重庆八中2023-2024学年高二下学期入学适应性训练数学试题.pdf

1、学科网（北京）股份有限公司重庆八中 20232024 学年度（下）高二年级入学适应性训练数学试题命题：邓媛媛 审核：朱俊 打印：杨茂 校对：何怀波一选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设等差数列 na的前n 项和为nS，且1326S=，则3810aaa+的值为（）A.6 B.7 C.8 D.9 2.北京 2022 年冬奥会于 2022 年 2 月 4 日开幕，2 月 20 日闭幕，小林观看了本届冬奥会后，打算从冰壶短道速滑花样滑冰和冬季两项这四个项目中任选两项进行系统的学习，则小林没有选择冰壶的概率为（）A.14 B.

2、13 C.12 D.23 3.已知抛物线2:2(0)C xpy p=的焦点为 F，准线为l，点()()00,10P xx 在抛物线C 上，过 P 作l 的垂线，垂足为Q，若 POPQ=（O 为坐标原点），则0 x=（）A.5 B.2 C.2 3 D.2 2 4.两个等差数列 na和 nb的前n 项和分别为nnS T，且523nnSnTn+=+，则220715aabb+等于（）A.10724 B.724 C.14912 D.1493 5.甲乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 34，乙每轮猜对的概率为 23.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各

3、轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中猜对 3 个成语的概率为（）A.512 B.13 C.49 D.23 6.从甲袋中摸出一个红球的概率是 13，从乙袋中摸出一个红球的概率是 12，现从两袋各摸出一个球，记事件A：2 个球都是红球，事件 B：2 个球中恰有 1 个红球，事件 C：2 个球至少有 1 个红球，事件 D：2 个球不都是红球，则下列说法正确的是（）学科网（北京）股份有限公司A.事件 A 与事件C 互斥 B.()23P BC=C.事件 A 与事件 D 对立 D.()23P CD=7.中国国家大剧院的外观被设计成了半椭球面的形状.如图，若以椭球的中心为原点建立空间直角坐标系，半椭球面

4、的方程为2222221xyzabc+=（0,0za b c，且,a b c 不全相等）.若该建筑的室内地面是面积为2(0)mm 的圆，给出下列结论：ab=；cm=；2acm=；若acm，则1c ，其中正确命题的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4 8.设nS 是数列 na的前n 项和，1332nnnSa+=，若不等式22nnnak+对任意*nN恒成立，则 k 的最小值为（）A.13 B.16 C.19 D.136二多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.9.为了了解小学生

5、的体能情况，抽取了某小学四年级 100 名学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，绘制如下频率分布直方图.根据此图，下列结论中正确的是（）A.0.015x=B.估计该小学四年级学生的一分钟跳绳的平均次数超过 125 C.估计该小学四年级学生的一分钟跳绳次数的中位数约为 119 D.四年级学生一分钟跳绳超过 125 次以上优秀，则估计该小学四年级优秀率为35%10.已知数列 na满足111,4,nnnaaan S+=+=是 na的前n 项和，则下列说法正确的是（）A.20244048a=B.10010000S=学科网（北京）股份有限公司C.2143kak=D.1153niiS=的焦点 F

6、到准线l 的距离为 2，则下列说法正确的是（）A.过点()1,0A 恰有 2 条直线与抛物线C 有且只有一个公共点 B.若()3,2,TP 为C 上的动点，则 PTPF+的最小值为 4 C.直线10 xy+=与抛物线C 相交所得弦长为 8 D.抛物线C 与圆225xy+=交于,M N 两点，则2MN=三填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.12.已知圆锥的表面积为27，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为_.13.已知圆22:650C xyx+=与中心在原点焦点在 x 轴上的双曲线 D 的一条渐近线相切，则双曲线 D的离心率为_.14.2022 年北京冬奥会开幕

7、式中，当雪花这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中央，十分壮观.理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称“科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在 1904 年研究的一种分形曲线.如图是“雪花曲线”的一种形成过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程.若第 1 个图中的三角形的周长为 1，则第n 个图形的周长为_.若第 1 个图中的三角形的面积为 1，则第n 个图形的面积为_.四解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.15.（13 分）已知正项数列 n

