2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题08奇偶性、对称性与周期性（Word版附解析）.docx

1、专题08奇偶性、对称性与周期性知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：判断函数的奇偶性题型二：函数奇偶性的应用题型三：利用函数性质求解析式题型四：函数的周期性及应用题型五：函数的对称性题型六：单调性与奇偶性综合应用题型七：周期性与奇偶性综合应用题型八：对称性与周期性综合应用题型九：利用函数的性质解不等式培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.理解函数奇偶性的含义.2.了解函数的最小正周期的含义.3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.【考

2、点预测】1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【常用结论】

3、1.函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(xa)f(x)，则T2a(a0).(2)若f(xa)，则T2a(a0).(3)若f(xa)，则T2a(a0).2.对称性的四个常用结论(1)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.(2)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b，0)中心对称.(3)若函数yf(x)满足f(ax)f(bx)，则yf(x)的图象关于直线x对称；特别地，当ab时，即f(ax)f(ax)或f(x)f(2ax)时，则yf(x)的图象关于直线xa对称.(4)若函数yf(x)满足f(x)f(2ax)2b，则

4、yf(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b0时，即f(ax)f(ax)0或f(x)f(2ax)0时，则yf(x)的图象关于点(a，0)对称.【方法技巧】1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立.2.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.3

5、.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.4.若f(xa)f(x)(a是常数，且a0)，则2a为函数f(x)的一个周期.5.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.6.对称性的三个常用结论(1)若函数f(x)满足f(ax)f(bx)，则yf(x)的图象关于直线x对称.(2)若函数f(x)满足f(ax)f(bx)，则yf(x)的图象关于点对称.(3)若函数f(x)满足f(ax)f(bx)c，则函数f(x)的图象关于点对称.7.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或

6、多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；8.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1x2)求解.9.周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.10.函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)(ab)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.二、【题型归类】【题型一】判断函数的奇偶性【典例1】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(

7、x)(3)f(x)log2(x)【解析】(1)由得x23，解得x，即函数f(x)的定义域为，从而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数(2)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)成立，函数f(x)为奇函数(3)显然函数f(x)的定义域为R，f(x)log2xlog2(x)log2(x)1log2(x)f(x)，故f(x)为奇函数【典例2】若函数f(x)在定义域上为奇函数，则实数k_

8、.【解析】f(x)，f(x)f(x).由f(x)f(x)0对定义域中的x均成立可得k21，k1.故填1.【典例3】已知函数f(x) 判断函数的奇偶性【解析】当x0时，f(x)x2x，x0，f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，f(x)x2x，x0，f(x)(x)2xx2xf(x)f(x)是奇函数【题型二】函数奇偶性的应用【典例1】函数f(x)x(exex)1在区间2,2上的最大值与最小值分别为M，N，则MN的值为()A2 B0 C2 D4【解析】依题意，令g(x)x(exex)，显然函数g(x)的定义域为R，则g(x)x(exex)g(x)，即函数g(x)是奇函数，因此，函数g(x)在区

9、间2,2上的最大值与最小值的和为0，而f(x)g(x)1，则有Mg(x)max1，Ng(x)min1，于是得MNg(x)max1g(x)min12，所以MN的值为2.【典例2】已知函数f(x)x3(a2x2x)是偶函数，则a_.【解析】方法一(定义法)因为f(x)x3(a2x2x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(x)f(x)对任意的xR恒成立，所以(x)3(a2x2x)x3(a2x2x)对任意的xR恒成立，所以x3(a1)(2x2x)0对任意的xR恒成立，所以a1.方法二(取特殊值检验法)因为f(x)x3(a2x2x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(1)f(1)，所以2a，解得a1，经检验

10、，f(x)x3(2x2x)为偶函数，所以a1.方法三(转化法)由题意知f(x)x3(a2x2x)的定义域为R，且是偶函数设g(x)x3，h(x)a2x2x，因为g(x)x3为奇函数，所以h(x)a2x2x为奇函数，所以h(0)a20200，解得a1，经检验，f(x)x3(2x2x)为偶函数，所以a1.【典例3】已知函数f(x)，则函数f(x)()A既是奇函数也是偶函数B既不是奇函数也不是偶函数C是奇函数，但不是偶函数D是偶函数，但不是奇函数【解析】由9x20且|6x|60，解得3x3且x0，可得函数f(x)的定义域为x|3x3且x0，关于原点对称，所以f(x)，又f(x)f(x)，所以f(x)

