2024届高三三角函数与解三角形专题5解三角形中的最值与范围问题（解析版）.pdf

1、 1/30 学科网（北京）股份有限公司专题 5解三角形中的最值与范围问题一、三角形中的最值范围问题处理方法 1、利用基本不等式或常用不等式求最值：化角为边 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本 不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。2、转为三角函数求最值：化边为角 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。二、边化角与角化边的变换原则 2/30

2、 学科网（北京）股份有限公司在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：(1)若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；(2)若式子中含有 a、b、c 的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；(3)若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；(4)代数式变形或者三角恒等变换前置；(5)含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；(6)同时出现两个自由角(或三三个自由角)时，要用到三角形的内角和定理 2022全国甲卷（理&文）T16 1已知 ABC中，点 D 在边 BC 上，120,2,2

3、ADBADCDBD=当 ACAB 取得最小值时，BD=【答案】31 【分析】设220CDBDm=，利用余弦定理表示出22ACAB 后，结合基本不等式即可得解.【详解】方法一：余弦定理 设220CDBDm=，则在ABD中，22222cos42ABBDADBD ADADBmm=+=+，在 ACD中，22222cos444ACCDADCD ADADCmm=+=+，所以()()()22222244212 14441243424211mmmACmmABmmmmmm+=+()12442 33211mm=+，当且仅当311mm+=+即31m=时，等号成立，所以当 ACAB 取最小值时，31m=.故答案为：3

4、1.3/30 学科网（北京）股份有限公司 方法二：建系法 令 BD=t，以 D 为原点，OC 为 x 轴，建立平面直角坐标系.则 C（2t,0），A（1，3），B（-t,0）()()()22222221344412442 3324131113,31tACttABttttttBD+=+=当且仅当即时等号成立。方法三：余弦定理 设 BD=x,CD=2x.由余弦定理得 222242444cxxbxx=+=+，2222126cbx+=+，222242444cxxbxx=+=+，2222126cbx+=+，令 ACtAB=，则22222126ct cx+=+，()22222126126226 162 3

5、32411xxtcxxxx+=+，242 3t，当且仅当311xx+=+，即31x=+时等号成立.方法四：判别式法 设 BDx=，则2CDx=在ABD中，22222cos42ABBDADBD ADADBxx=+=+，在 ACD中，22222cos444ACCDADCD ADADCxx=+=+，所以222244442ACxxABxx+=+，记2244442xxtxx+=+，则()()()2442440t xt xt+=由方程有解得：()()()2424 4440ttt=+4/30 学科网（北京）股份有限公司即2840tt+，解得：42 342 3t+所以 min42 3t=，此时2314txt+

6、=所以当 ACAB 取最小值时，31x=，即31BD=2022新高考 1 卷2记 ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 cossin21sin1cos2ABAB=+(1)若23C=，求 B；(2)求222abc+的最小值【答案】(1)6；(2)4 25 【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将 cossin21sin1cos2ABAB=+化成()cossinABB+=，再结合02B，即可求出；（2）由（1）知，2CB=+，22AB=，再利用正弦定理以及二倍角公式将222abc+化成2224cos5cosBB+，然后利用基本不等式即可解出【详解】（1）因为2cos

7、sin 22sincossin1 sin1cos22coscosABBBBABBB=+，即()1sincoscossinsincoscos2BABABABC=+=，而02B，所以,022CB，222acbac+=，所以2221cos22acbBac+=，又 B 为 ABC的一个内角，故3B=.方法二【最优解】：正弦定理边化角 由 2 sin3bAa=，结合正弦定理可得：32sinsin3sin,sin2BAAB=ABC为锐角三角形，故3B=.（II）方法一：余弦定理基本不等式 因为3B=，并利用余弦定理整理得222bacac=+，6/30 学科网（北京）股份有限公司即223()acacb=+.

