2024届高三三角函数与解三角形专题1三角函数恒等变换求值·中档题（解析版）.pdf

1、 1/20 学科网（北京）股份有限公司专题 1三角函数恒等变换求值今年新高考的 1 卷和 2 卷都考了三角函数的恒等变换求值问题，1 卷是第 8 题，2 卷是第 7 题，可以看出来三角恒等变换在选填中难度有加大，有题序后移的趋势，所以 2024 届的模拟考会出现更多的三角恒等变换中档题目录 真题梳理.4 2023 新高考二卷 T7：配完全平方公式.4 2023新高考 I 卷 T8和差公式+二倍角公式.4 2022新高考 II 卷 T6和差公式.4 2018 全国 II 卷（理）T15一题多解.5 题型一 知 1 求 2.7 2/20 学科网（北京）股份有限公司长沙市明德中学 2023-2024

2、 学年高三上学期入学考试 T8.7 2024 届重庆市西南大学附中、重庆育才中学九月联考 T15.7 题型二 结合平方公式sincos，2sin 2.8 2024 届湖南长郡中学阶段考 T7.8 湖北省部分学校 2024 届高三上学期 10 月联考T7.8 2023浙江杭州二模 T15.9 2024 届浙江省 Z20 名校联盟第一次联考题 T7.9 题型三 和差公式.10 2024 届长沙一中校月考（三）T7.10 云南师范大学附属中学 2024 届高三高考适应性月考卷（一）数学试题 T7.10 2024 届重庆市西南大学附中、重庆育才中学十月联考 T7.11 2024 届重庆市第八中学校适应

3、性月考（一）T7.11 题型四 2 倍角公式.13 2023 届广州市一模 T7.13 2024 届广东实验中学校考 T15.14 2024 届广州市越秀区高三月考（十月）T7.14 2024 届广州市天河区高三综合测试（一）T7.15 武汉市硚口区 2024 届高三上学期起点质量检测 T15.15 题型五 统一角度化简.16 2024 届重庆市第一中学校高三上学期 9 月月考T15.16 2023 届江苏省七市三模T7.16 2022 届 广东 省汕头二模 T7.17 3/20 学科网（北京）股份有限公司题型六 和差公式+倍角公式.17 2023 湖南省五市十校高二下期末T15.17 202

4、4 届重庆市巴蜀中学适应性月考（二）T11.18 2024江苏省海安高级中学高三上学期 10 月月考T6.19 知识点一两角和与差的正余弦与正切 sin()sincoscossin=；cos()coscossinsin=；tantantan()1tantan=；知识点二二倍角公式 sin 22sincos=；2222cos2cossin2cos112sin=；22tantan 21tan=；补充：2 倍角公式变形（扩角降幂）221cos21cos2sincos22+=；知识点三辅助角公式)sin(cossin22+=+baba（其中abbaabab=+=+=tancossin2222，）【常见

5、式子变形】2221cos22cos1cos22sin1sin 2(sincos)+=；sincoscoscoscos22=，具体是选2 还是 2要看题目给出的范围 sincostan1tansincostan14=+4/20 学科网（北京）股份有限公司真题梳理2023 新高考二卷 T7：配完全平方公式1已知 为锐角，15cos4+=，则sin 2=（）A 358 B 158+C 354 D 154+【答案】D【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出【详解】因为215cos1 2sin 24+=，而 为锐角，解得：sin 2=()25135518164=2023新高考 I 卷 T8和差公式

6、+二倍角公式2已知()11sin,cossin36=，则()cos 22+=（）A 79 B 19 C19 D79【答案】B【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出sin()+，再利用二倍角的余弦公式计算作答.【详解】因为1sin()sincoscossin3=，而1cossin6=，因此1sincos2=，则2sin()sincoscossin3+=+=，所以2221cos(22)cos2()12sin()12()39+=+=+=.2022新高考 II 卷 T6和差公式3若sin()cos()2 2 cossin4+=+，则（）A()tan1=B()tan1+=C()tan1=D(

7、)tan1+=【答案】C【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.5/20 学科网（北京）股份有限公司【详解】方法一：直接法 由已知得：()sincoscossincoscossinsin2 cossinsin+=,即：sincoscossincoscossinsin0+=，即：()()sincos0+=所以()tan1=故选：C 方法二：特殊值排除法 解法一:设=0 则 sin+cos=0，取=2，排除 A,B；再取=0 则 sin+cos=2sin，取=4，排除 D；选 C.方法三：三角恒等变换sin()cos()2 sin=2 sin442 sincos2