11、是奇函数，但不是偶函数故选C.【题型三】利用函数性质求解析式【典例1】已知函数f(x)满足f(x)f(x2)13.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)若f(1)2，求f(99)的值；(3)若当x0，2时，f(x)x，试求x4，8时函数f(x)的解析式【解析】(1)证明：由题意知f(x)0，则f(x2).用x2代替x得f(x4)f(x)，故f(x)为周期函数，且4为f(x)的周期(2)若f(1)2，则f(99)f(2443)f(3).(3)当x4，6时，x40，2，则f(x4)x4，又周期为4，所以f(x)f(x4)x4.当x(6，8时，x6(0，2，则f(x6)x6，根据周期为4，则f(x2

12、)f(x6)x6.又f(x)f(x2)13，所以f(x).所以解析式为f(x)【典例2】设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1x)f(1x)当1x0时，f(x)x.(1)判定f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间1，2上的表达式【解析】(1)f(1x)f(1x)，f(x)f(2x)又f(x2)f(x)，f(x)f(x)，f(x)是偶函数(2)当x0，1时，x1，0，则f(x)f(x)x；进而当x1，2时，x21，0，f(x)f(x2)(x2)x2.故所求为f(x)【典例3】已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x0时，f(x)x1，则当x0时，f(x)_.【解析

13、】当x0时，x0.f(x)f(x)(x1)x1.【题型四】函数的周期性及应用【典例1】已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x).若f(1)2，则f(1)f(2)f(3)f(2 022)()A.50 B.0 C.2 D.50【解析】f(x)在R上是奇函数，且f(1x)f(1x).f(x1)f(x1)，即f(x2)f(x).因此f(x4)f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，由于f(1x)f(1x)，f(1)2，故令x1，得f(0)f(2)0，令x2，得f(3)f(1)f(1)2，令x3，得f(4)f(2)f(2)0，故f(1)f(2)f(3)f(4)20200，所以f(

14、1)f(2)f(3)f(2 022)5050f(1)f(2)2.故选C.【典例2】设函数f(x)的定义域为R，f(x1)为奇函数，f(x2)为偶函数，当x1，2时，f(x)ax2b.若f(0)f(3)6，则f()A. B. C. D.【解析】由于f(x1)为奇函数，所以函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，即有f(x)f(2x)0，所以f(1)f(21)0，得f(1)0，即ab0.由于f(x2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x2对称，即有f(x)f(4x)0，所以f(0)f(3)f(2)f(1)4abab3a6.根据可得a2，b2，所以当x1，2时.f(x)2x22.根据函数f(x

15、)的图象关于直线x2对称，且关于点(1，0)对称，可得函数f(x)的周期为4，所以fff22.故选D.【典例3】已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0x2时，f(x)x3x，则函数yf(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点个数为_.【解析】因为当0x2时，f(x)x3x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)0，则f(6)f(4)f(2)f(0)0.又f(1)0，f(3)f(5)f(1)0，故函数yf(x)的图象在区间0，6上与x轴的交点有7个.【题型五】函数的对称性【典例1】(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2x)f(2x)，且f(x)f(x)，

16、则下列结论正确的是()Af(x)的图象关于直线x2对称Bf(x)的图象关于点(2,0)对称Cf(x)的周期为4Dyf(x4)为偶函数【解析】f(2x)f(2x)，则f(x)的图象关于直线x2对称，故A正确，B错误；函数f(x)的图象关于直线x2对称，则f(x)f(x4)，又f(x)f(x)，f(x4)f(x)，T4，故C正确；T4且f(x)为偶函数，故yf(x4)为偶函数，故D正确故选ACD.【典例2】已知函数yf(x)2为奇函数，g(x)，且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x6，y6)，则y1y2y6_.【解析】函数yf(x)2为奇函数，函数yf(x)的图

17、象关于点(0,2)对称，又g(x)2，其图象也关于(0,2)对称，两函数图象交点关于(0,2)对称，则y1y2y63412.【典例3】已知函数f(x)x3ax2bx1的图象关于点(0,1)对称，且f(1)4，则ab_.【解析】因为f(x)关于点(0,1)对称，所以f(x)f(x)2，故f(1)f(1)2，即1ab1(1)ab12，解得a0，所以f(x)x3bx1，又因为f(x)3x2b，所以f(1)3b4，解得b1，所以ab1.【题型六】单调性与奇偶性综合应用【典例1】已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x).若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的大