8、结合22acac+，得2acb+.由临界状态（不妨取2A=）可知3acb+=.而 ABC为锐角三角形，所以3acb+.由余弦定理得2222221coscoscos222bcaabcABCbcab+=+，222bacac=+，代入化简得1coscoscos12acABCb+=+故coscoscosABC+的取值范围是31 3,22+.方法二【最优解】：恒等变换三角函数性质 结合(1)的结论有：12coscoscoscoscos23ABCAA+=+131coscossin222AAA=+311sincos222AA=+1sin62A=+.由203202AA 可得：62A，2363A+，则3sin,

9、162A+，131 3sin,6222A+.即coscoscosABC+的取值范围是31 3,22+.【点评】（I）的方法一，根据已知条件，利用余弦定理经过较复杂的代数恒等变形求得222acbac+=，运算能力要求较高；方法二则利用正弦定理边化角，运算简洁，是常用的方法，确定为最优解；（II）的三种方法中，方法一涉及到较为复杂的余弦定理代入化简，运算较为麻烦，方法二直接使用三角恒等变形，简洁明快，确定为最优解.2019 年全国卷文理 T18 4 ABC的内角,A B C 的对边分别为,a b c，已知 sinsin2ACabA+=7/30 学科网（北京）股份有限公司（1）求 B；（2）若 AB

10、C为锐角三角形，且1c=，求 ABC面积的取值范围【答案】(1)3B=;(2)33(,)82.【分析】(1)利用正弦定理化简题中等式，得到关于 B 的三角方程，最后根据 A,B,C 均为三角形内角解得3B=.(2)根据三角形面积公式1sin2ABCSacB=，又根据正弦定理和1c=得到ABCS关于C 的函数，由于 ABC是锐角三角形，所以利用三个内角都小于 2 来计算C 的定义域，最后求解()ABCSC的值域.【详解】(1)方法一【最优解：利用三角形内角和为 结合正弦定理求角度】由三角形的内角和定理得222ACB+=，此时 sinsin2ACabA+=就变为 sinsin22BabA=由诱导公

11、式得sincos222BB=，所以 cossin2BabA=在 ABC中，由正弦定理知2 sin,2 sinaRA bRB=，此时就有sincossinsin2BAAB=，即cossin2BB=，再由二倍角的正弦公式得cos2sincos222BBB=，解得3B=方法二【利用正弦定理解方程求得cos B 的值可得B的值】由解法 1 得sinsin2ACB+=，两边平方得22sinsin2ACB+=，即21 cos()sin2ACB+=又180ABC+=，即cos()cosACB+=，所以21 cos2sinBB+=，进一步整理得22coscos10BB+=，解得1cos2B=，因此3B=方法三

12、【利用正弦定理结合三角形内角和为 求得,A B C 的比例关系】根据题意 sinsin2ACabA+=，由正弦定理得sinsinsinsin2ACABA+=，因为0A，8/30 学科网（北京）股份有限公司消去sin A 得sinsin2ACB+=0 B，02AC+，因为故2ACB+=或者2ACB+=，而根据题意 ABC+=，故2ACB+=不成立，所以2ACB+=，又因为 ABC+=，代入得3B=，所以3B=.(2)方法一【最优解：利用锐角三角形求得 C 的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】因为 ABC是锐角三角形，又3B=，所以,62 62AC+=即22221010.baba+，又由余弦定

13、理得221baa=+，所以220,20,aaa即 122a，所以3382ABCS，故 ABC面积的取值范围是33,82 方法三【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】如图，在 ABC中，过点 A 作1ACBC，垂足为1C，作2ACAB与 BC 交于点2C 由题设及（1）知 ABC的面积34ABCSa=，因为 ABC为锐角三角形，且1,3cB=，9/30 学科网（北京）股份有限公司所以点 C 位于在线段12C C 上且不含端点，从而coscosccBaB，即1cos 3cos 3a，即 122a，所以3382ABCS，故 ABC面积的取值范围是33,82 【整体点评】(1)方法一：正

