6.2 指数函数（十大题型）（解析版）.docx

1、 6.2 指数函数 课程标准学习目标通过指数函数的图象及性质的理解与应用，提升直观想象素养、逻辑推理素养和数学抽象素养.（1）了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念.（2）掌握指数函数的图象及简单性质.（3）会用指数函数的图象与性质解决问题.知识点01 指数函数的概念函数（且）叫做指数函数，其中x是自变量，a为常数，函数定义域为知识点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如（且）的函数才是指数函数像，等函数都不是指数函数（2）为什么规定底数a大于零且不等于1：如果，则如果，则对于一些函数，比如，当时，在实数范围内函数值不存在如果，则是个常量，就没研究的必要了【即学即练1】（2023全国高一专题

2、练习）若函数是指数函数，则等于（）A或BCD【答案】C【解析】由题意可得，解得.故选：C.知识点02 指数函数的图象及性质时图象时图象图象性质定义域，值域，即时，图象都经过点，即时，等于底数在定义域上是单调减函数在定义域上是单调增函数时，时，时，时，既不是奇函数，也不是偶函数知识点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“”和“”两种情形讨论（2）当时，；当时，当时，的值越大，图象越靠近轴，递增速度越快当时，的值越小，图象越靠近轴，递减的速度越快（3）指数函数与的图象关于轴对称【即学即练2】（2023浙江金华高一艾青中学校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.(1)求函数在上的解析式；(2

3、)判断函数在上的单调性并用定义证明；(3)解关于m的不等式【解析】（1）任取，则，因为是定义在上的奇函数，所以，又因为当时，又因为符合上式，故的解析式为：，.（2）在上单调递增.证明：任取且，因为，则，所以，又，所以，所以，所以在上单调递增.（3）因为，是奇函数，所以原不等式可化为，则，又因为在上是单调增函数，则，即，所以或.知识点03 指数函数底数变化与图像分布规律（1），则：又即：时，（底大幂大）时，（2）特殊函数，的图像：【即学即练3】（2023全国高一专题练习）已知指数函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（）ABCD【答案】C【解析】由指数函数的图象和性质可知：，若均为正数，则，

4、根据一次函数的图象和性质得此时函数图象过一、二、三象限，即C正确；若均为负数，则，此时函数过二、三、四象限，由选项A、D可知异号，不符合题意排除，选项B可知图象过原点则也不符合题意，排除.故选：C题型一：指数函数定义的判断例1（2023高一课时练习）函数是指数函数，则有（）A或BCD，且【答案】C【解析】由指数函数的概念得，解得或当时，底数是1，不符合题意，舍去；当时，符合题意.故选：C例2（2023全国高一专题练习）下列函数：；其中为指数函数的个数是（）ABCD【答案】B【解析】指数函数解析式为且，对于，、和不符合指数函数解析式特征，错误；对于，符合指数函数解析式特征，正确.故选：B.例3（

5、2023全国高一专题练习）下列函数为指数函数的是（）ABCD【答案】C【解析】根据指数函数的定义知，可得函数不是指数函数；函数不是指数函数；函数是指数函数；函数不是指数函数.故选：C.变式1（2023全国高一专题练习）给出下列函数：；.其中指数函数的个数为（）A1B2C3D4【答案】A【解析】对于，函数的自变量在底数位置，不在指数位置，故不是指数函数；对于，函数的底数，故不是指数函数；对于，函数中的指数式的系数不为，故不是指数函数；对于，函数的底数满足，符合指数函数的定义，是指数函数.故选：A.变式2（2023全国高一专题练习）下列函数是指数函数的是（）ABCD【答案】C【解析】对于A,是幂函

