《第十八章 平行四边形》知识串讲 热考题型（原卷版）.docx

1、八年级下册数学第十八章 平行四边形本章知识综合运用四个图形的性质和判定一、平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.性质：平行四边形的对边平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分判定：边：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形.（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形.（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形.二、矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 性质：矩形具有平行四边形的一切性质.矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等

2、的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形；矩形是轴对称图形，有两条对称轴.三、菱形定义：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形. 性质：菱形具有平行四边形的一切性质.菱形的四条边都相等.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.菱形是轴对称图形，有两条对称轴.判定：有一组邻边相等的平行的四边形叫做菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.四条边相等四边形是菱形.四、正方形定义：四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形. 性质：具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质.边：四条边相等，邻边垂直，对边平行；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一

3、组对角；正方形式轴对称图形，有四条对称轴；判定：有一组邻边相等的矩形是正方形.有一个角是直角的菱形是正方形.对角线相等的菱形是正方形.对角线垂直的矩形是正方形.两个性质定理1、三角形的中位线定理定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.性质定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半.2、直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.题型一 平行四边形的性质与判定【例题1】（2022云冈区二模）如图，四边形ABCD是平行四边形AEBD于点E，CFBD于点F，连接AF和CE（1）证明：四边形AECF是平行四边形；（2）已知BD6，DF2，BC5，求CE的长解题技巧

4、提炼平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的.【变式1-1】如图，四边形ABCD是平行四边形，O是对角线AC与BD的交点，ABAC，若AB8，AC12，则BD的长是（）A18B19C20D21【变式1-2】如图，在ABCD中，DF平分ADC，交AB于点F，CE平分BCD，交AB于点E，AD6，AB7，则EF长为（）A4B5C6D7【变式1-3】如图，平行四边形ABCD中，E为B

5、C边上一点，ABAE，AE平分DAB，EAC25，则AED的度数为（）A55B65C75D85【变式1-4】（2021春嘉兴期中）如图，已知在ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，则以下条件不能判断四边形AECF为平行四边形的是（）ABEDFBAFBD，CEBDCBAEDCFDAFCE【变式1-5】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE平分BAD，分别交BC，BD于点E、P连接OE，ADC60，AB=12BC1，则下列结论：CAD30；BD23；S平行四边形ABCDABAC；AD4OE其中结论正确的个数是（）A1个B2个C3个D4个【变式1-6】（2022嘉定区二模）如图

6、，在四边形ABCD中，AC是对角线，ACAD，点E在边BC上，ABAE，BAECAD，联结DE（1）求证：BCDE；（2）当ACBC时，求证：四边形ABCD是平行四边形【变式1-7】（2022秋招远市期末）如图，四边形ABCD为平行四边形，E为AD上的一点，连接EB并延长，使BFBE，连接EC并延长，使CGCE，连接FGH为FG的中点，连接DH（1）求证：四边形AFHD为平行四边形；（2）若CBCE，BAE80，DCE30，求CBE的度数【变式1-8】（2022春蓬江区校级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接BE，BEAF（1）求证：

7、ADEFCE；（2）求证：AE平分DAB；（3）若DAB60，AB4，求平行四边形ABCD的面积题型二 三角形的中位线定理【例题2】（2022秋二道区校级期末）如图，在ABC中，ABBC13，BD平分ABC交AC于点D，点F在BC上，且BF5，连接AF，E为AF的中点，连接DE，则DE的长为（）A3B4C5D6解题技巧提炼运用中位线定理求线段长或推理证明题的方法：当题中出现有三角形的中点时，联想到三角形中位线定理，应用定理证明两直线的位置关系或线段之间的关系.有时需要添加辅助线构造.【变式2-1】如图，在ABC中，ABC90，AB8，BC6若DE是ABC的中位线，延长DE交ABC的外角ACM的

8、平分线于点F，则线段DF的长为（）A7B8C9D10【变式2-2】（2022秋封丘县校级期末）如图，在ABC中，AE平分BAC，D是BC的中点AEBE，AB5，AC3，则DE的长为（）A1B32C2D52【变式2-3】如图，D是ABC内一点，BDCD，AD7，BD4，CD3，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，则四边形EFGH的周长为（）A12B14C24D21【变式2-4】（2022春宁都县期末）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，E、F分别为AD、BC的中点，G、H分别为BD、AC的中点请你判断EF与GH的关系，并证明你的结论【变式2-5】（2022秋郸城县期中）如图，