14、弦定理是解三角形的核心定理，与三角形内角和相结合是常用的方法；方法二：方程思想是解题的关键，解三角形的问题可以利用余弦值确定角度值；方法三：由正弦定理结合角度关系可得内角的比例关系，从而确定角的大小.(2)方法一：由题意结合角度的范围求解面积的范围是常规的做法；方法二：将面积问题转化为边长的问题，然后求解边长的范围可得面积的范围；方法三：极限思想和数形结合体现了思维的灵活性，要求学生对几何有深刻的认识和灵活的应用.2018北京卷5若 ABC的面积为2223()4acb+,且C 为钝角，则B=；ca 的取值范围是 .【答案】60(2,)+【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得 tan3

15、B=，可求得3B=；再利用()sinsinCAB=+，将问题转化为求函数()fA 的取值范围问题.【详解】()22231sin42ABCSacbacB=+=，222sin23acbBac+=，即sincos3BB=，sin3,cos3BBB=，则231sincossinsin311322sinsinsin2tan2AAAcCaAAAA=+，C为钝角，,036BA=()332bcbcbc=+2 3bc=12bc 113sin123 3222ABCSbcBAC=ABC3 3,a b cABC,A B Ccos3 sin0aCaCbc+=A 14/30 学科网（北京）股份有限公司(2)若在边上且，求

16、面积的最大值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用正弦定理将已知式子统一为角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式可求得结果，（2）由已知可得为中点，则，两边平方化简得，再利用基本不等式可求得，从而可求出面积的最大值.【详解】（1）由及正弦定理得 因为，所以，因为，所以，因为，所以，所以，得，（2）因为在边上且，所以为中点，所以，两边平方得，因为，所以得到，由，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以当时，即为等边三角形时面积的最大值为 浙江省百校联盟 2022-2023 学年高三上学期 11 月模拟4在 ABC中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，若()tantan2 tan

17、bABcB+=，BC 边的中线长为 1（1）求角 A；DBC,2BDDC AD=ABC34 33DBC()12ADABAC=+2216cbbc=+163bcABCcos3 sinaCaCbc+=+sin cos3sin sinsinsinACACBC+=+()sinsinsin coscos sinBACACAC=+=+sin cos3sin sinsincoscossinsinACACACACC+=+sin0C 13sincos1sin62AAA=+=()0,A 5,666A 66A=3A=DBCBDDC=DBC()12ADABAC=+()222124ADABACAB AC=+2,3ADA=

18、2216cbbc=+22162,3bcbcbc+bc=134 3sin243ABCSbcAbc=bc=4 33bc=ABCABC4 33 15/30 学科网（北京）股份有限公司（2）求边 a 的最小值【答案】（1）4A=；（2）2 22【分析】（1）首先利用同角三角函数的商数关系和正弦定理的边化角公式将()tantan2 tanbABcB+=转化为sinsinsinsinsin2coscoscosABBCBABB+=，再化简即可得到答案.（2）首先根据 BC 边的中线长为 1，得到2ABAC+=，从而得到42 2bc，再利用余弦定理即可得到答案.【详解】（1）因为()tantan2 tanbA

19、BcB+=，所以sinsinsinsinsin2coscoscosABBCBABB+=，sincoscossinsinsinsin2coscoscosABABCBBABB+=，()sinsinsinsin2coscoscosBABCBABB+=，sinsinsinsin2coscoscosBCCBABB=，因为sin0B，sin0C，cos0B，所以2cos2A=，又0A，即2 3ac+，从而可求出ac+的取值范围【详解】解：（1）在 ABC中，由正弦定理 sinsinabAB=，可得 sinsinbAaB=，因为2 sin3 cossinbAaBaB=+，所以 sincos()6bAaB=，