6、数，对于B，系数不为1，不是指数函数，对于C, 是底数为的指数函数，对于D,底数不满足大于0且不为1，故不是指数函数，故选：C【方法技巧与总结】一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数题型二：利用指数函数的定义求参数例4（2023全国高一专题练习）若函数是指数函数，则等于（）A或BCD【答案】C【解析】因为函数是指数函数，所以.故选：C例5（2023全国高一专题练习）若函数为指数函数，则（）A或B且CD【答案】C【解析】因为函数为指数函数，则，且，解得，故选：C例6（2023全国高一专题练习）如果函数和都是指数函数，则（）AB1C9D8【答案】D【解析

7、】根据题意可得，则.故选：D变式3（2023高一课时练习）函数是指数函数，则（）A或BCD且【答案】C【解析】由指数函数定义知，同时，且，所以解得.故选：C【方法技巧与总结】系数为1题型三：求指数函数的表达式例7（2023全国高一专题练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为（ ）ABCD【答案】D【解析】设（且），则，解得，故.故选：D例8（2023全国高一专题练习）若函数的图象经过，则（）ABC3D9【答案】B【解析】因为函数的图象经过，所以，解得 ，所以，则，故选：B例9（2023高一单元测试）下列函数中，满足的是（）ABCD【答案】D【解析】对于A，A错误；对于B，B错误；对于C，C错误

8、；对于D，D正确.故选：D.变式4（2023全国高一专题练习）若函数是指数函数，且，则（）ABCD【答案】B【解析】为指数函数，可设且，解得：，.故选：B.变式5（2023河北沧州高一沧县中学校考阶段练习）已知函数是奇函数，且当时，那么当时，的解析式是（）ABCD【答案】B【解析】当时，则，所以，又因为函数是奇函数，所以，所以当时故选：B变式6（2023高一单元测试）指数函数的图象经过点，则a的值是（）ABC2D4【答案】B【解析】因为的图象经过点，所以，解得，故选：B.【方法技巧与总结】待定系数法题型四：指数型函数过定点问题例10（2023全国高一专题练习）函数，无论取何值，函数图像恒过一个

9、定点，则定点坐标为 .【答案】【解析】则定点坐标为.故答案为: .例11（2023天津滨海新高一天津市滨海新区塘沽第一中学校考期中）不论且为何值，函数的图象一定经过点，则点的坐标为 【答案】【解析】由题意可知，当时，不论为何值时，此时函数，所以的图象经过点.故答案为：例12（2023福建泉州高一校考期中）函数（且）的图像一定过点 .【答案】【解析】函数（且），令可得，即函数恒过点.故答案为：变式7（2023海南海口高一海口一中校考期中）函数且的图象必经过点 【答案】【解析】因为当时，所以函数且的图象必经过点，故答案为：变式8（2023山东泰安高一泰安一中校考期中）函数（且）的图象恒过定点是 .

10、【答案】【解析】当，即时，为定值，此时，故（且）的图象恒过定点.故答案为：【方法技巧与总结】令指数为0求解题型五：指数函数的图象问题例13（2023全国高一专题练习）函数的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（）ABCD【答案】D【解析】由图象可知，函数为减函数，从而有；法一：由图象，函数与轴的交点纵坐标，令，得，由，即，解得 .法二：函数图象可看作是由向左平移得到的，则，即.故选：D.例14（2023高一课时练习）指数函数与的图象如图所示，则（） ABCD【答案】C【解析】因为函数的图象是下降的，所以；又因为函数的图象是上升的，所以.故选：C.例15（2023全国高一专题练习）

11、函数的大致图象是（）ABCD【答案】C【解析】因为又，根据指数函数的性质知，时，函数为增函数，排除B、D；时，函数为减函数，排除A故选：C变式9（2023全国高一专题练习）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但不与该直线相交，则（）A，B，C，D，【答案】A【解析】由题意得，即，时，故，故，解得.故选：A变式10（2023全国高一专题练习）指数函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（）ABCD【答案】B【解析】由指数函数的图象可知：.令，解得，则，对应只有B选项符合题意.故选：B变式11（2023云南大理高一校考阶段练习）如图所示，函数的图象是（）ABCD【答案】B【解析】，时，当时，函数

