4.2 第2课时 指数函数及其性质的应用-2020-2021学年高一数学新教材配套学案（人教A版必修第一册）.docx

1、4.2 第2课时 指数函数及其性质的应用 【学习目标】课程标准学科素养1掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断2能借助指数函数图象及单调性比较大小3会解简单的指数方程、不等式4了解与指数函数相关的函数奇偶性的判断方法1、直观想象2、数学运算3、数形结合【自主学习】1.图象位置关系一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图象时，图象的相对位置与底数大小有如下关系：(1)“底大图高”：在y轴右侧，图象从上到下相应的底数 ；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数 .即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x1时，ya去理解，如图.(2)指数函数yax与yx

2、(a0且a1)的图象关于 对称.2.比较大小(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的 来判断；(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的 的变化规律来判断；(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过 来判断.3.解指数方程、不等式(1)形如af(x)ag(x)的不等式，可借助yax的 求解；(2)形如af(x)b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助yax的 求解；(3)形如axbx的不等式，可借助两函数yax，ybx的图象求解.4.指数型函数的单调性一般地，有形如yaf(x)(a0，且a1)函数的性质(1)函数yaf(x)与函数yf(x)有

3、的定义域.(2)当a1时，函数yaf(x)与yf(x)具有 的单调性；当0a0.3b，则ab.()(2)函数y3x2在0，)上为增函数()(3)函数y2在其定义域上为减函数()(4)若am1，则m0.()2.方程42x116的解是()A.x B.x C.x1 D.x23若函数f(x)(12a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是()A. B. C. D.【经典例题】题型一利用指数函数的单调性比较大小注意：当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和1.例1(1)比较下列各题中两个值的大小.1.72.5,1.73； 1.70.3,1.50.3； 1.70

4、.3,0.83.1.(2)设a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A.abc B.acb C.bac D.bca跟踪训练 1 (1)下列大小关系正确的是()A.0.4330.40 B.0.43030.4 C.30.40.430 D.030.4bc Bbac Ccba Dcab题型二简单的指数不等式的解法方法：(1)形如axay的不等式：可借助yax的单调性求解如果a的值不确定，需分0a1两种情况讨论(2)形如axb的不等式：注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解例2 (1)不等式4xax7(a0且a1)，求x的取值范围跟踪训练 2 (

5、1)已知集合M1,1，N，则MN()A1,1 B1 C0 D1,0（2）已知(a2a2)x(a2a2)1x，则x的取值范围是_.题型三指数型函数的单调性(1)关于指数型函数yaf(x)(a0，且a1)的单调性由两点决定，一是底数a1还是0a1；二是f(x)的单调性，它由两个函数yau，uf(x)复合而成.(2)求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成yf(u)，u(x)，通过考察f(u)和(x)的单调性，求出yf(x)的单调性.例3(1)函数y 的单调递减区间是()A.(，) B.(，0)C.(0，) D.(，0)和(0，)(2)已知函数f(x)x22x，判断函数f(x)的

6、单调性；并求函数f(x)的值域跟踪训练 3求函数y 的单调区间.题型四指数函数性质的综合问题注意：注意代数式的变形,如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧.解答函数问题注意应在函数定义域内进行.由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论.例4 已知定义在R上的函数f(x)a是奇函数.(1)求a的值；(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；(3)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)2.53 B0.820.83 C20.90.52.已知函数f(x)3x，则f(x)()A.是奇函数，且在R上是增函数 B.是偶函数，且在R上是增函数C.是奇函数，且在

7、R上是减函数 D.是偶函数，且在R上是减函数3函数y1x的单调增区间为()A(，) B(0，) C(1，) D(0,1)4.函数yx，y2x，y3x的图象(如图)分别是_.(用序号作答)5.不等式232x0，且a1).8已知函数f(x)2x22x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在0,3上的值域【参考答案】【自主学习】1.由大变小 由大变小 y轴 2.单调性 图象 中间值3.单调性4.相同 相同 相反【小试牛刀】1.(1)(2)(3)(4)2. B 解析42x142，2x12，x.3. B 解析由已知，得012a1，解得0a1.501，0.60.60.60.6，又函数y0.

8、6x在(，)上是减函数，且1.50.6，所以0.61.50.60.6，故0.61.50.60.61.50.6，选C.跟踪训练 1 (1) B 解析 0.430.4010300.80.9，即ab.又0.80.71，0.80.71.20.8，即aab.选D.例2 （1） 解析4x423x，x23x，x1时，a5xax7，且函数yax为增函数，5xx7，解得x.当0aax7，且函数yax为减函数，5x.综上所述，当a1时，x的取值范围为.当0a1，(a2a2)x(a2a2)1xx1xx.x.例3 （1） D 解析设u，则y3u，对任意的0x1u2.又因为y3u在R上是增函数，所以y1y2，所以y在(

9、0，)上是减函数.对任意的x1x2u2，又因为y3u在R上是增函数，所以y1y2，所以y在(，0)上是减函数.所以函数y的单调递减区间是(，0)和(0，).（3） 令ux22x，则原函数变为yu.ux22x(x1)21在(，1上单调递减，在1，)上单调递增，又yu在(，)上单调递减，yx22x在(，1上单调递增，在1，)上单调递减ux22x(x1)211，yu，u1，)，01时，y关于u为增函数；当0a1时，原函数的增区间为1，)，减区间为(，1；当0a1时，原函数的增区间为(，1，减区间为1，).例4 解(1)f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，f(0)0，即a0，a.(2)由(1)知

10、f(x)，故f(x)在R上为减函数.(3)f(x)为奇函数，f(t22t)f(2t2k)0可化为f(t22t)k2t2，即3t22tk0对于一切tR恒成立，412k0，得k，k的取值范围是.跟踪训练 4 (1)证明由题意知f(x)的定义域为R，f(x)f(x)，所以f(x)为奇函数(2)解f(x)在定义域上是增函数证明如下：任取x1，x2R，且x1x2，f(x2)f(x1)(1)(1).x10, 10, 10，f(x2)f(x1)，f(x)为R上的增函数(3)解f(x)1，3x03x110220，110.90.5.2. A 解析f(x)的定义域为R，f(x)3x3xf(x)，则f(x)为奇函数

11、.y3x为增函数，y为减函数，则f(x)3x为增函数，故选A.3. A 解析 设t1x，则yt，则函数t1x的递减区间为(，),即为y1x的递增区间4.，5. x|x1 解析原不等式可化为232x243x，因为函数y2x是R上的增函数，所以32x43x，解得x1，则解集为x|x0.2，所以1.80.11.80.2.(2)因为1.90.31.901，0.73.10.73.1.(3)当a1时，函数yax是R上的增函数，又1.32.5，故a1.3a2.5；当0a1时，函数yax是R上的减函数，又1.3a2.5.8. 解(1)函数y2x22x的定义域是R.令ux22x，则y2u.当x(，1时，函数ux22x为增函数，函数y2u是增函数，所以函数y2x22x在(，1上是增函数当x1，)时，函数ux22x为减函数，函数y2u是增函数，所以函数y2x22x在1，)上是减函数综上，函数y2x22x的单调减区间是1，)，单调增区间是(，1(2)由(1)知f(x)在0,1上单调递增，在1,3上单调递减，且f(0)1，f(1)2，f(3)，所以f(x)maxf(1)2，f(x)minf(3)，所以f(x)的值域为.