24.1 圆的基本认识【九大题型】（人教版）（教师版）.docx

1、专题24.1 圆的基本认识【九大题型】【人教版】【题型1 圆的有关概念辨析】1【题型2 求圆中弦的条数】3【题型3 求圆内最长一点的弦】5【题型4 圆的周长与面积问题】6【题型5 确定圆的条件】10【题型6 点与圆的位置关系】12【题型7 圆中角度的计算】14【题型8 圆中线段长度的计算】17【题型9 求一点到圆上点的距离的最值】21【知识点1 圆的有关概念】圆：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径以O点为圆心的圆，记作“O”，读作“圆O”定义：圆可以看做是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合弦:连接圆上任意

2、两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径，弧:圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧【题型1 圆的有关概念辨析】【例1】（2023春江苏无锡九年级统考期中）已知线段AB的中点为M，动点P满足AB=2PM，则点P的轨迹是（）A以AB为直径的圆 BAB的延长线 CAB的垂直平分线 D平行AB的直线【答案】A【分析】根据圆的有关概念即可分析判断【详解】解：线段AB的中点为M，MA=MB=12AB，AB=2PM，PM=MA=MB=12AB，点P在以点M为圆心，AB为直径的圆上，故选：A【点睛】本题考查了圆的有

3、关认识，掌握圆的有关概念是解题的关键【变式1-1】（2023春新疆乌鲁木齐九年级乌市八中校考期中）下列说法中，不正确的是（）A直径是最长的弦B同圆中，所有的半径都相等C长度相等的弧是等弧D圆既是轴对称图形又是中心对称【答案】B【分析】根据弦的定义、中心对称图形和轴对称图形定义、等弧定义可得答案【详解】A、直径是最长的弦，说法正确，故A选项不符合题意；B、同圆中，所有的半径都相等，说法正确，故B选项不符合题意；C、在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，说法错误，故C选项符合题意；D、圆既是轴对称图形又是中心对称，说法正确，故D选项不符合题意；故选：C【点睛】此题主要考查了圆的认识，掌握在同圆或等圆

4、中，能重合的弧叫等弧，是解题的关键【变式1-2】（2023春山东临沂九年级统考期中）下列说法中正确的有 （填序号）（1）直径是圆中最大的弦；（2）长度相等的两条弧一定是等弧；（3）半径相等的两个圆是等圆；（4）面积相等的两个圆是等圆；（5）同一条弦所对的两条弧一定是等弧【答案】（1）（3）（4）【分析】根据弦、等圆、等弧的定义分别分析即可【详解】解：（1）直径是圆中最大的弦，说法正确；（2）长度相等的两条弧一定是等弧，说法错误，在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同；（3）半径相等的两个圆是等圆，说法正确；（4）面积相等的两个圆是等圆，说法正确；（5）同一条

5、弦所对的两条弧一定是等弧，说法错误，同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦是直径故答案为：（1）（3）（4）【点睛】本题考查了圆的有关概念，熟练掌握弦、等圆、等弧的定义是解题的关键【变式1-3】（2023春黑龙江绥化九年级统考期末）一个长方形的长是4厘米，宽是2厘米，在长方形内画一个最大的圆，其直径等于 【答案】2厘米【分析】根据在一个长方形内画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的短边的长，即可得到答案【详解】解：长方形的长是4厘米，宽是2厘米在长方形内画一个最大的圆，其直径等于2厘米，故答案为：2厘米【点睛】本题主要考查了圆的直径，明确在一个长方形内画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的短

6、边的长，是解题的关键【题型2 求圆中弦的条数】【例2】（2023春河南濮阳九年级统考期末）如图，O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有（ ）A2条B3条C4条D5条【答案】B【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案【详解】解：图中的弦有AB，BC，CE共三条故选B【点睛】理解弦的定义是解决本题的关键【变式2-1】（2023春北京昌平九年级校考期末）过圆内的一点(非圆心)有 条弦，有 条直径【答案】 无数 一【分析】根据弦和直径的定义求解【详解】过圆内一点（非圆心）有无数条弦，有1条直径故答案为：无数，1【点睛】本题考查了圆的认识：圆可以看做是所有到定点O的距离等于