12、为上的单调递增函数，且，当时，函数为上的单调递减函数，且，故选：B【方法技巧与总结】利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题，因此我们必须熟练掌握这一性质，这一性质可简单地记作：在轴的右边“底大图高”，在轴的左边“底大图低”题型六：指数函数的定义域、值域例16（2023广东东莞高一校联考期中）函数的定义域为 .【答案】【解析】要使原式有意义需满足，即，解得，故函数的定义域为.故答案为：例17（2023全国高一专题练习）已知函数的定义域为，则 【答案】【解析】由题意可知，不等式的解集为，则，解得，当时，由，可得，解得，合乎题

13、意.故答案为：.例18（2023全国高一专题练习）（1）函数的定义域是 ，值域是 （2）函数的定义域是 ，值域是 【答案】 （0，1 【解析】（1）函数的定义域为，由，得出，即，故值域为（2）要使得函数有意义，只需，即，故定义域为，且，即函数的值域为故答案为：（1）；（2）；变式12（2023全国高一专题练习）函数的值域为 【答案】【解析】因为函数在上是增函数，所以，故函数值域为：，故答案为：.变式13（2023全国高一专题练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】当时，；当时，.因为原函数的值域为，即，则，解得.故答案为：.变式14（2023山西晋城高一晋城市第一中学校校

14、考阶段练习）函数若恒成立，则实数的取值范围是 【答案】【解析】函数，令，若恒成立，则对任意的恒成立，即对任意的，恒成立，当时，取最大值1，即实数的取值范围为故答案为：变式15（2023全国高一专题练习）函数的值域为 .【答案】【解析】设，则，换元得，显然当时，函数取到最小值，所以函数的值域为故答案为：.变式16（2023全国高一专题练习）已知函数的值域为，则a的取值范围是 【答案】【解析】当时，而函数在上单调递增，又是增函数，因此函数在上单调递增，即函数在上的值域为，当时，函数的值域为，而函数的值域为，因此，而当时，必有，解得，所以a的取值范围是.故答案为：.变式17（2023高一校考课时练习

15、）已知函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为 .【答案】【解析】，则在上递减，在上递增，所以当时，函数取得最小值0，由，得或，所以函数在区间上的值域为时，故答案为：变式18（2023全国高一专题练习）已知函数的值域为，则实数的取值范围是 【答案】【解析】当时，在上单调递增，所以时，；当时，若，则在上单调递增，在上单调递减，则时，即时，又时，此时，函数的值域为，不满足题意，舍去；当时，函数此时值域为，不满足题意，舍去；当时，在上单调递减，则时，即时，因为函数的值域为，又时，；则时，且，不等式解得：，不等式等价于时，设（），因为在上单调递增，在上是增函数，所以在上单调递增，又，所以时，等价于，即

16、，则不等式解得：，所以时，的解集为，综上：实数的取值范围是，故答案为：.变式19（2023河北石家庄高一校考期中）已知函数在区间上的最大值比最小值大，则a= 【答案】或【解析】当时，在上的最大值为，最小值为，故，解得或（舍去）；当时，在上的最大值为，最小值为，故，解得或（舍去），综上或.故答案为：或变式20（2023全国高一假期作业）函数在区间-1，1上的最大值为 .【答案】7【解析】令，则.所以即为.因为对称轴为，所以在.上单调递增，所以当时，为最大值.故答案为：7变式21（2023全国高一专题练习）求下列函数的定义域和值域：(1)；(2)【解析】（1）要使函数式有意义，则，即因为函数在上是