18、小关系为()A.abc B.cbaC.bac D.bca【解析】易知g(x)xf(x)在R上为偶函数，奇函数f(x)在R上是增函数，且f(0)0.g(x)在(0，)上是增函数.又3log25.1220.8，且ag(log25.1)g(log25.1)，g(3)g(log25.1)g(20.8)，则cab.故选C.【典例2】已知函数f(x2)是定义域为R的偶函数，若f(x)在(2，)上单调递减，则不等式f(ln x)f(1)的解集是()A.(0，1)(3，) B.(1，3)C.(0，e)(e3，) D.(e，e3)【解析】因为f(x2)的图象向右平移2个单位长度得到f(x)的图象，且f(x2)的

19、图象关于y轴对称，所以f(x)的图象关于直线x2对称.由f(x)在(2，)上单调递减可得f(x)在(，2)上单调递增，由f(ln x)f(1)，所以ln x1或ln x3，解得0xe或xe3.【典例3】设定义在2，2上的偶函数f(x)在区间0，2上单调递减，若f(1m)f(m)，则实数m的取值范围是_【解析】f(x)是偶函数，f(x)f(x)f(|x|)f(1m)f(m)f(|1m|)f(|m|)又当x0，2时，f(x)是减函数， 解得1m.故填.【题型七】周期性与奇偶性综合应用【典例1】若函数f(x)(xR)是周期为4的奇函数，且在0，2上的解析式为f(x) 则ff_.【解析】由于函数f(x

20、)是周期为4的奇函数，所以ffffffff.故填.【典例2】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0，2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(25)Df(25)f(80)f(11)【解析】f(x8)f(x4)f(x)，T8，又f(x)是R上的奇函数，f(0)0.f(x)在0，2上是增函数，且f(x)0，f(x)在2，0上也是增函数，且f(x)0，又x2，4时，f(x)f(x4)0，且f(x)为减函数同理f(x)在4，6上为减函数且f(x)0，从而可得yf(x)的大致图象如图所示f(25)f(1)0，f

21、(11)f(3)0，f(80)f(0)0.f(25)f(80)f(11)，故选D.【典例3】函数yf(x)对任意xR都有f(x2)f(x)成立，且函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，f(1)4，则f(2 020)f(2 021)f(2 022)的值为_.【解析】函数yf(x1)的图象关于点(1，0)对称，函数yf(x)的图象关于原点对称，即函数f(x)是R上的奇函数，f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)，故f(x)的周期为4.f(2 021)f(50541)f(1)4，f(2 020)f(0)0，f(2 022)f(2)f(0)0，f(2 020)f(2 021)f(2 0

22、22)4.【题型八】对称性与周期性综合应用【典例1】(多选)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x3对称，且f(x3)f(x3)，若当x0，3时，f(x)4x2x11，则下列结论正确的是()A.f(x)为偶函数B.f(x)在6，3上单调递减C.f(x)关于x3对称D.f(100)9【解析】f(x)的图象关于x3对称，则f(x)f(x6)，又f(x3)f(x3)，则f(x)的周期T6，f(x)f(x6)f(x)，f(x)为偶函数，故A正确；当x0，3时，f(x)4x2x11单调递增，T6，故f(x)在6，3上也单调递增，故B不正确；f(x)关于x3对称且T6，f(x)关于x3对称，故C正

23、确；f(100)f(1664)f(4)f(2)f(2)9，故D正确.故选ACD.【典例2】已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，f(x2)是偶函数，且当x(0，2时，f(x)x，则f(2 022)f(2 023)()A.3 B.2 C.1 D.0【解析】函数f(x2)是偶函数，函数f(x)关于x2对称，f(x2)f(x2)，f(x4)f(x)，f(x4)f(x)4f(x)f(x)，f(x8)f(x4)4f(x4)f(x)，函数的周期为8，f(2 022)f(2 023)f(2 022)f(2 023)f(6)f(7)f(2)f(1)211.故选C.【典例3】(多选)函数f(x)的定义域为R，若

24、f(x1)与f(x1)都是偶函数，则()A.f(x)是偶函数 B.f(x)是奇函数C.f(x3)是偶函数 D.f(x)f(x4)【解析】f(x1)是偶函数，f(x1)f(x1)，从而f(x)f(x2).f(x1)是偶函数，f(x1)f(x1)，从而f(x)f(x2).f(x2)f(x2)，f(x4)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数.f(x1)f(x1)，f(x14)f(x14)，即f(x3)f(x3)，f(x3)是偶函数.故选CD.【题型九】利用函数的性质解不等式【典例1】已知定义在R上的偶函数f(x)在0，)上单调递增，若f(ln x)f(2)，则x的取值范围是()A(0，e2) B