8、a的前n 项和为nS，且满足221nnnaa S=.（1）证明：数列2nS是等差数列；（2）设数列1nS的前n 项和为nT，证明：10018T 16.（15 分）如图 1，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，M 是 BC 的中点，N 是CD 的中点，将 ABM，ADN分别沿学科网（北京）股份有限公司,AM AN 折叠，使,B D 点重合于点 P，如图 2 所示.（1）证明：平面 APM 平面 APN；（2）在四棱锥 PAMCN中，3ATTP=，求平面 MNA 与平面 MNT 夹角的余弦值.17.（15 分）已知椭圆22122:1(0)xyCabab+=的离心率为 12，抛物线22:4Cyx=

9、在第一象限与椭圆1C 交于点 A，点F 为抛物线2C 的焦点，且满足53AF=.（1）求椭圆1C 的方程；（2）设直线1xmy=+与椭圆1C 交于,P Q 两点，过,P Q 分别作直线:(2)l xt t=的垂线，垂足为,M N l与 x 轴的交点为T.若 PMTPQTQNT的面积成等差数列，求实数m 的取值范围.18.（17 分）已知抛物线2:4C yx=，过点()3,4A作不与 x 轴垂直的直线l l 分别与抛物线C 交于,M N 和,P Q 两点.（1）若,M N 两点的纵坐标之和为-6，求直线l 的斜率；（2）证明：MNPQMQNPMNPQMQNPkkkkkkkk+=；（3）若点 E

10、为线段 MN 的中点，点G 为线段 PQ 的中点，求1MNPQMNPQEGkkkkk+的值.注：k 表示直线的斜率.19.（17 分）已知数列 na的前n 项和为nS，且()*22nnSanN=（1）求数列 na的通项公式；（2）若数列 nb满足1312231(1)2 1212121nnnnbbbba+=+，求数列 nb的通项公式；（3）在（2）的条件下，设2nnncb=+，问是否存在实数 使得数列()*ncnN是单调递增数列？若存学科网（北京）股份有限公司在，求出 的取值范围；若不存在，请说明理由.重庆八中 20232024 学年度（下）高二年级入学适应性训练数学试题参考答案一选择题：本题共

11、 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.题号12345678答案ACDAACBD1.()1131371313262aaSa+=，可得72a=，则()()381037113711736aaaaadadaaaa+=+=+=.故选：A.2.记冰壶短道速滑花样滑冰冬季两项分别为 A，B，C，D，则从这四个项目中任选两项的情况有 AB，AC，AD，BC，BD，CD，共 6 种情况，其中没有选择冰壶的有 BC，BD，CD，共 3 种情况，所以所求概率为 3162=.故选：C.3.因为 POPQPF=，所以 POF是以 P 为顶点的等腰三角形，则1 22

12、OF=，即1 22p=，即2204,8,8 1pxy x=，又000,2 2xx=.故选：D.4.两个等差数列 na和 nb的前n 项和分别为nnS T，且523nnSnTn+=+，所以1212201212112171512121215 212107221 324212aaaaaaSbbbbbbT+=+.故选：A.5.设12,A A 分别表示甲两轮猜对 1 个，2 个成语的事件，12,B B 分别表示乙两轮猜对 1 个，2 个成语的事件.根据独立事件的性质，可得()()()()22121231339214242,2,44841633939P AP AP BP B=，设 A=“两轮活动“星队”猜

13、对 3 个成语”，则1221AA BA B=，且12A B 与21A B 互斥，1A 与22,B A 与1B 分别相互独立，所以()()()()()()()12211221349458916912P AP A BP A BP A P BP AP B=+=+=+=，因此，“星队”在两轮活动中猜对 3 个成语的概率是 512.故选A学科网（北京）股份有限公司6.记从甲袋中摸出一个红球的事件为 M，从乙袋中摸出一个红球的事件为 N，则()()11,32P MP N=，,M N 相互独立，于是：,()(),()()(),()()()AMN BMNMN CMNMNMNDMNMNMN=+=+=+，由此可得

14、：,A C 可能同时发生，A 错误；,A D 互为对立事件，C 正确；因为 BC，所以 11211()()()()32322P BCP BP MNMN=+=+=，B 错误；因为CDB=，所以()()12P CDP B=，D 错误，故选：C 7.在2222221xyzabc+=中，令0z=可得该建筑室内地面对应的曲线方程为22221xyab+=，由室内地面是面积为2(0)mm 的圆，故ab=，对；且22am=，则 abm=，又,a b c 不全相等，故cm，错；若2acm=，则2mcm=，可得cm=，与,a b c 不全相等矛盾，错；若acm，则0mcm，故1c，对.故选：B.8.当1n=时，2