17、增函数，所以故函数的定义域为，因为，所以，所以，所以，即函数的值域为；（2）定义域为，因为，所以，又，所以函数的值域为变式22（2023高一课时练习）求下列函数的定义域与值域（1）；（2）；（3）.【解析】（1）因为，所以，故定义域为.设，因为，所以.因为，所以且，故值域为且.（2）函数，所以定义域为.设，因为，所以，故值域为.（3）因为，所以，解得，故定义域为.因为，所以，即，故值域为.【方法技巧与总结】求值域时有时要用到函数单调性，求定义域使表达式有意义题型七：指数函数的单调性及其应用例19（2023全国高一专题练习）已知奇函数在R上为增函数，则（）A1BC2D【答案】A【解析】因为在R上

18、为奇函数，则，即，解得或.时，函数定义域为R，由函数和都在R上为增函数，所以在R上为增函数，且，满足函数为奇函数；时，在R上为减函数，不合题意.所以.故选：A.例20（2023河北唐山高一唐山市第二中学校考阶段练习）下列函数中，在区间上单调递减的是（）ABCD【答案】C【解析】A：由幂函数性质知：在上单调递增，不符合；B：由，在上单调递增，不符合；C：由指数函数单调性知：在上单调递减，符合；D：由，在上不单调，不符合；故选：C例21（2023全国高一专题练习）已知函数（且）在区间上单调递增，则a的取值范围为（）ABCD【答案】C【解析】由且，得为单调递减函数，由复合函数单调性法则得，又，解得故

19、选：C变式23（2023全国高一专题练习）设函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】设，对称轴为，是上的增函数，要使在区间单调递减，则在区间单调递减，即，故实数a的取值范围是故选：A变式24（2023全国高一专题练习）函数的单调递增区间是（）ABCD【答案】C【解析】函数是实数集上的减函数，因为二次函数的开口向下，对称轴为，所以二次函数在时单调递增，在时单调递减，由复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间是，故选：C变式25（2023全国高一专题练习）函数的单调递增区间为（）ABCD【答案】B【解析】令，解得，所以函数的定义域为，因为开口向下，对称轴为，可知在上单调

20、递增，在上单调递减，且在定义域内单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，又因为在定义域内单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，即函数的单调递增区间为.故选：B.变式26（2023全国高一专题练习）设函数在区间单调递增，则a的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递增，则有函数在区间上单调递增，因此，解得，所以的取值范围是.故选：A【方法技巧与总结】研究型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当时，的单调性与的单调性相同；当时，的单调与的单调性相反题型八：比较指数幂的大小例22（2023江苏南通高一统考阶段练习）设，则（）ABC

21、D【答案】C【解析】由，所以.故选：C.例23（2023全国高一专题练习）已知，则的大小关系是（）ABCD【答案】D【解析】因为， ，又因为在上单调递增，所以，即.故选：D.例24（2023全国高一专题练习）已知，则a、b、c的大小关系是（）ABCD【答案】A【解析】因为，且在上递增，故选：A变式27（2023全国高一专题练习）设，则（）ABCD【答案】C【解析】因为，则，所以，故，故选：C.变式28（2023全国高一专题练习）已知，则（）ABCD【答案】B【解析】由单调递增，则可知，即B正确.故选：B.变式29（2023高一单元测试）的大小关系是（）ABCD【答案】B【解析】由在R上单调递减

22、，知，而，所以,故选：B.【方法技巧与总结】在进行数的大小比较时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数（如0，1等）分别与之比较，从而得出结果总之比较时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断题型九：解指数型不等式例25（2023山东泰安高一泰安一中校考期中）不等式的解集为 .【答案】【解析】由题意可得：，即，解得，所以原不等式的解集为：.故答案为：例26（2023安徽滁州高一校考期末）不等式的解集为 【答案】，【解析】不等式可化为，因为函数为增函数，所以，移项、通分整理