8、cossin2 2 cossin444+=+=+=+（）（）（）（）（）所以2 sincos2 cossin44+=+（）（）sincoscossin=044+（）（）即sin=04+（）22sin=sincoscossin=sincos=044422+（）（）（）（）（）sin=cos（）（）即tan(）=-1,2018 全国 II 卷（理）T15一题多解4已知sincos1+=，cossin0+=，则()sin+【答案】12【分析】方法一：将两式平方相加即可解出【详解】方法一：【最优解】两式两边平方相加得22sin()1+=，1in()s2+=方法二：利用方程思想直接解出sin1 cos,

9、cossin=，两式两边平方相加得1cos2=，则1sin2=又3cos23sin2=或3cos23sin2=，所以1in()s2+=方法三：诱导公式+二倍角公式 6/20 学科网（北京）股份有限公司由cossin0+=，可得3sincossin2=+，则322k=+或32()2kk=+Z 若32()2kk=+Z，代入得sincos2sin1+=，即2131sin,sin()sin 22cos22sin1222k=+=+=若2()2kk=Z，代入得sincos0+=，与题设矛盾 综上所述，1in()s2+=方法四：平方关系诱导公式 由2222cossin(1sin)(cos)22sin1+=+

10、=，得1sin2=又sin1costantantancossin22=，()2kk=Z，即22k=，则2()kk+=Z 从而1sin()sin(2)sin2k+=方法五：和差化积公式的应用 由已知得1(sincos)(cossin)(sin2sin2)cos()2+=+sin()cos()cos()0=+=，则cos()0=或sin()1+=若cos()0=，则()2kk=+Z，即()2kk=+Z 当k为偶数时，sincos=，由sincos1+=，得1sincos2=，又23cossin0,cossinsin4+=，所以131sin()sincoscossin442+=+=当 k 为奇数时，

11、sincos=，得sincos0+=，这与已知矛盾 若 sin()1+=，则2()2kk+=Z 则 sinsin 2cos2k=，得 sincos0+=，这与已知矛盾 综上所述，1in()s2+=【整体点评】方法一：结合两角和的正弦公式，将两式两边平方相加解出，是该题的最优解；方法二：通过平方关系利用方程思想直接求出四个三角函数值，进而解出；方法三：利用诱导公式寻求角度之间的关系，从而解出；方法四：基本原理同方法三，只是寻找角度关系的方式不同；方法五：将两式相乘，利用和差化积公式找出角度关系，再一一验证即可解出，该法稍显麻烦 重点题型归类精讲 7/20 学科网（北京）股份有限公司题型一 知 1

12、 求 2长沙市明德中学 2023-2024 学年高三上学期入学考试 T8 1已知3sin,52=，若()sin4cos+=，则()tan+=（）A 167 B78 C167 D 23【答案】C【分析】由已知条件算出 tan,tan 即可求解.【详解】因为3sin,52=，所以24sin3cos1 sin,tan5cos4=，因为()sinsincoscossin34sincostantan4coscos55+=+=，所以17tan4=，所以()317tantan1644tan3171tantan7144+=.2024 届重庆市西南大学附中、重庆育才中学九月联考 T15 2已知3cos,0,52

13、=，角 的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点7 22,1010P，且()0,，则=.【答案】4 【分析】根据已知得4sin5，27 2sin,cos1010=且02，故02，则02，即cossin0+所以1cossin2=，因为0,2，所以 2(0,)，sin20.由1cossin2=平方可得11 sin 24=，即3sin 24=，符合题意.综上，3sin 24=.湖北省部分学校 2024 届高三上学期 10 月联考T7 4已知 3,24，化简22sin 21cos2+的结果是（）A2 sin B2 sin C2 cos D2 cos【答案】A【分析】由倍角公式结合同角

14、三角函数关系计算化简即可.【详解】因为()()222sin 22 1 2sincos2 sincos2 sincos2 sin4=，且 3,24，则24,4，可得sin04，所以()22sin 22sin2 sincos4=；又因为21cos22cos2 cos+=，9/20 学科网（北京）股份有限公司且 3,24，可得cos0，所以 1cos22 cos+=；综上所述：()22sin 21cos22 sincos2 cos2 sin+=+=.5已知22，sin2cos1+=，cos2sin2=，则sin()3+=A33 B63 C36 D66【答案】A【分析】先由 sin2cos1+=，co