9、在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点（1）若AB10，CD24，ABD30，BDC120，求EF的长（2）若BDCABD90，求证：AB2+CD24EF2题型三 矩形的性质与判定【例题3】如图，在矩形ABCD中，AB4，BC8，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O，连接CE，则CE的长为（）A6B7C5D5.6解题技巧提炼1、矩形中有直角，所以对于线段长度的问题常用到勾股定理；2、矩形的判定一定要先明确前提条件，若前提是平行四边形，则找一个角是直角或对角线相等；若前提是四边形，则需证明有三个角是直角.3、矩形的性质与判定综合应用时要分清条件和结论，灵活选用方法是解题的关

10、键.【变式3-1】（2021秋泗县期末）如图，在矩形ABCD，对角线AC与BD相交于点O，EOAC于点O，交BC于点E，若ABE的周长为8，AB3，则AD的长为（）A2B5.5C5D4【变式3-2】如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DEAD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）AABBEBBEDCCADB90DCEDE【变式3-3】（2022定安县一模）如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AECF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BEBF，BEF2BAC，FC2，则AB的长为（）A83B8C43D6【变式3-4

11、】（2022春鹿城区校级期中）如图，在矩形ABCD中，点E为AD的中点，延长BE，CD交于点F，连接AF，BD（1）求证：四边形ABDF为平行四边形（2）若BE为ABC的角平分线，AB5，求四边形ABDF的周长【变式3-5】如图，在ABC中，ABAC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF（1）求证：BDEFAE；（2）求证：四边形ADCF为矩形【变式3-6】如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EGAE，连接CG（1）求证：ABECDF；（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGC

12、F是矩形？请说明理由题型四 直角三角形斜边上的中线的性质【例题4】（2022春交城县期中）如图，ABC中，ABAC，点D在BC的延长线上，连接AD，点E，F分别是BC，AD的中点，若EF3，则AD的长为（）A3B33C6D32解题技巧提炼在直角三角形中，遇到斜边的中点常作斜边的中线，从而利用直角三角形斜边中线的性质解决问题.【变式4-1】（2022春蓬莱市期末）如图，在四边形ABCD中，ABCD，E为BC上的一点，F为AD的中点，且BAE35，CDE55，ADE30，AE3，则EF的长为（）A2B3C4D6【变式4-2】（2022春青县期末）如图，在RtABC中，ACB90，AB8，CDAB于

13、点D，ACD3BCD，E是斜边AB的中点，则DE的长是（）A6B5C4D22【变式4-3】（2022秋西安月考）如图，在ABC中，ABAC4，CAB30，以AC为斜边作RtADC使ADC90，CADCAB，E、F分别是BC、AC的中点，连接EF、DE、DF，则DE的长为 【变式4-4】（2022秋新民市期中）如图，在四边形ABCD中，ABCADC90，M，N分别是AC，BD的中点（1）求证：MNBD；（2）若DAC64，BAC56，求DMB的度数【变式4-5】（2022秋江都区校级月考）如图，已知锐角ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点（1）求证：MN

14、DE；（2）若ABC70，ACB50，连结DM、ME，求DME的度数；（3）猜想DME与A之间的关系，并证明你的猜想题型五 菱形的性质与判定【例题5】（2022秋青羊区校级月考）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD6，AC8，直线OEAB交CD于点F，则EF的长为 解题技巧提炼菱形的判定可以确定菱形的存在，再利用菱形的性质，可以得出线段或角的对应关系.【变式5-1】（2022春夏邑县期中）如图，在RtABC中，ACB90，AC4，BC3，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD 时，平行四边形CDEB为菱形【变式5-2】（2022玉树市校级一模）如图

15、，菱形ABCD中，A60，AD4，P是AB边一个动点，E、F分别是DP、BP的中点，则线段EF的长为 【变式5-3】（2022秋永春县期中）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点下列结论正确的是 （填序号）EGEF；EFGGBE；EA平分GEF；FB平分EFG；四边形BEFG是菱形【变式5-4】（2022春五华区校级期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E（1）证明：四边形ACDE是平行四边形；（2）若AC24，BD10，求ADE的周长【变式5-5】（2022武威模拟