23、为，此不等式等价于或解得或所以原不等式的解集为，故答案为：，例27（2023高一课时练习）关于的不等式的解集为 【答案】【解析】，由可得：，解得：，不等式的解集为.故答案为：.变式30（2023上海黄浦高一上海市大同中学校考期末）已知函数，则不等式的解集为 .【答案】【解析】设，则函数定义域为，因为，故函数为奇函数，因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，因为，由可得，可得，所以，即，解得.因此，不等式的解集为.故答案为：.变式31（2023全国高一专题练习）已知函数，则不等式的解集为 【答案】【解析】构建函数，可得函数单调递增，则函数单调递增，且，因此函数在上是增函数，解得，于是不等式

24、的解集为故答案为：.变式32（2023全国高一专题练习）不等式的解集为 【答案】【解析】原式可化为，因为为减函数，所以，即，解得或，所以原不等式的解集为.故答案为：.变式33（2023湖南长沙高一长沙市实验中学校考期中）写出使“不等式（且）对一切实数都成立”的的一个取值 【答案】（答案不唯一）【解析】当时，在上单调递增，由，可得；当时，在上单调递减，由，可得因为不等式对一切实数都成立，所以，所以的取值可为故答案为：（答案不唯一）变式34（2023安徽马鞍山高一安徽省马鞍山市第二十二中学校考期中）不等式对于恒成立，则的取值范围是 【答案】【解析】由得，得，即对于恒成立，设，显然开口向上，对称轴为

25、，所以在上单调递增，当时，取得最小值0，则，即 a的取值范围为.故答案为：.变式35（2023高一单元测试）已知函数满足，若，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】当时，同理：时，函数定义域为，函数为奇函数，作出函数的图像，如图所示：且在和上都为增函数，由，得到，即，由图像可得.故答案为：.【方法技巧与总结】利用指数函数的单调性求解题型十：判断函数的奇偶性例28（2023新疆乌鲁木齐高一校考期中）已知定义域为的函数是奇函数.(1)求实数的值；(2)试判断的单调性，并用定义证明；(3)解关于的不等式.【解析】（1）由定义域为的函数是奇函数，可得，即有，即恒成立，所以；（2）由于，可得函数在上为增

26、函数证明：任取，且，则，因为，所以，又，所以，即，所以函数在上为增函数（3）由（2）得，奇函数在上为增函数，不等式等价为，即，令，则，所以，解得即不等式的解集为.例29（2023全国高一专题练习）已知定义域为的函数是奇函数且为减函数.(1)求实数的值；(2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】（1）因为为奇函数且定义域为，所以，所以，当时，满足条件为奇函数，故.（2）为奇函数， ，又因为函数在上为减函数，所以对恒成立，则对恒成立，令，其图象对称轴为，开口向上，所以在上单调递增，故，故要使对恒成立，则，即.例30（2023福建泉州高一校考期中）设函数，.(1)判断函数的奇偶性；(

27、2)若为奇函数，求【解析】（1）因为定义域为，且，所以为偶函数.（2）因为为奇函数，所以，即，所以，解得变式36（2023安徽淮北高一淮北市实验高级中学校考期末）已知函数为奇函数.(1)求的值，并用函数单调性的定义证明函数在上是增函数；(2)求不等式的解集.【解析】（1）是奇函数，定义域为，则，所以，符合为奇函数，证明：任取，且，则，由，可得，则，即，函数在上是增函数.（2）函数在上是奇函数又函数在上是增函数令为，则解得即不等式的解集为变式37（2023全国高一专题练习）已知函数(1)若为奇函数，求的值；(2)在（1）的条件下，求的值域【解析】（1）因为为奇函数，所以， 即，所以.（2）,令，

28、则 ，因为，所以，所以的值域变式38（2023全国高一期中）已知函数是奇函数(1)求常数的值；(2)判断的单调性并给出证明【解析】（1）函数的定义域为，关于原点对称，由于是奇函数，可得，即解得函数（2）在与上都是减函数，证明如下任取则,当时，所以,故有,当当时，所以,故有, 综上知，在与上都是减函数变式39（2023高一课时练习）已知函数.(1)求证：是奇函数；(2)用单调性的定义证明：在R上是增函数【解析】（1）由题意可知：的定义域是R，对任意的，均有，即，所以是奇函数（2）因为，设是R上的任意两个值，且，则，因为，且在R上是增函数，则，可得，故，即，故在R上是增函数【方法技巧与总结】利用奇