15、111332aSa=，解得：118a=，当2n 时，111333322nnnnnnnaSSaa+=+，整理得134 3nnnaa=，方程两边同除以3n，得11433nnnnaa=，又163a=，故 3nna是等差数列，首项为6，公差为 4，所以()641423nnann=+=+，故()423nnan=+，经验证，当1n=时满足要求，所以22nnnak+为()22423nnnnk+，故23nnk，对任意nN+恒成立，11111 31 23333nnnnnnnnn+=，当1n 时，1111 20333nnnnnn+=，故11,333nnnnnn+，所以中位数落在区间)115,125 内，设中位数为

16、a，则()1150.0250.50.4a=，可得119a=，所以 C 正确；由图可知，超过 125 次以上的频率为()0.150.1 0.050.05100.35+=，所以优秀率为35%，即 D 正确.故选：ACD 10.因为111,4nnaaan+=+=，所以，()()()1001234991004 14 34 99Saaaaaa=+=+()()41 995041 3599100002+=+=，B 正确；由题意，14nnaan+=，()2141nnaan+=+，由-得，24nnaa+=，由1121,4aaa=+=，所以23a=，当n 为奇数时，设()*21nkk=N，则()()1411444

17、32 21121naakkkkn=+=+=，当n 为偶数时，设()*2nk k=N，则()2413444121naakkkn=+=+=，故对任意的*,21,Annan=N错 C 对；可得：2nSn=，则有()()221144112421212121nSnnnnnn=+，于是当2n 时 22211111111111115121212355721213213niiSnnnn=+=+，当1n=时 11513niiS=的焦点 F 到准线l 的距离为 2，所以2p=，从而 抛物线C 的方程是24yx=.过点()1,0A 可以作 2 条直线与抛物线C 相切，而直线0y=与抛物线C 相交，只有 1 个交点，

18、从而过点()1,0A 恰有 3 条直线与抛物线C 有且只 有一个公共点，故A 不正确；学科网（北京）股份有限公司抛物线C 的准线方程是1x=，设T 到准线的距离为d，则4d=；过P 作准线的垂线，垂足为Q，则由抛物线的定义知 PQPF=，所以 PTPFPTPQd+=+，所以 PTPF+的最小值为 4，故 B 正确；抛物线的焦点为()1,0F，直线10 xy+=过焦点，不妨设直线10 xy+=与抛物线的两个交点分 别是()()1122,A x yB xy，则12ABxxp=+，又2104xyyx+=得2610 xx+=，则 126xx+=，所以128ABxxp=+=，故 C 正确；抛物线C 与圆

19、225xy+=交于,M N 两点，则,M N 关于 x 轴对称.设2,(0)4tMtt，则22254tOMt=+=，解得2t=，所以4MN=，故 D 不正确；故选 BC 三填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.学科网（北京）股份有限公司题号 12 13 14 答案 3 355143n2 分 1834559n3 分 12.设底面半径为r，侧面展开是半圆，圆心角为 ，所以母线长22rlr=，则圆锥的表面积：22273,3rlrrr=+=.13.因为22:650C xyx+=可化为22(3)4xy+=，则圆C 的圆心为()3,0，半径为 2，因为双曲线的 焦点在 x 轴上，故设双曲

20、线方程为22221xyab=，则其渐近线方程为0bxay=，由题意得2232bba=+，即2254ba=，所以2245ba=，所以2243 51155cbeaa=+=+=，14.记第n 个图形为nP，三角形边长为na，边数nb，周长为nL，面积为1,nSP 有1b 条边，边长12;a P 有214bb=条边，边长2131;3aa P=有2314bb=条边，边长23113aa=；分析可知113nnaa=，即113nnaa=；14nnbb=，即11 4nnbb=，当第 1 个图中的三角形的周长为 1 时，即111,3ab=，所以11143 433nnnnnnLa b=，由图形可知nP 是在1nP

21、每条边上生成一个小三角形，即21134nnnnSSba=+，即2221112122121333,444nnnnnnnnSSabSSabSSab=，利用累加法可得()22211122134nnnnnSSababab=+，数列 na是以 13为公比的等比数列，数列 nb是以 4 为公比的等比数列，故21nnab 是以 49为公比的等比数列，当第 1 个图中的三角形的面积为 1 时，11S=，即21314 a=，此时221214 34 3,327aaP=有13b=条边，则学科网（北京）股份有限公司11221222112214414 31994519nnnnnnabababab+=，所以1134159