15、s2sin2=，两式同时平方再求和，求出、的关系式，代入sin3+，即可求出结果.【详解】由 sin2cos1+=，cos2sin2=，将两个等式两边平方相加，得()543sin+=，()12sin=，22，6=，即6=，代入sin2cos1+=，得 3sin13+=，即3sin33+=.故选 A 2023浙江杭州二模 T15 6已知sincos2sin+=，2sincossin=，则224cos 2cos 2=【答案】0【分析】将sincos2sin+=平方，结合2sincossin=可得22124sin0sin+=，利用二倍角余弦公式将224cos 2cos 2化简求值，可得答案.【详解】

16、将sincos2sin+=平方得212sincos4sin+=，结合2sincossin=可得221is n2 i4s n+=，即22124sin0sin+=，则224cos 2cos 2(2cos2cos2)(2cos2cos2)=+()()2214sin2sin2cos2cos20=+=2024 届浙江省 Z20 名校联盟第一次联考题 T7 7已知1sincos5=，0，则sin 24=（）A17 250 B17 250 C31 250 D 31 250【答案】D【分析】利用和差公式和同角三角函数关系以及二倍角即可得出结论.10/20 学科网（北京）股份有限公司【详解】将1sincos5=

17、平方得112sincos25=，所以242sincos25=，则0,2 所以()22449sincos12sincos12525+=+=+=，从而7sincos5+=联立1sincos57sincos5=+=，得4sin53cos5=所以24sin 22sincos25=，2222347cos2cossin5525=故()2224731 2sin 2sin 2cos2422252550=题型三 和差公式 2024 届 长沙一中校月考（三）T7 8已知角(),0,，且()()sincos0,sin sin3cos cos0+=，则()tan+=（）A 2 B12 C 12 D2【答案】D【分析】

18、由两角和与差公式化简后求解【详 解】由()()sincos0+=，可 得 sin coscos sincos cossin sin0+=，即sin coscos sin1cos cossin sin+=+，故 tantan11tan tan+=+.又sin sin3cos cos0=，故sin sin3cos cos=，即 tan tan3=，代入 tantan11tan tan+=+可得 tantan4+=.故()tantantan21tan tan+=云南师范大学附属中学 2024 届高三高考适应性月考卷（一）数学试题 T7 9设0,2，0,2，且 tancos1 sin=+，则（）11/

19、20 学科网（北京）股份有限公司A()sin 31=B()sin 31+=C()sin 21=D()sin 21+=【答案】C【分析】对题中条件进行变化化简，可以得到22=，进一步即可判断正确答案.【详解】tancos1 sin,=+sincos1 sin,cos=+即sincoscossincos,=+sincossincoscos,=即sin()cossin(),2=又0,2，0,2，则,0,2222+，所以()+为钝角，所以()()211cos1 cos14+=+=，则()()()coscoscoscossinsin=+=+=1115 34 311471472+=，且()0,，则3=20

20、24 届重庆市第八中学校适应性月考（一）T7 11已知()()sin 21,0,2cos2sintan+=，则（）12/20 学科网（北京）股份有限公司A2+=B34+=C4=D4=【答案】A【分析】根据两角和与差的正弦公式，化简得到 sin1sintan=，得到sinsin()2=，再由,0,2，结合正弦函数的性质，即可求解【详解】由()()()sin 2sin()2cos2cossinsin+=+()sincos()cossin()2cossin+=+cossin()cossin()sincos()cos()sinsin+=+=sin()sinsinsin+=，所以 sin1sintan=

21、，可得 sincossinsin=，即sincos=，即sinsin()2=，因为,0,2，可得 0,22，所以2=，所以2+=12已知，都是锐角，tan()1+=，则()cossin()coscos+=.【答案】2【分析】法一：利用两角和与差的三角函数公式求解；法二：利用特殊值法求解.【详解】法 1：()tantantan11tan tan+=.tantantan tan1+=，()()()()cossin1tantantan tan1tan tan1tan tan2cos cos+=+=+=.法 2：由 tan()1+=，令38=，则321cos1342cos 822+=，则()221co