20、所以 sincos()6aBaB=，即sincos()6BB，即31sincossin22BBB，可得 tan3B=，又因为(0,)B，所以3B=.（2）如图，延长 BD到 E，满足 DEBD=，连接 AECE，则 ABCE 为平行四边形，且22 3,3BEBAEABc AEBCa=，在 BAE中，由余弦定理得2222(2 3)2cos 3acac=+，即2212acac+=，可得2()12acac+=，即2()12acac=+，由基本不等式得：22()12()2acacac+=+，即23()124 ac+，即2()16ac+，可得4ac+（当且仅当2ac=取等号号）又由 AEABBE+，即2

21、 3ac+，故 ac+的取值范围是(2 3,4.定角定高 17/30 学科网（北京）股份有限公司6如图，在 ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，AH=4，BAC=60，求ABC 面积的最小值.【简证】由等面积可得：118 3sin42323bcabca=由余弦定理+可得：22228 323abcbcbcbcbcaa=+=得8 33a，即116 3423Sa=对式子变形后利用基本不等式求最值 7在中，角，的对边分别为，已知.(1)若，求的面积；(2)求的最小值，并求出此时的大小.【答案】(1);(2)最小值是 5，.【分析】（1）利用三角形内角和以及诱导公式和余弦定理化简，可

22、得，继而求得 B，判断三角形形状，即可求得三角形面积；（2）利用二倍角公式以及同角的三角函数关系化简为只含的表达式，结合基本不等式即可求得答案.【详解】（1）由题意：，根据余弦定理，可知,得,即，故，而，故 HCABABCABCabc()2222sin0acBCacb+=6A=2a=ABC2224sin3sin2sinCAB+B323B=cossinBA=sin BABC+=()sinsinBCA+=222cos2acbBac+=()2222sin0acBCacb+=222sin02acbAac+=sincos0AB+=cossinBA=6A=1cos2B=18/30 学科网（北京）股份有限公

23、司又因为是内角，故 B 为钝角，是等腰三角形，则，.（2）由（1）可知中，则，即 B 为钝角，又，所以，设，则，故，当且仅当，即，结合 B 为钝角，即时等号成立 所以的最小值是 5，此时.湖南省益阳市 2022 届高三上学期 9 月调研8已知 ABC的角,A B C 对边分别为,a b c，3 cossin0aBbA=.(1)求B；(2)若2ac+=，求b 的取值范围.【答案】(1)3；(2)12b 【分析】（1）由正弦定理化简已知等式，结合sin0A，可求 tan B，结合范围(0,)B，可得 B 的值；（2）由已知利用余弦定理，基本不等式可求1b，结合2bac+=，即可求解b 的取值范围【

24、详解】（1）3 cossin0aBbA=，由正弦定理可得：3sincossinsin0ABBA=，sin0A，3 cossin0BB=,即 tan3B=，(0,)B，3B=（2）3B=，2ac+=，,B CABC23B=6C=ABC2ac=113sin2 23222ABCSacB=ABCcossinBA=2BA=+ABC+=322CABB=2AB=2222224sin3sin24cos 23cos2sinsinCABBBB+=()2224cos 23cos2sinBBf BB+=()()()22224 1 2sin3 1 sin2sinBBf BB+=42216sin19sin9sinBBB+

25、=22916sin19sinBB=+()2sin0,1B()22229916sin192 16sin195sinsinf BBBBB=+=22916sinsinBB=3sin2B=23B=2224sin3sin2sinCAB+23B=19/30 学科网（北京）股份有限公司由余弦定理可得222222()3()3()12acbacacacacac+=+=+=，当且仅当ac=时等号成立，1b ，2bac+=，12b 题型二 构造函数求范围 9在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且，求的取值范围【答案】【分析】利用正弦定理得，再利用两角差的正弦公式以及角的范围计算求得结果【详解】由

