2023版高中数学新同步精讲精炼（选择性必修第二册） 4.3 等比数列（精讲）（教师版含解析）.docx

1、4.3 等比数列(精讲)思维导图常见考法考点一 等比数列的判断或证明【例1-1】(2021全国高二专题练习)下面四个数列中，一定是等比数列的是( )Aq，2q，4q，6qBq，q2，q3，q4Cq，2q，4q，8qD，【答案】D【解析】对于A、B、C： 当q0时不是等比数列，故A、B、C错误；对于D：由题意可得，且符合等比数列的定义，公比是，故D正确，故选：D【例1-2】(2021全国高二课时练习)已知数列满足，且 ，设，求证是等比数列【答案】证明见解析【解析】证明：因为，所以，又因为，所以是以首项为3，公比为3的等比数列.【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)若数列是等比数列，则下列数列

2、一定是等比数列的是()ABCD【答案】C【解析】因为数列是等比数列，所以，对于A，不一定是常数，故A不一定是等比数列；对于B，可能有项为零，故B不一定是等比数列；对于C，利用等比数列的定义，可知的公比是数列公比的倒数，故C项一定是等比数列；对于D，当时，数列存在负项，此时无意义，故D项不符合题意；故选C.2(2021全国高二课时练习)设数列为公比不为的等比数列，则下面四个数列：；(为非零常数)；其中是等比数列的有( )A1个B2个C3个D4个【答案】D【解析】设数列的公比为，则，对于，因为是常数，所以是等比数列；对于，因为是常数，所以是等比数列；对于，因为是常数，所以是等比数列；对于，因为是常

3、数，所以是等比数列；所以都是等比数列，所以等比数列有个，故选：D.3(2021玉溪第二中学高二月考(理)已知数列，.(1)求证：是等比数列；(2)设()，求数列的前项和.【答案】(1)见解析(2)【解析】(1)依题意，所以，是首项为2、公比为2的等比数列.(2)由(1)得：，数列的前项和为.4(2021全国高二课时练习)已知数列an满足1，an12an1，bn an1(nN*)(1)求证： bn 是等比数列；(2)求 an 的通项公式【答案】(1)证明见解析；(2)an2n1.【解析】(1)证明：an12an1，an112(an1)，即bn12bn，b1120.bn0，2，bn是等比数列(2)

4、由(1)知bn是首项b12，公比为2的等比数列，bn22n12n，即an12n，an2n1.考点二 等比数列基本量计算【例2-1】(1)(2021全国高二课时练习)已知数列an成等比数列若a24，a5，则数列an的通项公式是_(2)(2021全国高二课时练习)在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为_【答案】(1)an4()n2，nN* (2)8【解析】(1)由a5a2q3，得4q3，所以q.ana2qn24()n2，nN*.故答案为：an4()n2，nN*.(2)设这8个数组成的等比数列为an，则a11，a82.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7(a2a7

5、)(a3a6)(a4a5)(a1a8)3238.故答案为：8.【例2-2】(2021全国)在等比数列中，(1)若，求和；(2)若，求和；(3)若，求和公比.【答案】(1)，；(2)，；(3)或.【解析】(1)等比数列中，解得，(2)等比数列中，解得，(3)当时，所以，所以；当时，即， (舍去)，所以；综上所述：或【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)在等比数列an中，a1=8，a4=64，则a3等于( )A16B16或-16C32D32或-32【答案】C【解析】由a4=a1q3，得q3=8，即q=2，所以a3=32.故选：C2(2021全国高二专题练习)在等比数列an中.(1)S230，S

6、3155，求Sn；(2)a1a310，a4a6，求S5；(3)a1an66，a2an1128，Sn126，求q.【答案】(1)；(2)；(3)2或【解析】(1)由题意知解得或从而Sn5n1或Sn.(2)由题意知解得从而S5.(3)因为a2an1a1an128，所以a1，an是方程x266x1280的两根.从而或又Sn126，所以q为2或.考点三 等比数列中项性质【例3】(1)(2021鄂尔多斯市第一中学高二月考(文)已知等比数列的公比为正数，若，则( )ABCD(2)(2021全国高二课时练习)在等比数列中，且，则等于( )ABCD【答案】(1)C(2)C【解析】(1)设等比数列的公比为，因为

7、，所以，而，所以，故选：C(2)因为，所以.故选：C.【一隅三反】1(2021全国高二专题练习)在等比数列an中，a32，a78，则a5等于( )A5B5C4D4【答案】C【解析】a3a72816，a54，又a5a3q20，a54.故选：C2(2021全国高二课时练习)如果，成等比数列，那么( )A，B，C，D，【答案】B【解析】因为，成等比数列，所以，且与首项同号，所以故选：B3(2021全国高二课时练习)已知各项均不为0的等差数列an，满足2a32a110，数列bn是等比数列，且b7a7，则b6b8等于( )A2B4C8D16【答案】D【解析】因为an为等差数列，所以a3a112a7，所以

