《创新设计-课堂讲义》2016-2017学年高中数学北师大版选修1-2练习：第三章 推理与证明 习题课 WORD版含解析.docx

1、习题课综合法与分析法明目标、知重点加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题1对综合法的理解综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题综合法是一种由因导果的证明方法综合法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)P1P2Pn(结论)2对分析法的认识分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述为“执果索因”，即从未知看需知，逐步靠拢已知分析法的书写形式一般为“因为，为了证明，只需证明，即，因此，只需证明，

2、因为成立，所以，结论成立”分析法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)Pn2Pn1Pn(结论)分析法属逻辑方法范畴，它的严谨性体现在分析过程步步可逆题型一选择恰当的方法证明不等式例 1 设a，b，c为任意三角形三边长，Iabc，Sabbcca，试证：3SI24S.证明I2(abc)2a2b2c22ab2bc2caa2b2c22S.欲证3SI24S，即证abbccaa2b2c22ab2bc2ca.先证明abbccaa2b2c2，只需证2a22b22c22ab2bc2ca，即(ab)2(ac)2(bc)20，显然成立；再证明a2b2c22ab2bc2ca，只需证a2abcab2abbcc2bcca0

3、，即a(abc)b(bac)c(cba)0，只需证abc，且bca，且cba，由于a、b、c为三角形的三边长，上述三式显然成立，故有3SI20，20，(ab)()4.又ab1，4.方法三11224.当且仅当ab时，取“”题型二选择恰当的方法证明等式例2 已知ABC的三个内角A，B，C成等差数列，对应的三边为a，b，c，求证：.证明要证原式，只需证3，即证1，即只需证1，而由题意知AC2B，B，b2a2c2ac，1，原等式成立，即.反思与感悟综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手易于寻找解题思路在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点

4、去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证跟踪训练2设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，试证：2.证明由已知条件得b2ac，2xab,2ybc.要证2，只需证aycx2xy，只需证2ay2cx4xy.由得2ay2cxa(bc)c(ab)ab2acbc，4xy(ab)(bc)abb2acbcab2acbc，所以2ay2cx4xy.命题得证题型三立体几何中位置关系的证明例3如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点(1)证明：CDAE；(2)

5、证明：PD平面ABE.证明(1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD底面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，CD平面PAC，而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA，E是PC的中点，AEPC.由(1)知，AECD，且PCCDC，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，PAAB，又ABAD，AB平面PAD，ABPD，又ABAEA，综上得PD平面ABE.反思与感悟综合法证明线面之间的垂直关系是高考考查的重点，利用垂直的判定定理和性质定理可以进行线线、线面以及面面之间垂直关系的转化另外，利用一些常见的结论还常常可以将线面间的垂直与

6、平行进行转化比如：两条平行线中一条垂直于平面，则另外一条也垂直于平面；垂直于同一条直线的两个平面相互平行等跟踪训练3如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EFAC，AB，CEEF1.(1)求证：AF平面BDE；(2)求证：CF平面BDE.证明(1)如图，设AC与BD交于点G.因为EFAG，且EF1，AGAC1，所以四边形AGEF为平行四边形所以AFEG.因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE.(2)连接FG.因为EFCG，EFCG1，且CE1，所以四边形CEFG为菱形所以CFEG.因为四边形ABCD为正方形，所以BDAC.又因为平面ACEF平面ABCD，且平面

7、ACEF平面ABCDAC，所以BD平面ACEF.所以CFBD.又BDEGG，所以CF平面BDE.呈重点、现规律1综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知2分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知3分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来一、基础过关1已知a0，b0，且ab2，则()Aa BabCa2b22 Da2b23答案C解析ab22，ab1.a2b242ab，a2b22.2已知a、b、c、d正实数，且，则()

8、A. B.C. D以上均可能答案A解析方法一特值检验，可取a1，b3，c1，d2，则，满足.B、C、D不正确方法二要证，a、b、c、d正实数，只需证a(bd)b(ac)，即证adbc.只需证.而成立，.同理可证.3下面四个不等式：a2b2c2abbcac；a(1a)；2；(a2b2)(c2d2)(acbd)2.其中恒成立的有()A1个 B2个 C3个 D4个答案C解析a2b2c2abacbc；a(1a)()2；(a2b2)(c2d2)a2c2a2d2b2c2b2d2a2c22abcdb2d2(acbd)2；当0时，2不成立4若实数a，b满足0a2，2ab，又0ab，且ab1，abc解析a，b，

9、c.abc.6如图所示，SA平面ABC，ABBC，过A作SB的垂线，垂足为E，过E作SC的垂线，垂足为F.求证：AFSC.证明：要证AFSC，只需证SC平面AEF，只需证AESC(因为_)，只需证_，只需证AEBC(因为_)，只需证BC平面SAB，只需证BCSA(因为_)由SA平面ABC可知，上式成立答案EFSCAE平面SBCAESBABBC解析要证线线垂直，可先证线面垂直，要证线面垂直，还需线线垂直，通过证明BC平面SAB，可得AEBC，进而AE平面SBC，SC平面AEF，问题得证7如果a，b都是正数，且ab，求证：.证明方法一用综合法0，.方法二用分析法要证，只要证2ab2，即要证a3b3

10、a2bab2，只需证(ab)(a2abb2)ab(ab)，即需证a2abb2ab，只需证(ab)20，因为ab，所以(ab)20恒成立，所以成立二、能力提升8.命题甲：()x、2x、2x4成等比数列；命题乙：lg x、lg(x2)、lg(2x1)成等差数列，则甲是乙的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案C解析由()x、2x、2x4成等比数列可得：(2x)2()x2x4，解得x4；由lg x、lg(x2)、lg(2x1)成等差数列得：2lg(x2)lg xlg(2x1)，可解得x4(x1舍去)，所以甲是乙的充要条件. 9若ab1，P，Q(lg alg b)

11、，Rlg()，则()ARPQ BPQRCQPR DPRb1lg a0，lg b0，Q(lg alg b)P，Rlg(lg alg b)QRQP.10已知、为实数，给出下列三个论断：0；|5；|2，|2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，你认为正确的命题是_答案解析0，|2，|2.|222288283225.|5.11已知a0，求证： a2.证明要证 a2，只要证 2a.因为a0，故只要证 22，即a24 4a2222，从而只要证2，只要证42，即a22，而该不等式显然成立，故原不等式成立12已知a、b、cR，且abc1，求证：(1)(1)(1)8.证明方法一(分析法)要证(1)(1)(

12、1)8成立，只需证8成立因为abc1，所以只需证8成立，即证8成立而8成立所以(1)(1)(1)8成立方法二(综合法)(1)(1)(1)(1)(1)(1)8，当且仅当abc时取等号，所以原不等式成立三、探究与拓展13.设数列an的前n项和为Sn，已知a11，an1n2n，nN.(1)求a2的值；(2)求数列an的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有.(1)解2S1a21，又S1a11，所以a24.(2)解当n2时，2Snnan1n3n2n，2Sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)，两式相减得2annan1(n1)an(3n23n1)(2n1)，整理得(n1)annan1n(n1)，即1，又1，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以1(n1)1n，所以ann2.所以数列an的通项公式为ann2，nN.(3)证明111，所以对一切正整数n，有.