22、nnSS=，所以1834559nnS=，故答案为：114834,3559nn四解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.15.（1）当*2,Nnn时，由()()222211121211nnnnnnnnnnaa SSSSSSSS=，且221111211SS SS=，所以数列 2nS是已 1 为首项，1 为公差的等差数列；（2）所以()211 1nSnn=+=，又因为数列 na是正项数列，所以nSn=，于是()11222121nnnSnnnn=+，则有()()()()()10022123221011002101 12100118T+=.16.解法一：（1）在正方

23、形 ABCD 中，,ABBM ADDN.所以在四棱锥 PAMCN中，APPM，APPN.因为平面 APM 平面,APNAP PM=平面,APM PN 平面 APN，所以MPN为二面角 MAPN的平面角.因为在正方形 ABCD 中，222|CMCNMN+=，所以在四棱锥 PAMCN中，222|PMPNMN+=.所以 PMPN，即二面角 MAPN为直二面角.所以平面PAM 平面 PAN.（2）由（1）得，,PA PM PN 两两垂直.以P 为原点，分别以 PN，,PM PA 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.所以()()()()0,2,0,2,0,0,0,0,1,0

24、,0,4MNTA.可得()()()2,2,0,0,2,4,0,2,1MNMAMT=.学科网（北京）股份有限公司设平面 MNA 的法向量()111,mx y z=，则0,0.m MNm MA=所以1111220,240.xyyz=+=取11z=，则()2,2,1m=.设平面 MNT 的法向量()222,nxyz=，则0,0.n MNn MT=所以2222220,20.xyyz=+=取21y=，则()1,1,2n=.则66cos,336m nm nm n=.所以平面 MNA与平面 MNT 夹角的余弦值为63.解法二：（1）在正方形 ABCD 中，M,N 分别是,BC CD 的中点，所以在四棱锥 P

25、AMCN中，PMCM=，PNCN=.所以 PMNCMN，所以90MPNMCN=，即 PMPN.又在正方形 ABCD 中，ABBM，所以在四棱锥 PAMCN中，APPM.由于,APPNP AP PN=平面APN，所以 PM 平面 APN，因为 PM 平面 APM，所以平面 APM 平面 APN.（2）依题意有，,APPM APPN PMPNP=，所以 AP 平面 PMN.所以 APMN.设 ACMNE=，可得 APPE.由,ACMN APACA=，得 MN 平面 PAC.因为 MN 平面AMN，所以平面 AMN 平面 PAC.过 P 作 PO 垂直 AC，垂足O.以O 为原点，过O 作 MN 的

26、平行线为x 轴，,OC OP 所在直线为 y 轴 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系在 Rt APE中，28 24,333OEOAOP=.可得228 242,0,2,0,0,0,0,0,3333MNAP.所以()8 2 438 2 40,0,0,2 2,133433APAT=，可得()()2 20,1,2,2,1,2 2,0,03TMTNM=.设平面 MNT 的法向量(),mx y z=，则0,0,m MTm NM=所以220,2 20.xyzx+=取1y=，则学科网（北京）股份有限公司()0,1,2m=.取平面 AMN 的一个法向量()0,0,1n=，则26cos,33m nm nm n=

27、.所以平面 MNA 与平面 MNT 夹角的余弦值为63.17.（1）由题意，513MAFx=+=，则点2 2 6,33A在椭圆上，得2248193ab+=，222214abea=，即2234ab=，联立，解得224,3,ab=椭圆1C 的方程为22143xy+=.（2）依题意，直线 PQ 与 x 轴不重合，故可设直线 PQ 的方程为1xmy=+.联立221431xyxmy+=+，消去 x 得()2234690mymy+=.设()()1122,P x yQ xy，则有0，且12122269,3434myyy ymm+=+.设,PMTPQTQNT的面积分别为123123,S SSS SS成等差数列

28、，2132SSS=+，即21233SSSS=+，则()()()1212121131;22tyytxtxyy=+即()()12312ttxx=+，得()123txx=+，又11221,2xmyxmy=+=+，于是，()()1212321tmymym yy=+=+，2261234mtm=+，解得243m，即2 33m 或2 33m，即12(1)322nnn+.当n 为大于或等于 4 的偶数时，有12322nn+恒成立.又1212213312222nnnn=+随n 增大而增大，则当且仅当4n=时，1min212833522nn=+，故 的取值范围为12835 ；当n 为大于或等于 3 的奇数时，有12322nn+恒成立，且仅当3n=时，1min23231922nn=+故 的取值范围为3219，得8.综上可得，所求 的取值范围是128323519.