29、偶性的性质求解一、单选题1（2023全国高一专题练习）函数的定义域为（ ）ABCD【答案】D【解析】应满足，定义域为故选：D.2（2023全国高一专题练习）已知奇函数在R上为增函数，则（）A1BC2D【答案】A【解析】因为在R上为奇函数，则，即，解得或.时，函数定义域为R，由函数和都在R上为增函数，所以在R上为增函数，且，满足函数为奇函数；时，在R上为减函数，不合题意.所以.故选：A.3（2023全国高一专题练习）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（）ABCD【答案】D【解析】对于A，不是偶函数，A错误；对于B，不是偶函数，B错误；对于C，当，在上单调递增，C错误；对于D，的定义域为关于

30、原点对称，且，所以是偶函数，又在上单调递减，D正确.故选：D4（2023全国高一专题练习）已知函数，则（）A2B4C5D7【答案】C【解析】令，得，所以.故选：C5（2023全国高一专题练习）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间单调递增.若实数满足，则的取值范围是（）ABCD【答案】A【解析】由，得，因为函数是定义在上的偶函数，所以可化为因为在区间单调递增，所以，所以，所以，因为，当且仅当，即时取等号，所以，解得，即的取值范围是，故选：A6（2023全国高一专题练习）函数的图象大致为（）ABCD【答案】A【解析】因为，所以，定义域为；因为，所以，故，所以为奇函数，排除B，当趋向于正无穷大时，、

31、均趋向于正无穷大，但随变大，的增速比快，所以趋向于，排除D，由，则，排除C.故选：A.7（2023全国高一专题练习）设，若函数为单调函数，且对任意实数，都有，则的值等于（）ABCD【答案】D【解析】对任意的，总有且，所以，又因为函数为单调函数，可得，即，可设（其中为常数），所以，所以 ，所以，所以，可得.故选：D.8（2023全国高一专题练习）已知函数是上的单调递增函数，则实数a的取值范围是（）ABCD【答案】D【解析】因为函数是上的单调递增函数，所以，解得，所以实数a的取值范围是.故选：D.二、多选题9（2023全国高一专题练习）已知函数，则（）A函数的定义域为RB函数的值域为C函数在上单调

32、递增D函数在上单调递减【答案】ABD【解析】令，则，对于选项A：的定义域与的定义域相同，均为R，故A正确；对于选项B：因为，的值域为，所以函数的值域为，故B正确；对于选项C、D：因为在上单调递增，且，在定义域上单调递减，所以根据复合函数单调性法则，得函数在上单调递减，所以C不正确，D正确.故选：ABD.10（2023全国高一专题练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则下列叙述中错误的是（）A在上是增函数B是奇函数C的值域是D的

33、值域是【答案】BC【解析】根据题意知，在定义域上单调递增，且，在上单调递增，在上是增函数，故A正确；，函数既不是奇函数也不是偶函数，故B错误；，即，故C错误，D正确.故选：BC11（2023宁夏银川高一校考期中）已知函数，则下列说法正确的是（）A的图像关于原点对称B，且，则恒成立CD的值域为【答案】AD【解析】对于A，函数的定义域为R，且，故为奇函数，的图像关于原点对称，A正确；对于B，由于是R上的增函数，故在R上单调递减，则在R上单调递增，不妨设，且，则，故，B错误；对于C，取，则，即，C错误；对于D，由于，且，故，则，故，即的值域为，D正确，故选：AD12（2023福建泉州高一校考期中）对