26、正弦定理得，则，.2024 届雅礼中学月考（二）10记锐角的内角的对边分别为，已知(1)求证：；(2)若，求的最大值【答案】(1)见解析；(2).【分析】（1）运用两角和与差正弦进行化简即可；（2）根据（1）中结论运用正弦定理得，然后等量代换出，再运用降次公式化简，结合内角取值范围即可求解.【详解】（1）证明：由题知，32c=2ab()2,44 34 3sin,sin33aA bB=4 3sinsinsin3abcABC=4 34 3sin,sin33aA bB=8 34 38 34 3sinsinsinsin333323ABAAab=+2 3sin2cos4sin6AAA=20,3A,66

27、2A 16sin,12A()22,4ab ABC,A B C,a b csin()sin()coscosABACBC=BC=sin1aC=2211ab+2516sin2 sinsin12baCRAbAR=2211ab+sin()sin()coscosABACBC=20/30 学科网（北京）股份有限公司所以，所以,所以 因为 为锐角，即，所以，所以，所以.（2）由（1）知：，所以，因为，所以，因为由正弦定理得：，所以,所以，因为，所以，所以 因为是锐角三角形，且，所以，所以，所以，当时，取最大值为，sin()cossin()cosABCACB=sincoscoscossincossincosco

28、scossincosABCABCACBACB=cossincoscossincosABCACB=Acos0A sincossincosBCCB=tantan=BCBC=BC=sinsinBC=sin1aC=1sinCa=2 sin,sin2baRABR=sin2 sinsin12baCRAbAR=1sin Ab=2ABCC=1sinsin 2ACb=222211sinsin 2abCC+=+221 cos2(1 cos 2)213cos 2cos222CCCC=+=+ABCBC=42C22C1cos20C 1cos24C=2211ab+2516 21/30 学科网（北京）股份有限公司所以最大值

29、为：.2023 届河北省唐山市三模11记 ABC的内角,A B C 的对边分别为,a b c，已知 A 为钝角，sincosaBbB=.(1)若6C=，求 A；(2)求coscoscosABC+的取值范围.【答案】(1)23；(2)51,4【分 析】（1）由 题 意 及 正 弦 定 理 得 到 sincosAB=，即 sinsin 2AB=+，结 合 角 的 范 围 可 得,222AB CB=+=，又,6CABC=+=，即可求得 A；（2）coscoscosABC+cossin2sin cosBBBB=+，令cossintBB=，化简得到2coscoscos1ABCtt+=+，结合二次函数的性

30、质，即可求解.【详解】（1）由 sincosaBbB=，根据正弦定理得：sin sinsin cosABBB=，由于sin0B，可知sincosAB=，即sinsin 2AB=+，因为 A 为钝角，则 B 为锐角，即0,2B，则 ,22B+，则,222AB CB=+=.由,26AB CABC=+=+=，得23A=.（2）coscoscosABC+coscosco2s 22BBB=+sincossin2BBB=+cossin2sin cosBBBB=+.因为22CB=为锐角，所以0222B，即04B，求222bca+的取值范围.【答案】(1)2；(2)()1,2ABC,A B C,a b c()

31、2sincoscos3A cBbCa+=A3a=223bcbc+3(11,15,b c()()2sinsincossincos2sinsin2sinsin3sinACBBCABCAAA+=+=ABC0,2Asin0A 3sin2A=3A=2,33ABCA=+=3a=2sinsinsinabcABC=2sin,2sinbB cC=2222cosabcbcA=+223bcbc+=+2223343 16sin sin3 16sin sin3bcbcbcBCBB+=+=+=+238 3sin cos8sin74 3sin24cos278sin 26BBBBBB=+=+=+ABC20,0,232BB,6