22、ssin()22coscos2122+=13/20 学科网（北京）股份有限公司题型四 2 倍角公式2023 届广州市一模 T7 13若,2，且()()1cos21sinsin2 cos+=，则下列结论正确的是（）A522+=B324=C74+=D2=【答案】A【分析】由,2 及二倍角的余弦公式可得()sin1sincoscos+=，根据两角和的余弦公式可得()sincos=+，由诱导公式及,的范围即可求解.【详解】,2，sin0.由()()1cos21sinsin 2 cos+=，可得()22sin1sin2sincoscos+=，即()sin1sincoscos+=.()sincoscoss

23、insincos=+，()coscos 2+=，,2，2+，且022，根据函数cosyx=易知：22+=+，即得：522+=.14（2023 秋浙江绍兴高三校考）22cossin44xx+=（）A1 B1 sin 2x C1 cos2x D-1【答案】B【分析】利用降幂升角公式和诱导公式化简即可得到结果.【详解】221 cos 21 cos 222cossin4422xxxx+=+1111sin 2sin 21 sin 22222xxx=+=岳阳市高二下期末15已知1 cossin21 cossinxxxx+=+，则 tan x 的值为()A 43 B43 C 34 D34【答案】A 14/2

24、0 学科网（北京）股份有限公司【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式先化已知角 x 为 2x，然后再由正切的二倍角公式求 tan x 【详解】222211 2sin2sincos2sin2sincos1 cossin22222221 cossin2cos2sincos12cos12sincos222222xxxxxxxxxxxxxxxx+=+2sin(sincos)222tan 22cos(cossin)222xxxxxxx+=+，222tan2(2)42tan1(2)31tan 2xxx=2024 届广东实验中学校考 T15 16若两个锐角，满足1cos21 cos22cossin2sin2+=

25、+，则cos23+=.【答案】32【分析】根据二倍角的正弦、余弦公式，化简可得角，的关系，代入cos23+即可求解.【详解】因为1cos21 cos22cossin2sin2+=+，所以()2211 2sin12cos12cos2sin cos2sin cos+=+所以22cossincossin cossin cos=+，因为，为锐角，所以有 cossin1 sincos=+，所以()cos cossin1 sin=+，即cos cossinsin sin=+，所以cos coscos cossin=，即()cos+sin=，因为，为锐角，所以有+2+=，即+22=，所以3cos2cossi

26、n32332+=+=2024 届广州市越秀区高三月考（十月）T7 17已知,2，且3cos24sin1=，则 tan2=（）A 13 B 4 27 15/20 学科网（北京）股份有限公司C13 D4 27【答案】D【分析】由倍角余弦公式并整理得23sin2sin10+=，结合角的范围得1sin3=，进而求 tan，应用倍角正切公式求值即可.【详解】由23cos24sin36sin4sin1=，即23sin2sin1(3sin1)(sin1)0+=+=，所以1sin3=或sin1=，又,2，则1sin3=，所以2 2cos3=，则1tan2 2=，由22tan4 2tan 21tan7=.202

27、4 届广州市天河区高三综合测试（一）T7 18若sincostan 23sincos=+，则()21 2cos2=（）A 12 B12 C32 D32【答案】D【分析】由商数关系及两角差的正切公式将已知化为tan 2tan34=，得出234k=+，再根据二倍角的余弦公式即可得解.【详解】由tantansincostan14tan 2tan3sincostan141tantan 4=+，所以234k=+，即2,Z12kk=+，()()21 2cos2cos2 2cos212k=+3cos2cos2 cos12662kk=+=+=武汉市硚口区 2024 届高三上学期起点质量检测 T15 19已知7

28、 3sin1 7cos=+.则sin 26+=.【答案】9798 16/20 学科网（北京）股份有限公司【分析】根据辅助角公式可得1sin614=，再根据二倍角与诱导公式求解即可.【详解】7 3sin1 7cos=+即3114sincos122=，故1sin614=.故297cos 212sin3698=.则97sin 2sin 2cos 2632398+=+=.题型五 统一角度化简2024 届重庆市第一中学校高三上学期 9 月月考T15 20若tan2tan 9=，则7cos()18sin()9+=+.【答案】2 23 【分析】利用和角的正余弦公式化简，再利用诱导公式及齐次式求法求解即可.【

29、详解】tan2tan 9=，则777cos()coscossinsincossinsincostantan181818999sin()sincoscossinsincoscossintantan999999+=+312212 2+=.2023 届江苏省七市三模 T7 21已知()()()cos 40cos 40cos 800+=，则 tan=（）A3 B33 C33 D3【答案】A【分 析】利 用 和 差 角 公 式 展 开，得 到 2cos40 coscos80 cossin80 sin0+=，即 可 得 到2cos40cos80tansin80+=，再利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】