16、）如图，在四边形ABCD中，ABCD，点E是对角线AC上一点，ADCABC（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）分别过点E，B作EFAB，BFAC，当FCE和DCE满足怎么样的数量关系时，四边形EFCD是菱形？请说明理由【变式5-6】（2022春莱芜区期中）如图所示，在菱形ABCD中，AB4，BAD120，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且点E、F不与点B、C、D重合（1）证明：不论点E、F在边BC、CD上如何滑动，总有BECF；（2）当点E、F在边BC、CD上滑动时，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出四边形AECF的面积；如果变化，请说明理由题

17、型六 正方形的性质与判定【例题6】（2022春衡山县期末）如图，在矩形ABCD中，有以下结论：AOB是等腰三角形；SABOSADO；ACBD；ACBD；当ABD45时，矩形ABCD会变成正方形正确的结论是 解题技巧提炼正方形具有所有特殊平行四边形的性质，正方形的判定可以确定正方形的存在，再利用正方的性质，可以得出线段或角的对应关系从而解决问题.【变式6-1】（2022南海区一模）如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，CEB和CFD都是直角且点C，E，F三点共线，BE2，则阴影部分的面积是 【变式6-2】（2022秋桐柏县期末）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在DC，BC上，BFC

18、E4，连接AE、DF，AE与DF相交于点G，连接AF，取AF的中点H，连接HG，则HG的长为 13【变式6-3】（2022秋零陵区期末）如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CEDF，AE、BF相交于点O，下列结论：AEBF；AEBF； AOOE；SAOBS四边形DEOF，其中正确的有（）ABCD【变式6-4】（2022春江宁区期末）如图，ABC的中线AF与中位线DE相交于点O（1）求证：AF与DE互相平分；（2）当ABC满足 时，四边形ADFE是正方形【变式6-5】（2020春朝天区期末）如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EFAB，EGBC，垂足分别为F，G，若正

19、方形ABCD的周长是40cm（1）求证：四边形BFEG是矩形；（2）求四边形EFBG的周长；（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？题型七 特殊平行四边形综合运用 【例题7】（2022春綦江区月考）下列说法中错误的是（）A两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B两条对角线相等的四边形是矩形C两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形D两条对角线相等的菱形是正方形解题技巧提炼综合利用菱形、矩形、正方形的性质与判定方法实现相应线段、角之间的转化时解题的关键，前提是要熟悉各图形的性质与判定的方法.【变式7-1】（2022秋东明县校级期末）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，

20、且DECA，DFBA下列四种说法：四边形AEDF是平行四边形；如果BAC90，那么四边形AEDF是矩形；如果AD平分BAC，那么四边形AEDF是菱形；如果ADBC，且ABAC，那么四边形AEDF是正方形其中，正确的有（）A1个B2个C3个D4个【变式7-2】（2022春齐齐哈尔期末）如图，已知四边形ABCD是菱形，DFAB于点F，BECD于点 E（1）求证：四边形DFBE是矩形；（2）若DE2，BE4，求AD的长【变式7-3】（2022春峄城区期中）问题解决：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，BC边上，DEAF，DEAF于点G（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）延长CB到点H，

21、使得BHAE，判断AHF的形状，并说明理由【变式7-4】（2022秋高明区月考）如图，在ABCD中，E、M分别为AD、AB的中点，DBAD，延长ME交CD的延长线于点N，连接AN（1）证明：四边形AMDN是菱形；（2）若DAB45，判断四边形AMDN的形状，并说明理由【变式7-5】（2022秋青岛期中）已知：如图，在四边形ABCD中，ABAC，DCAC，BD，点E，F分别是BC，AD的中点（1）求证：ABCCDA；（2）求证：四边形AECF是菱形；（3）给三角形ABC添加一个条件 ，使得四边形AECF是正方形，并证明你的结论题型八 平行四边形中的分类讨论问题【例题8】（2022春东湖区校级期中