32、 2B 52,666B1sin 2,162B(22378sin 211,156bcbcB+=+23/30 学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）根据1tanB，1sinA，1tanC 成等差数列结合三角恒等变换可得2sin2sin sinABC=，由正弦定理即可求得2abc 的值；（2）由（1）得22abc=，根据锐角三角形结合余弦定理可得 ba 的取值范围，将222bca+转化为22212bcbcacb+=+，令()1,12bxc=+，设()112 xxf x=+根据函数单调性确定函数取值范围，即得222bca+的取值范围.【详解】（1）由条件得：211sintantanABC=+cosc

33、ossinsinBCBC=+sin coscos sinsin sinCBCBBC+=()sinsin sinCBBC+=sinsin sinABC=，所以2sin2sin sinABC=，由正弦定理得：22abc=，所以22abc=.（2）bc及22abc=，则 BC，角C 一定为锐角，又 ABC为锐角三角形，所以cos0cos0AB 由余弦定理得：2222222222222220020222020022bcabcbcbcbcbcbcbccbacbbccbacac+，所以2220bccb+，即212bbcc+，解得：1212bc，所以()1,12bc+.又22222122bcbcbcabcc

34、b+=+，令()1,12bxc=+，则()222112bcf xxax+=+，()()()2211111022xxfxxx+=，所以()f x 在()1,12+上递增，又()11f=，()122f+=，所以222bca+的取值范围是()1,2.2024 届常德市一中校考 14在中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，若，请完成以下问题：(1)求角 B 的大小；(2)若为锐角三角形，求的取值范围 ABC1cos2bCca+=ABC1c=22ab+24/30 学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦公式化简即可作答.（

35、2）利用正弦定理把表示为角的函数，再利用三角函数的性质求解作答.【详解】（1）在中，由及正弦定理得：，整理得，而，于是，所以.（2）在中，由正弦定理，得，同理，因此 由锐角，得，解得，则，于是在上单调递增，则 2024 届长沙一中月考（一）15在锐角中，角的对边分别为，且满足.(1)求证：；(2)设的周长为，求的取值范围.【答案】(1)证明见解析,(2)【分析】（1）由余弦定理及正弦定理，结合角的范围即可得证；（2）先由角的关系得出，再结合正弦定理可得，最后结合二次函数值域得出范围.【详解】（1）因为，由余弦定理得，所以，由正弦定理得，3B=(1,7),a bCABC1cos2bCca+=2s

36、incossin2sinBCCA+=2sincossin2sin()2sincos2cossinBCCBCBCBC+=+=+2cossinsinBCC=,(0,)B C sin0C 1cos2B=3B=ABC3B=1c=sinsinacAC=sinsinsinsincAAaCC=sin3sin2sincBbCC=22222222224sin()3sin34sin33sin4sin4sin4sinCAAabCCCC+=+=2223cossin2 3sincos34sinCCCCC+=2226cos4sin2 3sincos4sinCCCCC+=23312tan2tanCC=+ABC022032C

37、C 1(0,3)tantC=22233122abtt+=+(0,3)t2217ab+ABC,A B C,a b c22baac=2BA=ABClla()22,33+2,3BA CA=24cos2coslAAa=+22baac=2222cosbacacB=+22cosaccacB=2 cosacaB=()sinsin2sin cossin2sin cossin coscos sin2sin cosACABABABABABAB=+=+()cos sinsin cossinABABBA=25/30 学科网（北京）股份有限公司因为为锐角三角形，所以，所以，即.（2），由，得，结合二次函数单调性易知，即

38、的取值范围为.2024 届长沙一中月考（二）16的内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，点 O 为的内心，记，的面积分别为，已知，.(1)在；中选一个作为条件，判断是否存在，若存在，求出的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(2)若为锐角三角形，求面积的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)【分析】（1）由题意，根据的内切圆的性质可得，选，根据余弦定理可得，方程无解即ABC 不存在；选，根据正弦定理可得，由可得，方程无解即ABC 不存在；选，根据三角恒等变换可得，由（1）得，解得，可求出的周长.（2）由三角形的面积可得，再由正弦定理和两角和的正弦