7、定长r的点的集合掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）【变式2-2】（2023春湖北恩施九年级校考期中）如图，图中的弦共有（）A1条B2条C3条D4条【答案】B【分析】根据弦的定义解答即可【详解】解：图形中有弦AB和弦CD，共2条，故选B【点睛】本题考查弦的定义，熟记弦的定义是解题的关键【变式2-3】（2013秋北京海淀九年级统考期中）如图，O的半径为5，点P到圆心O的距离为10，如果过点P作弦，那么长度为整数值的弦的条数为()A3B4C5D6【答案】B【分析】分别求出过点P的最长的弦长和最短的弦长，进行判断即可【详解】解：当过点P的弦，过圆心时，弦为圆的直径

8、，此时弦长最长，O的半径为5，O的直径为10，即此时的弦长为10，当OP垂直于过点P的弦时，此时弦长最短，由垂径定理，可得：弦长=252-102=215；设过点P的弦长为x，则215x10，长度为整数值的弦的条数为5条；故选C【点睛】本题考查圆中的弦长的取值范围解题的关键是掌握直径是圆中最长的弦，以及利用垂径定理求值【题型3 求圆内最长一点的弦】【例3】（2023春浙江杭州九年级统考期末）已知AB是半径为2的圆的一条弦，则AB的长可能是（）A4B5C6D7【答案】A【分析】求出圆的直径，根据直径是圆中最长的弦判断即可【详解】圆的半径为2，圆的直径为4，AB是半径为2的圆的一条弦，0AB4，故选

9、：A【点睛】此题考查了圆的弦的性质：直径是圆中最长的弦，正确理解是解题的关键【变式3-1】（2023浙江九年级专题练习）已知O中最长的弦为16cm，则O的半径为 cm【答案】8cm【详解】试题分析：O最长的弦就是直径从而不难求得半径的长试题解析：O中最长的弦为16cm，即直径为16cm，O的半径为8cm考点：圆的认识【变式3-2】（2023春福建福州九年级统考期中）已知AB是直径为10的圆的一条弦，则AB的长度不可能是（）A2B5C9D11【答案】A【分析】根据圆中最长的弦为直径求解【详解】解：因为圆中最长的弦为直径，所以弦长10AB的长度不可能是11；故选：D【点睛】本题考查了圆的认识，在本

10、题中，圆的弦长的取值范围010【变式3-3】（2023春江苏宿迁九年级统考期中）如图，AB为O的直径，AB6cm，点C在AB延长线上且BC3cm，点P为O上动点，则OPC的面积的最大值是 cm2【答案】9【分析】作PHAB于H，如图，利用三角形面积公式得到SOPC12OCPH3PH，则当PH最大时，SOPC有最大值，然后利用PHOP得到PH最大值为3，从而得到SOPC有最大值9【详解】解：作PHAB于H，如图，OC=OBBC=12AB+BC=6SOPC12OCPH126PH3PH，当PH最大时，SOPC有最大值，PHOP，当PHOP3时，PH最大，SOPC有最大值9，即OPC的面积的最大值是9

11、cm2故答案为9【点睛】此题考查的是三角形的面积和圆的基本性质，掌握圆的基本性质和线段的最值问题是解决此题的关键.【题型4 圆的周长与面积问题】【例4】（2023春上海青浦九年级校考期末）如果大圆周长比小圆周长大14，那么小圆面积比大圆面积小（）A34B15C916D925【答案】A【分析】设小圆的周长为a，则大圆周长为a+14a=54a，表示出小圆面积和大圆面积，求出小圆面积比大圆面积小多少即可解得【详解】解：设小圆的周长为a，则大圆周长为a+14a=54a，小圆半径为a2，大圆半径为5a8，小圆面积为(a2)2=a24，大圆的面积为(5a8)2=25a264，小圆面积比大圆面积小25a26

12、4-a24=9a264，9a26425a264=925，小圆面积比大圆面积小925，故选：D【点睛】本题考查圆的周长和面积，解题的关键是掌握圆的周长和面积的计算方法【变式4-1】（2023春上海徐汇九年级上海市徐汇中学校考期末）某同学用所学过的圆与扇形的知识设计了一个问号，如图中阴影部分所示，已知图中的大圆半径为4，两个小圆的半径均为2，请计算图中阴影部分的周长和面积【答案】阴影部分的周长为48.82，阴影部分的面积为40.82【分析】根据圆的周长和面积公式分别求出阴影的周长和面积，再进行运算即可【详解】解：C阴影=2R大圆-R小圆+34C大圆+C小圆+C小圆=24-2+3424+22+22=