8、已知等式可化为4a70，解得a74或a70(舍去).又bn为等比数列，所以b6b816.故选D.4(2021全国高二课时练习)设各项为正数的等比数列中，公比，且，则( )ABCD【答案】C【解析】因为是等比数列，公比，所以，化简得，故.故选：C.5(2021北京市延庆区教育科学研究中心)“”是“，成等比数列”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，不能推出，等比数列，例如， 时，故充分性不成立若，等比数列，则，所以，故必要性成立综上，“”是“，成等比数列”的必要不充分条件，故选：考点四 等比数列的前n项和性质【例4】(1)(2021全国)数

9、列为各项都是正数的等比数列，为前项和，且，那么( )A150B-200C150或-200D400或-50(2)(2021全国高二课时练习)已知项数为奇数的等比数列的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为( )A5B7C9D11(3)(2021全国)在等比数列中，已知前n项和=，则的值为A1B1C5D5【答案】(1)A(2)A(3)C【解析】(1)解：数列为各项都是正数的等比数列，设公比为，则，由已知数据可知，两式相除可得，解得或(舍去)，把代入可得，.故选：A.(2)根据题意，数列为等比数列，设，又由数列的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则，故；故选：(3)由

10、题意得，等比数列中，已知前项和=，则，又因为，即，解得，故选C【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)设Sn是等比数列an的前n项和，则等于( )A B C D 【答案】B【解析】设公比为q，q1.故选：B2(2021全国高二课时练习)已知一个等比数列首项为，项数是偶数，其奇数项之和为，偶数项之和为，则这个数列的项数为( )ABCD【答案】C【解析】设这个等比数列共有项，公比为，则奇数项之和为，偶数项之和为，等比数列的所有项之和为，则，解得，因此，这个等比数列的项数为.故选：C.3(2021全国高二课时练习)已知等比数列的前项和为，且满足，则的值是ABCD【答案】C【解析】根据题意，当时，,

11、故当时，,数列是等比数列,则，故,解得,故选.4(2021全国高二课时练习)等比数列的前项和，则的值为( )A3B1CD【答案】D【解析】由题意，成等比数列，解得，此时，也满足故选：D考点五 等比数列的单调性【例5】(2021全国高二课时练习)设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，则下列结论正确的是( )ABC的最大值为D的最大值为【答案】B【解析】若，因为，所以，则与矛盾，若，因为，所以，则，与矛盾，所以，故B正确；因为，则，所以，故A错误；因为，所以单调递增，故C错误；因为时，时，所以的最大值为，故D错误；故选：B【一隅三反】1(2021全国高二单元测试)(多选题)设等比

12、数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为，并满足条件，下列结论正确的是( )AS2019的最大正整数n的值为_【答案】4【解析】设等比数列首项为，公比为q，则，得，即或(舍)，得，所以，则anan1an2，即，所以，最大正整数n的值为4.考点六 等比数列的综合运用【例6】(2021绥德中学高二月考(理)我国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题(意为)：“有一个人要走里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了天后到达目的地.”那么，此人第天和第天共走路程是( )A里B里C里D里【答案】A【解析】设这个人第天所走的路程为里，可知是公比的等比数列，由，得，解得，.所以此人

13、第天和第天共走了里.故选：A.【一隅三反】1(2021全国高二课时练习)张邱建算经记载了这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里.”其意是：有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的路程是前一天的一半，连续走7天，共走了700里路.若该马按此规律继续行走7天，则它14天内所走的总路程为( )里.A950B1055C1164D【答案】D【解析】由题意，设该匹马首日路程为，公比，解得，所以.故选：D2(2021全国高二专题练习)(多选)在增减算法统宗中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关则下列说法正确的是()A此人第二天走了九十六里路B此人第一

14、天走的路程比后五天走的路程多六里C此人第三天走的路程占全程的D此人后三天共走了42里路【答案】ABD【解析】设此人第n天走an里路，则an是首项为a1，公比为的等比数列，由等比数列前n项和公式得：，解得a1192，A：，故此人第二天走了九十六里路，正确；B：后五天所走的路程为里，则第一天比后五天多走里，正确；C：，而，错误；D：，正确故选：ABD3(2021全国高二课时练习)公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面1000米处开始与阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，此时乌龟便领先他100米，当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米，当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟先他1米.所以，阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为0.001米时，乌龟爬行的总距离为( )A米B米C米D米【答案】A【解析】由题意，乌龟每次爬行的距离构成等比数列，其中，且，所以乌龟爬行的总距离为.故选：A.