39、公式可得，结合角 C 的取值范围即可求解.【详解】（1）设的内切圆半径为 r，因为，所以，化简得：，ABC 0,22 2ABA ABA=2BA=2,3BA CA=,0,2A B C,6 4Asin3sin2sin2 coscos2 sin2sin cos11sinsinlabcAAAAAAAAaaAA+=+=+222sin coscos2 sin2sin cos14cos2cossinAAAAAAAAA+=+=+23,cos,6 422AA2224cos2cos33AA+la()22,33+ABCABCOBCOACOAB1S2S3S22213132SSS SS+=2AB=coscos1aCcA

40、+=4sin sincos21BAA+=12cos12cos0sinsinABAB+=ABCABCABCABC3,2 32ABC222acbac+=24 12aa+=2ab=222acbac+=23440bb+=24abc+=2242aba+=2ab=ABC32SBC=31tanBCC=+ABC22213132SSS SS+=22211111()()()()()22222arcrarcrbr+=222acbac+=26/30 学科网（北京）股份有限公司所以，因为，所以，选择，因为，所以，因为，所以，整理得，方程无实数解，所以不存在 选择，因为，所以，因为，所以，所以，因为，所以，整理得，方程无

41、实数解，所以不存在 选择，由得：，所以，即，所以，因为以，所以，所以，解得，所以存在且唯一，的周长为（2）由（1）知，面积，因为，所以，因为为锐角三角形，所以，解得：，所以，所以，所以的取值范围为，而面积.17在中，角，所对的边分别为，.(1)求角的大小；(2)若是锐角三角形，且其面积为，求边 的取值范围.2221cos22acbBac+=()0,B3B=coscos1aCcA+=222222122abcbcaacbabbc+=222acbac+=2c=24 12aa+=2230aa+=ABC4sinsincos21BAA+=24sinsin1 cos22sinBAAA=sin0A sin2s

42、in0AB=2ab=222acbac+=2c=22444bbb+=23440bb+=ABC1 2cos1 2cos0sinsinABAB+=sinsin2(sincoscossin)0ABABAB+=sinsin2sin()ABAB+=+sinsin2sinABC+=24abc+=222acbac+=2c=2242aba+=224(4)2aaa+=2ab=ABCABC6abc+=3B=ABC1133sin22222SAB BCBBCBC=sinsinABBCCA=2sin2 sincoscossinsin2sin333sinsinsinsinCCCABAABCCCCC+=312cossin2

43、sincoscossin223 cossin3331sinsinsintanCCCCCCCCCC+=+ABC02C2032C62C103tanC303tanC3114tanC+BC(1,4)ABC33,2 322SBC=ABCABCabcsinsintancoscosABCAB+=+CABC3c 27/30 学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据同角三角函数关系，结合正余弦函数和差角公式化简即可；（2）由（1）知，又是锐角三角形，可得，根据且其面积为可得，再设，根据角度关系化简可得，再根据求解即可.【详解】（1）因为，则，所以，即，得.所以或（不成立，舍去），从而，

44、又，所以.（2）由（1）知，又是锐角三角形，则，得.因为，所以.设，因为，所以，因为，则，所以，从而，即，所以边 的取值范围是.18（2024 届扬州中学校考）在锐角 ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，3b=，sinsin2 3AaB+=，则 ABC周长的取值范围为 .3C=)2,623AB+=ABC62A323sin sincAB=sin sinyAB=11sin 2264yA=+62AsinsintancoscosABCAB+=+sinsinsincoscoscosCABCAB+=+sin cossin coscos sincos sinCACBCACB+=+sin c

45、oscos sincos sinsin cosCACACBCB=()()sinsinCABC=CABC=()CABC=2CAB=+ABC+=3C=23AB+=ABC022032AA 62A221sin sinsinsin sin322sin3ABCcABcSabCABC=23sin sincAB=sin sinyAB=23BA=231sin sinsincossin322yAAAAA=+31111sin2cos2sin 2444264AAA=+=+62A52666A1 3,2 4y)24,6c=)2,6cc)2,6 28/30 学科网（北京）股份有限公司【答案】93 3,93 32+【分析】由