22、）菱形ABCD中，B60，AB4，点E在线段BC上，CE23，若点P是菱形边上异于点E的另一点，CECP，则EPC的度数为 解题技巧提炼分类讨论思想要做到两点：（1）要有分类的意识，善于从问题的情景中专注分类的对象；二是找出科学、合理的分类标准.本章中出现的图形运动、边长、面积等题目常用到分类讨论思想.【变式8-1】（2023龙川县校级开学）在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，点P在正方形的边上，若AEB105，AEEP，则在AEP中，AEP的度数为 【变式8-2】（2021春嘉兴月考）如图，在ABC中，ABAC10cm，BDAC于点D，且BD8cm点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度

23、为4cm/s；同时点P由B点出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s，过点P的直线PQAC，交BC于点Q，连接PM，设运动时间为t（s）（0t2.5），当t为 时，以P、Q、D、M为顶点的四边形是平行四边形【变式8-3】（2022春璧山区期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点AC的坐标分别为（10，0），（0，3），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 【变式8-4】（2022春西湖区期中）如图，正方形ABCD的边长为6E，F分别是射线AB，AD上的点（不与点A重合），且ECCF，M为EF的中点P为线段AD上一点，AP1，连接PM当P

24、MF为直角三角形时，则AE的长为 题型九 平行四边形中的折叠问题【例题9】（2022秋电白区期中）如图，在长方形ABCD中，AB10，AD6，E为BC上一点，把CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处（1）求AF的长；（2）求CE的长解题技巧提炼在很多问题中，经常涉及折叠问题，折叠前后的图形具有全等的特性，由此得到一些线段相等或角相等，并将平行四边形、矩形结合在一起，综合解决问题.【变式9-1】（2022秋朝阳区校级期末）如图，在长方形纸片ABCD中，AD9，AB3，将其折叠，使点D与点B重合，点C落在点C处，折痕EF交AD于点E，交BC于点F（1）求线段AE的长（2）线段BF的长为 【变式

25、9-2】（2023春吴江区月考）如图，在矩形ABCD中，AB4，BC6，点E为BC的中点，将ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）A185B125C165D95【变式9-3】（2022秋梅县区校级期末）如图是一张矩形纸片ABCD，点E，G分别在边BC，AB上，把DCE沿直线DE折叠，使点C落在对角线BD上的点F处；把DAG沿直线DG折叠，使点A落在线段DF上的点H处，HF1，BF8，则矩形ABCD的面积为（）A420B360C4202D3602【变式9-4】（2022秋遵义期末）如图，已知矩形ABCD，AB5，AD3，矩形GBEF是由矩形ABCD绕点B顺时针旋转9

26、0得到的，点H为CD边上一点，现将四边形ABHD沿BH折叠得到四边形ABHD，当点A恰好落在EF上时，DH的长是（）A175B72C185D522【变式9-5】如图，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D处，折痕l交CD边于点E，连接BE（1）求证：四边形ADED是菱形；（2）如果AB2AE2+BE2，求证：BE平分ABC题型十 平行四边形中的动点运动问题【例题10】（2021春魏县期中）如图，平行四边形ABCD中，AB8cm，AD12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q以每秒3cm的速度从点D出发，沿DC，CB向B运动，两个点同时出发，在运

27、动 秒时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形解题技巧提炼解决动点问题时，要抓住点在运动过程中的特殊时刻（或一个确定的位置），以静制动，寻找问题的突破口，有时要用到方程思想或分类讨论的思想.【变式10-1】如图，在矩形ABCD中，BC15cm，动点P从点B开始沿BC边以每秒2cm的速度运动；动点Q从点D开始沿DA边以每秒1cm的速度运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设动点的运动时间为t秒，则当t（）秒时，四边形ABPQ为矩形A3B4C5D6【变式10-2】（2021秋平顶山期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F同时从O点出发在

28、线段AC上以0.5cm/s的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），设运动时间为ts连接DE，DF，BE，BF，已知ABD是边长为4cm的等边三角形，当t s时，四边形DEBF为正方形【变式10-3】（2022春浚县期末）如图，在ABCD中，AB10cm，F是AB的中点，E为边CD上一点，DE4cm点M从D点出发，沿DC以1cm/s的速度匀速运动到点C；同时点N从点B出发，沿BA以2cm/s的速度匀速运动到点A一个点停止运动后，另一个点也随之停止运动当点M运动时间是 秒时，以点M，E，N，F为顶点的四边形是平行四边形【变式10-4】（2022秋鄄城县期中）如图，平行四边形ABCD