13、8+1348.82；S阴影=34S大圆+S小圆+S小圆=3442+22+22=1340.82.答：阴影部分的周长为48.82，阴影部分的面积为40.82【点睛】本题考查了圆的面积、周长公式的运用；能够熟练运用公式，并正确化简计算是解题的关键【变式4-2】（2023春九年级统考期末）如图所示，两个圆的圆心相同，圆环的面积是8，则阴影部分的面积是 （结果保留）【答案】8【分析】设大圆的半径为R，小圆的半径为r，然后根据圆环面积得到R2-r2=8，则S阴影=R2-r2=8【详解】解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r，由题意得，R2-r2=8，S阴影=R2-r2=8，故答案为：8【点睛】本题主要考查了

14、圆的面积计算，正确理解题意是解题的关键【变式4-3】（2023春江苏无锡九年级统考期末）（1）倍圆问题；如图1，已知O，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以O为圆心，面积是原O的两倍的圆；均分问题：如图2，已知O，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以O为圆心，面积是原O的一半的圆；（不写作法，但需保留作图痕迹）（2）若O的半径为5，则上述所作圆的周长分别是 ， 【答案】（1）见解析；见解析（2）102，52【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）根据倍圆和均分圆的性质可得所作圆的半径，再求周长即可【详解】解：（1）作直径AB，过O作AB的垂线交圆与D，连接BD，以O为圆心，BD为半径画圆，如图如图，

15、以OC为半径作圆（或以OB为斜边作等腰直角三角形OCB）（2） O的半径为5，原来圆的面积为25，倍圆问题中，所作圆面积为原来圆的2倍，设所作圆半径为r， r2=50，得r=52，所作倍圆的圆周长为2r=102，均分问题中，所作圆面积为原来圆的12倍，设所作圆半径为r1， r2=252，得r1=522，所作均分圆的圆周长为2r1=52【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，圆的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题【知识点2 确定圆的条件】不在同一直线上的三点确定一个圆注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆“确定

16、”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆【题型5 确定圆的条件】【例5】（2023浙江九年级假期作业）已知M（1，2），N（3，3），P（x，y）三点可以确定一个圆，则以下P点坐标不满足要求的是（）A（3，5）B（3，5）C（1，2）D（1，2）【答案】B【分析】先利用待定系数法求出直线MN的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆即可得出答案【详解】解：设直线MN的解析式为y=kx+b，将点M(1,2),N(3,-3)代入得：k+b=23k+b=-3

17、，解得k=-52b=92，则直线MN的解析式为y=-52x+92，A、当x=3时，y=-523+92=-35，则此时点M,N,P不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；B、当x=-3时，y=-52(-3)+92=125，则此时点M,N,P不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；C、当x=1时，y=-521+92=2，则此时点M,N,P在同一直线上，不可以确定一个圆，此项符合题意；D、当x=1时，y=-521+92=2-2，则此时点M,N,P不在同一直线上，可以确定一个圆，此项不符题意；故选：C【点睛】本题考查了确定一个圆、求一次函数的解析式，熟练掌握确定一个圆的条件是解题关键【变式

18、5-1】（2023春浙江九年级统考期末）给定下列条件可以确定唯一的一个圆的是（）A已知圆心B已知半径C已知直径D不在同一直线上的三个点【答案】A【分析】根据确定圆的条件，逐一判断选项，即可得到答案【详解】A. 已知圆心，但半径不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，B. 已知半径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，C. 已知直径，但圆心位置不确定，不可以确定唯一的一个圆，不符合题意，D. 不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，符合题意故选D【点睛】本题主要考查确定圆的条件，掌握不在同一直线上的三个点确定一个圆，是解题的关键【变式5-2】（2023江西统考中考真题）如图