46、正弦定理及已知可得3sin2A=，结合锐角三角形得3A=、62B，再由正弦边角关系、三角恒等变换得93 3122tan 2abcB+=+，即可求范围.【详解】由 sinsinabAB=，则 sinsinaBbA=，故sinsin4sin2 3AbAA+=，所以3sin2A=，又 ABC为锐角三角形，则3A=，且022032BCB =，则 62B，而 sinsinsinabcABC=，则sin3 3sin2sinbAaBB=，23sin()sin3sinsinBbCcBB=3 3 cos32sin2BB=+，所以22cos93 3 1 cos93 393 31222sin22222sincost

47、an222BBabcBBBB+=+=+=+，又 1224B，且tantan34tantan()2312341tantan34=+，所以 tan(23,1)2B，则93 3193 3(,93 3)222tan 2abcB+=+.故答案为：93 3(,93 3)2+.2024 届河南省实验中学校考 19在锐角中，内角所对的边分别为，满足，且.(1)求证：；(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围.【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）由正弦定理得，又由余弦定理得，结合整理可得角的关系；（2）由正弦定理得，又因为为锐角三角形且，结合三角函数值域可求得线段长度的取值范围.ABC,A B

48、Cabc222sinsinsin1sinsinAACCB=AC2BC=BDABC4a=BD4 3,2 2322bcac=+2222cosbacacB=+sinsinBCBDBDCC=ABC2BC=BD 29/30 学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）由题意得，由正弦定理得，因为，则，即，可得，整理得，由余弦定理得，整理得，由正弦定理得，故，整理得，又因为为锐角三角形，则，可得，所以，即.（2）在中，由正弦定理得，所以，因为为锐角三角形，且，所以，解得.故，所以.湖北省腾云联盟 2023-2024 学年高三上学期 10 月联考20在锐角 ABC中，角,A B C 的对边分别为,a b c，且

49、 ABC的面积()1 cosSbcA=，则2abc的取值范围为（）A 4,5+B 4 16,5 15 C 4 32,5 35 D 32 16,35 15【答案】B【分析】先由三角形面积公式求出3cos54sin5AA=，然后引入参数=btc，将所求表示为t 的函数，再根据正弦定理边化角、诱导公式、两角和差得435tan5tC=+，注意到在锐角 ABC中，有022AC，从而可以求出 tan,C t 的范围，由此即可得解【详解】由三角形面积公式1sin2SbcA=结合()1 cosSbcA=，可知 1 sin1 cos2AA=，即()sin2 1 cosAA=，又由平方关系22sincos1AA+

50、=，所以()224 1 coscos1AA+=，即25cos8cos30AA+=，222sinsinsinsinsinsinACACCB=()()2222acacacaccbb+=ACac0ac21accb+=22bcac=+2222cosbacacB=+2 coscacB=sinsin2sin cosCACB=()sinsin2sin cosCBCCB=+()sinsinCBC=ABC0,0,22CB,2 2BC CBC=2BC=BCDsinsinBCBDBDCC=sin4sin2sinsin2cosBCCCBDBDCCC=ABC2BC=02022032CCC 64C23cos22C4 32 23BDAC，简单说明如下：若2AC+，则()22BAC=+=，即 B 不是锐角，但这与 ABC是锐角三角形矛盾，所以在锐角 ABC中，有2+AC，所以在锐角 ABC中，有022AC=，从而343435355tan55354tC=+=，而函数()2165atf tbct=+=在 3,15单调递减，在51,3 单调递增，所以()()43516 16161max,max,55315 1515ff tff=.综上所述：2abc 的取值范围为 4 16,5 15