29、的对角线AC，BD相交于点O，BD12cm，AC6cm，点E在线段BO上从点B出发以1cm/s的速度向点O运动，点F在线段OD上从点O出发以2cm/s的速度向点D运动（1）若点E，F同时运动，设运动时间为ts，当t为何值时，四边形AECF是平行四边形？（2）在（1）的条件下，当AB为何值时，平行四边形AECF是菱形？【变式10-5】如图，在四边形ABCD中，ADBC，B90，AB8cm，AD12cm，BC18cm，点P从点A出发以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2cm/s的速度向点B运动，当点Q到达点B时，点P也停止运动设点P，Q运动的时间为t秒（1）作DEBC于E，则CD边

30、的长度为 cm；（2）从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？（3）在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由题型十一 平行四边形中的最值问题【例题11】（2022秋镇平县期中）在RtABC中，C90，AC6，BC8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是 解题技巧提炼在解决四边形中的最短问题时，利用轴对称、平移等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短线段和.【变式11-1】（2021秋海州区校级期末）如图，在平行四边形ABCD中，AD12，AB6，以AD为底边向右作腰长

31、为10的等腰ADP，Q为边BC上一点，BQ4，连接PQ，则PQ的最小值为 【变式11-2】（2022南海区一模）如图，MON90，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OM、ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB6，BC3运动过程中点D到点O的最大距离是 【变式11-3】如图所示，在边长为2的菱形ABCD中ABC60，点O为对角线的交点，点P为BC边上的一点，PEBD于点E，PFAC于点F，连接EF，则线段EF的最小值是（）A32B52C5D32-62【变式11-4】（2021春上思县期末）如图，正方形ABCD的边长为4，点F在AD上，AF1，E是对角

32、线BC上的一个动点，则AE+EF的最小值为 【变式11-5】（2021秋沙坪坝区校级月考）如图，在四边形ABCD中，ADBC，BC6，BDC面积为21，AB的垂直平分线MN分别交AB、AC于点M、N，若点P和点Q分别是线段MN和BC边上的动点，则PB+PQ的最小值为（）A5B6C7D8题型十二 平行四边形综合压轴探究题【例题12】（2021春禹城市期中）【发现与证明】如图1，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O是正方形ABCO的一个顶点，如果两个正方形的边长都等于a，那么正方形ABCO绕点O无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积是一个定值（1）请你写出这个定值，并证明你的结论【应用迁移】（2

33、）如图2，四边形ABCD中，ABAD，BADBCD90，连接AC若AC8，求四边形ABCD的面积解题技巧提炼本题型是四边形的综合题，综合考查了平行四边形和特殊平行四边形的性质与判定，同时用到等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，有时正确地作出辅助线是解题的关键【变式12-1】（2022秋丹徒区期末）如图1，在长方形ABCD中，AB90，含45角的直角三角板放置在长方形内，FEG90，EGEF，顶点E、F、G分别在AB、BC、AD上（1）求证：AEGBFE；（2）若P是斜边FG的中点如图2，连接EP，请写出线段EP与AG、BF之间的数量关系，并说明理由；如图3，连接BP，若AB

34、=18，则BP的长等于 【变式12-2】（2022春思明区校级期中）如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作OEBC交BC于点E过点O作FGAB交AB、CD于点F、G（1）如图1，若BC5，OE3，求平行四边形ABCD的面积；（2）如图2，若ACB45，试探究AF，FO，EG之间的数量关系，并证明【变式12-3】如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD16，对角线AC，BD相交于点G，点O是直线BD上的动点，OEAB于E，OFAD于F（1）求对角线AC的长及菱形ABCD的面积（2）如图，当点O在对角线BD上运动时，OE+OF的值是否发生变化？请说明理由（3）如图，当点

35、O在对角线BD的延长线上时，OE+OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数量关系【变式12-4】如图，正方形ABCD的边长为4，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合），将正方形折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于H，折痕为EF，BC、PG延长线相交于点K（1）若BE3，求AP的长；（2）在（1）的条件下，求BK的长；（3）如图当点P在边AD上移动时，PDH的周长是定值吗？如果是，请求出该定值；如果不是请说明理由【变式12-5】（2021春淮北期末）四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EFDE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB22，CE2，求CG的长；（3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40时，直接写出EFC的度数