19、，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（）A3个B4个C5个D6个【答案】A【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点P可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解【详解】解：依题意，A,B；A,C；A,D；B,C；B,D，C,D加上点P可以画出一个圆，共有6个，故选：D【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键【变式5-3】（2023全国九年级专题练习）已知：A，B，C，D，E五个点中无任何三点共线，无任何四点共圆，那么过其中的三点作圆，最多能作出()A5个圆B8个圆C10个圆D12个圆【答案】B

20、【分析】根据过不共线三点可作一个圆，找出不共线三点的组数即可【详解】解：过其中的三点作圆，最多能作出10个，即分别过点ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE的圆故选C【点睛】本题考查三点共圆问题，掌握查确定圆的个数方法是解题关键【知识点3 点与圆的位置关系】设O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d，则有：点P在圆外dr；点P在圆上d=r；点P在圆内dr.【题型6 点与圆的位置关系】【例6】（2023春浙江宁波九年级统考期末）如图，在RtABC中，C=90，AC=8，BC=14，点D在边BC上，CD=6，以点D为圆心作D，其半径长为r，要使点A恰在D外，

21、点B在D内，则r的取值范围是（）A8r10B6r8C6r10D2r14【答案】A【分析】先根据勾股定理求出AD的长，进而得出BD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论【详解】解：在RtABC中，C=90，AC=8，CD=6，则BD=BC-CD=14-6=8，AD=AC2+CD2=82+62=10，点A恰在D外，点B在D内，8rr；点P在圆上d=r；点P在圆内dr，点p在O外故答案为：外【点睛】本题主要考查了点和圆的位置关系，解决问题的关键是熟练掌握两点之间的距离公式，运用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系判断点与圆的位置关系.【变式6-2】（2023春山东滨州九年级统考期末）已知O的半径是8，点

22、P到圆心O的距离d为方程x2-4x-5=0的一个根，则点P在（）AO的内部BO的外部CO上或O的内部DO上或O的外部【答案】A【分析】解一元二次方程根据点与圆的关系直接判定即可得到答案【详解】解：解方程可得，x1=5，x2=-1，点P到圆心O的距离d为方程x2-4x-5=0的一个根，d=58，点P在O的内部，故选A【点睛】本题考查解一元二次方程及点与圆的关系，解题的关键是正确解方程及掌握点到圆心距离与圆半径关系判断点与圆的关系【变式6-3】（2023春河南南阳九年级校考期末）已知点P为平面内一点，若点P到O上的点的最长距离为5，最短距离为1，则O的半径为 【答案】3或2【分析】本题应分两种情况

23、进行讨论，当P在圆内，直径长度为5+1=6，半径为3；当P在圆外，直径长度为5-1=4，半径为2【详解】解：当P在圆内，直径长度为5+1=6，半径为3，当P在圆外，直径长度为5-1=4，半径为2，O的半径为3或2故答案为：3或2【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，在解答此题时要注意分类讨论【题型7 圆中角度的计算】【例7】（2023春河南洛阳九年级统考期末）如图，AB为半圆O的直径，OCAB，OD平分BOC，交半圆于点D，AD交OC于点E，则AEO的度数是()A75B67.5C60D30【答案】B【分析】连接OD，由题意可知，COB=AOC=90，由角平分线性质得到DOB=12COB=45，

24、再根据圆的半径相等得到AO=OD，由三角形外角性质及等边对等角解得OAD=22.5，最后由直角三角形两个锐角互余解答【详解】解：连接ODOCABCOB=AOC=90 OD平分BOC，DOB=12COB=45AO=ODOAD=ADO=12DOB=1245=22.5AEO=90-OAE=90-22.5=67.5故选：B【点睛】本题考查圆的基本性质，涉及等边对等角、三角形的外角性质、直角三角形两个锐角互余等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键【变式7-1】（2023春河北石家庄九年级校考期中）如图所示，MN为O的弦，N=50，则MON的度数为（）A100B40C50D80【答案】A【分析】根据圆

25、的性质，等腰三角形的性质计算即可【详解】MN为O的弦，N=50，OM=ON，M=N=50，MON=80，故选D【点睛】本题考查了圆的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握两条性质是解题的关键【变式7-2】（2023春江苏淮安九年级校考期末）如图，AB是O的直径，C是BA延长线上一点，点D在O上，且CD=OA，CD的延长线交O于点E，若E=40，那么C= 【答案】20【分析】连接OD，利用半径相等和等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质证明E=2C，即可解决问题【详解】解：连接OD，OD=OA=OE，CD=OA，E=40，CD=OD=OE，C=DOC，E=ODE，E=ODE=C+DOC=2C，2C=E