25、(e2，)C(e2，) D(e2，e2)【解析】根据题意知，f(x)为偶函数且在0，)上单调递增，则f(ln x)f(2)|ln x|2，即2ln x2，解得e2xf(2x1)成立的x的取值范围为_【解析】由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)f(|x|)，由f(x)f(2x1)，可得f(|x|)f(|2x1|)当x0时，f(x)ln(1x)，因为yln(1x)与y在(0，)上都单调递增，所以函数f(x)在(0，)上单调递增由f(|x|)f(|2x1|)，可得|x|2x1|，两边平方可得x2(2x1)2，整理得3x24x10，解得x0 B减函数且f(x)0 D增函数且f(x)0，又函数f(

26、x)为奇函数，所以在区间上函数也单调递增，且f(x)0.由ff(x)知，函数的周期为，所以在区间上，函数单调递增且f(x)0.故选D.三、【培优训练】【训练一】(多选)设xR，用x表示不超过x的最大整数，则yx称为高斯函数，也叫取整函数令f(x)xx，以下结论正确的有()Af(1.1)0.9B函数f(x)为奇函数Cf(x1)f(x)1D函数f(x)的值域为0,1)【解析】对于A，f(1.1)1.11.11.120.9，故A正确对于B，取x1.1，则f(1.1)0.9，而f(1.1)1.11.11.110.1，故f(1.1)f(1.1)，所以函数f(x)不为奇函数，故B错误对于C，f(x1)x1

27、x1x1x1f(x)，故C错误对于D，由C的判断可知，f(x)为周期函数，且周期为1，当0x1时，则当x0时，f(0)000，当0x1时，f(x)xxx0x，当x1时，f(x)11110，故当0x1时，则有0f(x)1，故函数f(x)的值域为0,1)，故D正确故选AD.【训练二】已知f(x)是定义在R上的奇函数，f(x1)是偶函数，当x(2,4)时，f(x)|x3|，则f(1)f(2)f(3)f(4)f(2 020)_.【解析】因为f(x)为奇函数，f(x1)为偶函数，所以f(x1)f(x1)f(x1)，所以f(x2)f(x)，所以f(x4)f(x2)f(x)，所以函数f(x)的周期为4，所以

28、f(4)f(0)0，f(3)f(1)f(1)在f(x1)f(x1)中，令x1，可得f(2)f(0)0，所以f(1)f(2)f(3)f(4)0.所以f(1)f(2)f(3)f(4)f(2 020)0.【训练三】已知函数f(x)sin xx，对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0恒成立，求x的取值范围【解析】易知f(x)在R上为单调递增函数，且f(x)为奇函数，故f(mx2)f(x)0等价于f(mx2)f(x)f(x)，则mx2x，即mxx20对所有m2,2恒成立，令h(m)mxx2，m2,2，此时，只需即可，解得2x0，A0)，使得对于任意xR，f(xT)Af(x)成立，则称函数f(x)具有性

29、质P.(1)判断函数yx和ycos x是否具有性质P？(结论不要求证明)(2)若函数f(x)具有性质P，且其对应的T，A2.已知当x(0，时，f(x)sin x，求函数f(x)在区间，0上的最大值【解析】(1)因为函数yx是增函数，所以函数yx不具有性质P，当A1，T2时，函数ycos x对于任意xR，f(xT)Af(x)成立，所以ycos x具有性质P.(2)设x(，0，则x(0，由题意得f(x)2f(x)sin(x)，所以f(x)sin x，x(，0，由f()2f()，f(0)2f(0)，得f()f()0，所以当x，0时，f(x)sin x，所以当x时，f(x)在，0上有最大值f.四、【强

30、化测试】【单选题】1. 下列函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是()Af(x) Bf(x)Cf(x)2x2x Df(x)cos x【解析】函数f(x)是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意故选B.2. 已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2xm，则f(2)等于()A3 B C. D3【解析】由f(x)为R上的奇函数，知f(0)0，即f(0)20m0，解得m1，则f(2)f(2)(221)3.故选A.3. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，且当x时，f(x)log2(3x1)，则f(2 021)等于()A4 B2 C2 Dlog27【解析

