;当 x7 时,y=()-,由 x=10,y=,可得 m=8,即有 y=()-.综上可得,y=-,0

25、,()-,(2)当 0 x7 时,y=-x2+8x-4=-(x-4)2+12,所以当 x=4 时,y 取得最大值 12;当 x7 时,y=()-递减,可得 y3,所以当 x=7 时,y 取得最大值 3.综上可得,当 x=4 时产品的性能达到最佳.12.解析(1)根据题意计算得:当 t(0,4且 t N+时,A=110+10t;当 t(4,8且 t N+时,A=160;当 t(8,12且 t N+时,A=240-10t.故 A=0 0,0,且 ,0,且 ,0-0,且 (2)因为每件销售利润=售价-进价,所以 R=A-B,当 t(0,4且 t N+时,R=4t+30,t=4 时,Rmax=46;当 t(4,8且 t N+时,R=56;当 t(8,12且 t N+时,R=136-10t,t=9 时,Rmax=46.故该服装在第 5,6,7,8 周每件销售利润 R 最大,最大值是 56 元.