34、于函数定义域中任意的，当时，结论正确的是（）ABCD【答案】ACD【解析】因为，对于A：，故A正确；对于B：，故，故B错误；对于C：不妨设，因为在定义域上单调递增，则，所以，所以，故C正确；对于D：因为，且，即，所以，即，所以，故D正确.故选：ACD三、填空题13（2023江苏宿迁高一江苏省泗阳中学校考期末）定义在上的奇函数，当时，当时， 【答案】【解析】因为函数为奇函数，所以，解得.设，则，所以，又为奇函数，所以，即当时，.故答案为：14（2023江西南昌高一南昌市八一中学校考阶段练习）若函数在区间上单调递增，则实数的最小值为 【答案】【解析】函数在上单调递增；函数在区间上单调递减，在区间上

35、单调递增，要使函数在区间上单调递增，根据复合函数单调性同增异减可知，所以的最小值为.故答案为：15（2023全国高一专题练习）已知函数，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】依题意，在上单调递增，令，因为，则，故，又在上单调递减；而的开口向上，对称轴为，根据复合函数单调性同增异减可得，所以的取值范围是.故答案为：.16（2023广东东莞高一校联考期中）已知函数不是一次函数，且当时，且在区间上单调递增.写出一个满足要求的函数 .【答案】（或，答案不唯一）【解析】可设，则由题意可得：，解之得：，所以.或设，满足，又因为，可得，所以.故答案为：（或，答案不唯一）.四、解答题1

36、7（2023山东潍坊高一校考阶段练习）已知函数.(1)若，求的值；(2)求函数的值域.【解析】（1）因为，若，则，令，则方程为，解得或（舍去），所以，解得.（2）因为，令，则，所以当时，取得最小值，故的值域.18（2023全国高一专题练习）已知函数是奇函数，且.(1)求的值；(2)若，不等式恒成立，求的取值范围.【解析】（1）是奇函数，经检验当时，是奇函数符合题意，又或（舍），；（2），即，又，故恒成立，令，因为，故，由对勾函数性质可得在上单调递减，.19（2023全国高一专题练习）已知定义域为的函数是奇函数.(1)求的值；(2)判断的单调性；(3)若存在，使成立，求的取值范围.【解析】（1）

37、因为函数是定义在上的奇函数，所以，即，所以，又因为，所以，将代入，整理得，当时，有，即，又因为当时，有，所以，所以.经检验符合题意，所以.（2）由（1）知：函数，因为为上单调增函数，且，则函数在上是减函数.（3）因为存在，使成立，又因为函数是定义在上的奇函数，所以不等式可转化为，又因为函数在上是减函数，所以，所以，令，由题意可知：问题等价转化为,又因为，所以.20（2023全国高一专题练习）已知函数是奇函数.(1)求的值；(2)求在上的值域.【解析】（1）因为，所以.因为是奇函数，所以，即，即，解得.（2）由（1）可知，易知在上单调递增且，在上单调递减，所以是上的减函数.因为，所以在上的值域为

38、.21（2023全国高一随堂练习）已知函数（其中a，b为常量，且，）的图象经过点，(1)求函数的解析式；(2)若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围【解析】（1）把，代入，得，结合且，解得，所以.（2）由（1）知可化为，故在上恒成立，则在上的最小值不小于.由指数函数的单调性可知函数在上为减函数，所以当时，有最小值2，故，故的取值范围为.22（2023全国高一专题练习）已知定义在R上的奇函数和偶函数满足.(1)判断函数的单调性，并用单调性的定义证明；(2)求函数，的最小值.【解析】（1）定义在R上的奇函数和偶函数，则，即，联立解得: ，在上单调递增，证明如下:设，且，即，在单调递增.（2），令，可知时单调递增，则，令，当，即时，在时单调递增，则；当，即时，在时单调递减，在时单调递增，则；当，即时，在时单调递减，则；综上，当时，的最小值为0；当时，的最小值为；当时，的最小值为.