31、】函数f(x)是定义在R上的奇函数，其最小正周期为4，f(2 021)f(45051)f(1)f(1)1，且当x时，f(x)log2(3x1)，f(1)log23(1)12，f(2 021)f(1)2.故选C.4. 已知yf(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()yf(|x|)；yf(x)；yxf(x)；yf(x)x.A B C D【解析】由奇函数的定义f(x)f(x)验证，f(|x|)f(|x|)，为偶函数；f(x)f(x)f(x)，为奇函数；xf(x)xf(x)xf(x)，为偶函数；f(x)(x)f(x)x，为奇函数可知正确，故选D.5. 已知定义域为R的偶函数f(x)在(

32、，0上是减函数，且f(1)2，则不等式f(log2x)2的解集为()A(2，) B.(2，)C.(，) D(，)【解析】f(x)是R上的偶函数，且在(，0上是减函数，所以f(x)在0，)上是增函数，所以f(log2x)2f(1)f(|log2x|)f(1)|log2x|1log2x1或log2x2或0x.故选B.6. 已知偶函数f(x)对于任意xR都有f(x1)f(x)，且f(x)在区间0,1上是单调递增的，则f(6.5)，f(1)，f(0)的大小关系是()Af(0)f(6.5)f(1)Bf(6.5)f(0)f(1)Cf(1)f(6.5)f(0)Df(1)f(0)f(6.5)【解析】由f(x1

33、)f(x)，得f(x2)f(x1)f(x)，函数f(x)的周期是2.函数f(x)为偶函数，f(6.5)f(0.5)f(0.5)，f(1)f(1)f(x)在区间0,1上是单调递增的，f(0)f(0.5)f(1)，即f(0)f(6.5)f(1)故选A.7. 若f(x)是定义在(，)上的偶函数，x1，x20，)(x1x2)，有0，则()Af(3)f(1)f(2) Bf(1)f(2)f(3)Cf(2)f(1)f(3) Df(3)f(2)f(1)【解析】因为x1，x20，)(x1x2)，有0，所以当x0时，函数f(x)为减函数，因为f(x)是定义在(，)上的偶函数，所以f(3)f(2)f(1)，即f(3

34、)f(2)f(1)故选D.8. 已知f(x)是定义在2b，1b上的偶函数，且在2b，0上为增函数，则f(x1)f(2x)的解集为()A B C1，1 D【解析】因为f(x)是定义在2b，1b上的偶函数，所以2b1b0，所以b1，因为f(x)在2b，0上为增函数，即函数f(x)在2，0上为增函数，故函数f(x)在(0，2上为减函数，则由f(x1)f(2x)，可得|x1|2x|，即(x1)24x2，解得1x.又因为定义域为2，2，所以解得综上，所求不等式的解集为.故选B【多选题】9. 下列函数中，既是偶函数又在(0，)上单调递增的函数是()Ayx2By|x1|Cy|x|1 Dy2x【解析】选项A，

35、C中的函数为偶函数且在(0，)上单调递增；选项B，D中的函数均为非奇非偶函数所以排除选项B，D，故选AC.10. 若函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)2g(x)ex，则()Af(x) Bg(x)Cf(2)g(1) Dg(1)f(3)【解析】因为函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)2g(x)ex，所以f(x)2g(x)ex，即f(x)2g(x)ex.联立解得所以f(2)，f(3)，g(1)0，所以g(1)f(2)，g(1)x1f(x2)x2f(x1)，则称函数yf(x)为“H函数”下列函数为“H函数”的是()Af(x)sin

36、x Bf(x)3xCf(x)x33x Df(x)x|x|【解析】根据题意，对于任意的不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)恒成立，则有(x1x2)f(x1)f(x2)0恒成立，即函数f(x)是定义在R上的增函数，则“H函数”为奇函数且在R上为增函数对于A，f(x)sin x为正弦函数，是奇函数但不是增函数，不符合题意； 对于B，f(x)3x3xf(x)，故f(x)为奇函数，由指数函数性质可得f(x)在R上单调递增，符合题意； 对于C，f(x)x33x为奇函数，但在R上不是增函数，不符合题意； 对于D，f(x)x|x|为奇函数且在R上为增函数，符合题