26、=40，C=20故答案为：20【点睛】本题考查圆的认识，等腰三角形的性质，三角形外角的性质熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角性质是关键【变式7-3】（2023春浙江绍兴九年级统考期末）如图，点A，B，C在O上，ABO=32，ACO=36，则BOC等于 【答案】136【分析】过A、O作O的直径AD，分别在等腰OAB、等腰OAC中，根据三角形外角的性质求解即可【详解】解：过A作O的直径，交O于D；在OAB中，OAOB，则BODOBAOAB23264，同理可得：CODOCAOAC23672，故BOCBODCOD136故答案为：136【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的外角性质，解答本题的关

27、键是求出COD及BOD的度数【题型8 圆中线段长度的计算】【例8】（2023春广东广州九年级统考期末）如图，O的半径为2，将O的直径AB绕点B顺时针旋转090得到线段BC，BC与O交于点F，过点C作CDAB于点D，连接DF当=60时，CF的长度为 ；当BF=3CF时，DF的长度为 【答案】 2 7【分析】连接OF，根据旋转的性质可得到ABC=BC=60,AB=4，从而得到OBF是等边三角形，进而得到BF=OB=2可求出CF；过点F作FGAB于点G，根据BF=3CF，可得BF=3，再由BFG=30，可得BG=12BF=32，再由勾股定理可得FG=332，再根据直角三角形的性质可得BD=12BC=

28、2，从而得到DG的长，再由勾股定理，即可求解【详解】解：如图，连接OF，O的直径AB绕点B顺时针旋转090得到线段BC，O的半径为2，ABC=BC=60,AB=4，OF=OB，OBF是等边三角形，BF=OB=2，CF=BC-BF=4-2=2；如图，过点F作FGAB于点G，BF=3CF，BF=34BC=344=3，BGF=90,ABC=60，BFG=30，BG=12BF=32，FG=BF2-BG2=332，CDAB，即CDB=90，C=30，BD=12BC=2，DG=BD-BG=2-32=12，DF=DG2+GF2=14+274=7故答案为：2；7【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，图形的旋转，

29、勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握圆的基本性质，图形的旋转，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质是解题的关键【变式8-1】（2023春浙江衢州九年级统考期末）如图，ABCO的顶点A，B，C在O上，若AB2，则ABCO的周长是 【答案】8【分析】证明四边形ABCO是菱形，即可得到周长【详解】解：四边形ABCO是平行四边形，OA=OC，四边形ABCO是菱形，ABCO的周长是24=8，故答案为：8【点睛】此题考查了菱形的判定及性质定理，圆的半径相等的性质，熟记菱形的判定定理是解题的关键【变式8-2】（2023春安徽滁州九年级校考期末）如图，在RtABC中，C=

30、90，AB=10cm，若以点C为圆心，CB的长为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC的长等于（）A5cmB6cmC52cmD53cm【答案】A【分析】连接CD，由直角三角形斜边中线定理可得CD=BD，然后可得CDB是等边三角形，则有BD=BC=5cm，进而根据勾股定理可求解【详解】解：连接CD，如图所示：点D是AB的中点，C=90，AB=10cm，CD=BD=12AB=5cm，CD=BC，CD=BD=BC=5cm，在RtACB中，由勾股定理可得AC=AB2-BC2=53cm；故选D【点睛】本题主要考查圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及勾股定理，熟练掌握圆的基本性质、直角三角形斜边中线定理及

31、勾股定理是解题的关键【变式8-3】（2023春山东济宁九年级校考阶段练习）如图，AC是O的弦，AC=5，点B是O上的一个动点，且BAC=45，若点M、N分别是AC，BC的中点，则MN的最大值是 【答案】522【分析】根据中位线定理得到MN的长最大时，AB最大，当AB最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值【详解】解：点M，N分别是BC，AC的中点，MN=12AB，当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，连接AO并延长交O于点B，连接CB，AB是O的直径，ACB=90ABC=45，AC=5，ABC=45，AB=522=52，MN最大=522故答案为：522【点睛】本题