30、因为()()()cos 40cos 40cos 800+=，17/20 学科网（北京）股份有限公司所以cos40 cossin 40 sincos40 cossin 40 sincos80 cossin80 sin0+=，所以2cos40 coscos80 cossin80 sin0+=，所以2cos40cos80sin80 tan0+=，所以2cos40cos80tansin80+=()2cos 12080cos80sin80+=()2 cos120 cos80sin120 sin80cos803sin803sin80sin80+=2022 届广东省汕头二模 T7 22若sin160tan

31、20cos703+=，则实数 的值为（）A3 B 32 C2 D4【答案】A【分析】根据诱导公式、同角三角函数基本关系、两角差的正弦公式和正弦的二倍角公式化简即可求解.【详解】因为sin160tan 20cos703+=，即()()sin 18020tan 20cos 90203+=，所以sin 20sin 20sin 203cos20+=，所以sin 20 cos20sin 20sin 20 cos203 cos20+=，所以()311 sin 20 cos203 cos20sin 202cos20sin 2022+=，所以()()1sin 402 sin 60 cos20cos60 sin

32、 202sin 60202sin 402+=，所以122+=，所以3=题型六 和差公式+倍角公式2023 湖南省五市十校高二下期末 T15 23已知,均为锐角，()tantan2sin+=+，且()1cos3+=，则()cos2=.【答案】19【分析】化切为弦，然后逆用两角和正弦公式，求得1cos cos2=，再利用两角和与差的余弦公式求得()2cos3=，根据二倍角公式即可得结果.18/20 学科网（北京）股份有限公司【详解】()()sinsin cossin cos2sintantancos coscos cos+=+=，因为()1cos3+=，则()sin0+，因此1cos cos2=，

33、而()1coscos cossin sin3+=，从而111sin sin236=，因此()112coscos cossin sin263=+=+=，则()()21cos22cos19=.故答案为：19.2024 届重庆市巴蜀中学适应性月考（二）T11 24（多选）已知302，3cos25=，2cos()10+=，则（）A tan2 B7 2sin()10+=C34=D2coscos5=【答案】BC【分析】根据3cos25=，判断 的范围，再根据cos2，求出 tan，再由2cos()10+=，求出sin()+，tan()，cos()，从而得出答案.【详解】因为0，所以022，又3cos205

34、=，所以 3222，344，由3cos25=，得 tan2=.对于 A 选项，若 tan2 ，则 324，又32，所以 3924+，而2cos()010+=矛盾，所以 tan2 .故 A 错误；对于 B 选项，根据 A 选项知，tan2=，则 42，又32，所以 524+，而2cos()010+=，所以 5342+，这样7 2sin()10+=，故 B 正确；对于 C 选项，根据 A 选项知，tan2=，再根据 B 选项中7 2sin()10+=，2cos()10+=，19/20 学科网（北京）股份有限公司知 tan()7+=，从而tan()tan1tantan()1tan()tan3+=+=

35、+，则tantantan()11tantan=+，又32，24 ，524，所以34=，故 C 正确；对于 D 选项，根据 C 选项知34=，所以2cos()coscossinsin2=+=，又2cos()coscossinsin10+=，解得3 2coscos10=，故 D 错误 2024江苏省海安高级中学高三上学期 10 月月考T6 25已知角 的大小如图所示，则1 sin 2cos2+（）A53 B 53 C 4 D4【答案】C【分析】根据三角函数的定义可得tan4,4+=进而又和差角公式得5tan3，又二倍角和齐次式即可求解.【详解】由图可知tan4,4+=所以tantan544tan3

36、1tantan44+=+，则()()()2sincos1 sin 2sincostan14cos2cossincossincossin1tan+=+20/20 学科网（北京）股份有限公司26已知()0,，,2 2 满足1sin33+=，6cos66=，则()sin2+=（）A 2 1029+B 2 1029 C 2 1029+D2 1029+【答案】B【分析】注意到2236+=+，后结合()0,，,2 2 ，利用二倍角，两角和的正弦公式可得答案.【详解】因()0,，则4333，+，又13sinsin3323+=，则3+,2，得2 233cos+=.因6cos66=，则22221663coscos=.又,2 2 ，则2,633，结 合61coscos6623=，则,062，得3066sin=，则5226663sincossin=.又注意到2236+=+，则()sin2sincos 2cossin 23636+=+122 252 10233339=+=.