37、意，故选BD12. 函数f(x)的定义域为R，且f(x1)与f(x2)都为奇函数，则()Af(x)为奇函数 Bf(x)为周期函数Cf(x3)为奇函数 Df(x4)为偶函数【解析】根据题意f(x1)为奇函数，所以f(x)的图象关于(1，0)对称，所以f(x1)f(1x)，同理，f(x2)为奇函数，则f(x)的图象关于(2，0)对称，所以f(x2)f(2x)，所以f(x1)1f2(x1)f(1x)，由式知f(x2)f(x1)，所以T1，所以f(x)是周期函数，有一个周期是2，故B选项正确，因为f(x1)f(1x)f(x)，所以f(x)关于(0，0)对称，故A选项正确，由T2及f(x)关于(1，0)

38、对称知f(x)关于(3，0)对称，所以f(x3)关于(0，0)对称，故C选项正确故为ABC【填空题】13. 已知f(x)是R上的偶函数，且当x0时，f(x)x2x1，则当x0时，f(x)_【解析】因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以当x0.由已知f(x)(x)2(x)1x2x1f(x)，所以f(x)x2x1.答案：x2x114. 若函数f(x)为奇函数，则实数a的值为_，且当x4时，f(x)的最大值为_【解析】由f(x)为奇函数易知a2，当x4时，f(x)在4，)上单调递减，所以当x4时，f(x)max.答案：215. 已知f(x)是定义域为(，)的奇函数，满足f(1x)f(1x)若f(1)

39、2，则f(1)f(2)f(3)f(50)_【解析】因为f(x)在R上是奇函数，且f(1x)f(1x)所以f(x1)f(x1)，即f(x2)f(x)因此f(x4)f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，由于f(1x)f(1x)，f(1)2，故令x1，得f(0)f(2)0，令x2，得f(3)f(1)f(1)2，令x3，得f(4)f(2)f(2)0，故f(1)f(2)f(3)f(4)20200，所以f(1)f(2)f(3)f(50)120f(1)f(2)2.16. 已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x4)f(x2)若当x3，0时，f(x)6x，则f(2 023)_【解析】因为f(x4)f(x

40、2)，所以f(x6)f(x)，则T6是f(x)的周期所以f(2 023)f(33761)f(1)又f(x)在R上是偶函数，所以f(1)f(1)6(1)6，即f(2 023)6.答案：6【解答题】17. 设f(x)是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f(1x)f(1x)，当1x0时，f(x)x.(1)判定f(x)的奇偶性；(2)试求出函数f(x)在区间1，2上的表达式【解析】(1)因为f(1x)f(1x)，所以f(x)f(2x)又f(x2)f(x)，所以f(x)f(x)又f(x)的定义域为R，所以f(x)是偶函数(2)当x0，1时，x1，0，则f(x)f(x)x；从而当1x2时，1x20，

41、f(x)f(x2)(x2)x2.故f(x)18. 设f(x)是(，)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x.(1)求f()的值；(2)当4x4时，求f(x)的图象与x轴所围成的图形的面积【解析】(1)由f(x2)f(x)，得f(x4)f(x2)2)f(x2)f(x)，所以f(x)是以4为周期的周期函数所以f()f(14)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得f(x1)2)f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)从而可知函数yf(x)的图象关于直线x1对称又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示

42、设当4x4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB44.19. 已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围【解析】(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，于是x0时，f(x)x22xx2mx，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以10时，f(x)0.(1)求f(0)的值；(2)判断函数的奇偶性并证明；(3)判断函数的单调性，并解不等式f(x)f(2x)2.【解析】(1)令xy0，则f(0)f(0)f(0)，f(

43、0)0.(2)f(x)是奇函数，证明如下：令yx，得f(0)f(x)f(x)0，f(x)f(x)，故函数f(x)是R上的奇函数(3)f(x)是R上的增函数，证明如下：任取x1，x2R，x10，f(x2)f(x1)f(x2x1x1)f(x1)f(x2x1)f(x1)f(x1)f(x2x1)0，f(x1)f(x2)，故f(x)是R上的增函数，f1，ffff2，f(x)f(2x)f(x(2x)f(2x2)f，又由yf(x)是定义在R上的增函数，得2x2，解得x，故x.22. 函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)

44、判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上单调递增，求x的取值范围【解析】(1)因为对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，所以令x1x21，得f(1)2f(1)，所以f(1)0.(2)f(x)为偶函数，证明如下：f(x)的定义域关于原点对称，令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，所以f(1)f(1)0.令x11，x2x，得f(x)f(1)f(x)，所以f(x)f(x)，所以f(x)为偶函数(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知f(x)是偶函数，所以f(x1)2等价于f(|x1|)f(16)又f(x)在(0，)上单调递增，所以0|x1|16，解得15x17且x1，所以x的取值范围是(15,1)(1,17)