32、考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及解直角三角形的综合运用，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大【题型9 求一点到圆上点的距离的最值】【例9】（2023春山东泰安九年级校考期末）如图，M的半径为4，圆心M的坐标为(6，8)，点P是M上的任意一点，PAPB，且PA、PB与x轴分别交于A、B两点，若点A、点B关于原点O对称，则AB的最大值为（）A13B14C12D28【答案】A【分析】由RtAPB中AB=2OP知要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，连接OM，并延长交M于点P，当点P位于P位置时，OP取得最大值，据此求解可得【详解】解：连接PO，PAPB，APB=90，点

33、 A、点B关于原点O对称，AO=BO，AB=2PO，若要使AB取得最大值，则PO需取得最大值，连接OM，并延长交M于点P，当点P位于P位置时，OP取得最大值，过点M作MQx轴于点Q，则OQ=6、MQ=8，OM=10，又MP=r=4，OP=MO+MP=10+4=14，AB=2OP=214=28；故选：D【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置【变式9-1】（2023春河南新乡九年级统考期末）如图，在RtABC中，ACB=90，AC=BC=22，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP=1，将CP绕点C在平面内旋转，点P

34、的对应点为点Q，连接DQ则DQ的长度的取值范围是 【答案】1DQ3【分析】以点C为圆心，CP为半径作圆，连接CD并延长，交C于点Q和Q，根据题意可得AB=4，CDAB，CD=AD=2，根据分析图中DQ为最大值，DQ为最小值【详解】解：如图，以点C为圆心，CP为半径作圆，连接CD并延长，交C于点Q和Q，ACB=90，AC=BC=22，AB=AC2+BC2=222+222=4，点D为AB的中点，CDAB，CD=AD=12AB=2，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，CP=1，点Q在以点C为圆心，CP为半径的圆上，CDA=90，点C、D、Q三点共线，由图可知，Q可能在线段CD上，此时，DQ

35、取得最小值：DQ=CD-CQ=CD-CP=2-1=1，也可能在CD延长线上，此时，DQ取得最大值：DQ=CD+CQ=CD+CP=2+1=3，DQ的长度的取值范围是1DQ3故答案：1DQ3【点睛】本题考查勾股定理、旋转的性质、等腰三角形三线合一的性质分析出当CDA=90时，点Q有两种情况并找出DQ的最大值与最小值是解题的关键【变式9-2】（2023春广东茂名九年级期末）如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，动点E在矩形的边AB上运动，连接DE，作点A关于DE的对称点P，连接BP，则BP的最小值为 【答案】213-6【分析】根据对称的性质可得P在以D为圆心的圆上，半径为6，连接BD，交圆D于P

36、，然后根据勾股定理可得问题的答案【详解】解：点A关于DE的对称点P，DA=DP=6，P在以D为圆心的圆上，半径为6的一段弧上，连接BD，交圆D于P，BP为最小值，AB=4，AD=6，DAB=90，BD=42+62=213，半径为6，即DP=6，BP=213-6故答案为：213-6【点睛】本题考查的是圆的基本性质，矩形的性质，轴对称的性质，掌握相应性质是解决此题关键【变式9-3】（2023春广东汕尾九年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E，F分别是AD，DC边上的动点，且EF=4，点G为EF的中点，点P为BC上的一动点，则PA+PG的最小值为 【答案】8【分析】根据EF=

37、4，点G为EF的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出DG=2，可知G点的轨迹为：交以D为圆心，以2为半径的圆弧（一部分），作A关于BC的对称点A，连接AD，交BC于P，交以D为圆心，以2为半径的圆于G，此时PA+PG的值最小，最小值为AG的长；根据勾股定理求得AD=10，即可求得AG=AD-DG=10-2=8，即问题得解【详解】解：EF=4，点G为EF的中点，DG=2，G点的轨迹是以D为圆心，以2为半径的圆弧（一部分），作A关于BC的对称点A，连接AD，交BC于P，当G点刚好在直线AD上时，此时PA+PG的值最小，最小值为AG的长；AB=4，AD=6， AA=8，在Rt AAD利用勾股定理有AD=10， AG=AD-DG=10-2=8，PA+PG的最小值为8， 故答案为：8【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，判断出G点的轨迹是解题的关键凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点