《解析》浙江省杭州高级中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试卷 WORD版含解析.docx

1、浙江省杭州高级中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试卷一、选择题1.已知集合 P=x|1x4 ， Q=x|2x3 ，则 PQ= （ ） A.x|1x2B.x|1x4C.x|2x3D.x|3x0 ， b0 ）的离心率为 3 ，则点 M(3,0) 到双曲线 C 的渐近线的距离为（ ） A.2B.332C.6D.229.如图，在棱长为2正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E ， F ， G 分别是棱 AB ， BC ， CC1 的中点， P 是底面 ABCD 内一动点，若直线 D1P 与平面 EFG 不存在公共点， PB1 的最小值为（ ） A.2B.5C.3D.610.已知 f(

2、x)=aexx-x ， x(0,+) ，对任意的 x1 ， x2(0,+) ，且 x1x2 ，恒有 f(x1)x-f(x2)x0) 上两点， PO （ O 为坐标原点）的延长线与抛物线 C 的准线交于点 M ，且 MQx 轴，则抛物线 C 的焦点坐标为_，直线 PQ 的斜率为_ 14.将函数 f(x)=sin2x 的图像向右平移 6 个单位，再把每个点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 y=g(x) ，则 g(x) 的解析式 g(x)= _，若对于任意 a-12,12 ，在区间 0,m 上总存在唯一确定的 ，使得 g()=a ，则 m 的最小值为_ 15.某市安排5名医疗专家去支援

3、3家定点医院，要求每个专家只能去1家医院，每家医院至少分到1名专家，则不同的分配方案有_种（用数字作答） 16.点 P 在函数 y=ex 的图像上，若满足到直线 y=x+a 的距离为2的点 P 有且仅有3个，则实数 a 的值为_ 17.在 RtABC 中，已知 BC=4 ， AC=3 ， D 是斜边 AB 上任意一点（如图沿直线 CD 将 ABC 折成直二面角 B-CD-A （如图若折叠后 A ， B 两点间的距离为 d ，则 d 的最小值为_ 三、解答题18.已知函数 f(x)=2sinxsin(x+3)+cos2x （1）求 f(x) 的单调递增区间和最值； （2）若函数 g(x)=f(x

4、)-a 在 0,2 有且仅有两个零点，求实数 a 的取值范围 19.如图，在四棱锥 P-ABCD 中， PB 底面 ABCD ，底面 ABCD 为梯形， ADBC ， ADAB ，且 PB=AB=AD=3 ， BC=1 （1）若点 F 为 PD 上一点且 PF=13PD ，证明： CF 平面 PAB ； （2）求直线 PA 与平面 BPD 所成角的正弦值 20.已知首项为 32 的等比数列 an 的前 n 项和为 Sn （ nN* ），且 -2S2 ， S3 ， 4S4 成等差数列 （1）求数列 an 的通项公式； （2）求 Sn ，并求 S2n+1S2n 的最大值 21.已知函数 f(x)=

5、x2+ax-bex(xR) 的一个极值点是 x=2 ， （1）当 a=1 时，求 b 的值，并求 f(x) 的单调递增区间； （2）设 a0 ，若对任意 x0,3 ，使得 f(x)0) 的直线 l1 ，交拋物线于 A ， B 两点（点 A 在第一象限），直线 l 交 x 轴于点 M ，过点 A 作斜率为 k2 的直线 l2 交抛物线于另一点 C ，且交 x 轴于点 N ，且满足 2k1+k2=0 记 AMN ， ABC 的面积分别为 S1 ， S2 （1）若 k1=1 ，求 |AB| ； （2）求 S1S2 的取值范围 答案解析部分一、选择题1.已知集合 P=x|1x4 ， Q=x|2x3 ，

6、则 PQ= （ ） A.x|1x2B.x|1x4C.x|2x3D.x|3x4【答案】 C 【考点】子集与交集、并集运算的转换 【解析】【解答】解：根据题意，结合交集的定义得 PQ=x|2x0，函数f(x)单调递增，可排除B. 故答案为：D 【分析】利用特殊值法可判断AC，利用导数研究函数的单调性可排除B.8.已知双曲线 C:x2a2-y2b2=1 （ a0 ， b0 ）的离心率为 3 ，则点 M(3,0) 到双曲线 C 的渐近线的距离为（ ） A.2B.332C.6D.22【答案】 C 【考点】点到直线的距离公式，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：由e=ca=1+ba2=3得ba=2, 则

7、双曲线的渐近线为y=bax ， 即2xy=0, 则 点M(3,0)到双曲线C的渐近线的距离为d=23022+12=6 故答案为：C【分析】根据双曲线的几何性质，结合点到直线的距离公式求解即可.9.如图，在棱长为2正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， E ， F ， G 分别是棱 AB ， BC ， CC1 的中点， P 是底面 ABCD 内一动点，若直线 D1P 与平面 EFG 不存在公共点， PB1 的最小值为（ ） A.2B.5C.3D.6【答案】 D 【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题 【解析】【解答】作 AA1 中点 H ， H 面 EFG ， HG 的中点设为 M ， E

8、F 的中点设为 N ，所以面 BDD1B1 面 EFGH=MN ；设 BD 中点为 O ，所以 D1OMN ，过点 O 做 EF 平行线，即为 AC ，所以面 D1AC 面 EFGH ， P 点的轨迹即为线段 AC ， PB1 的最小值即可放入 B1AC 中计算，当 P 为 AC 中点 O 时取得最小值 4+2=6 ， 故选D【分析】根据题意由正方体的几何性质以及中点的性质即可得出线线平行，再由面面平行的性质定理即可得出当P 点的轨迹即为线段 AC ， PB1 的最小值，利用三角形内的几何计算关系计算出结果即可。10.已知 f(x)=aexx-x ， x(0,+) ，对任意的 x1 ， x2(

9、0,+) ，且 x1x2 ，恒有 f(x1)x-f(x2)x0 ，则实数 a 的取值范围是（ ） A.(-,e-12B.2e,+)C.(-,e2D.(e13,+)【答案】 B 【考点】函数单调性的性质，利用导数研究函数的单调性 【解析】【解答】由题意 f(x1)x2-f(x2)x10x1f(x1)-x2f(x2)0 ，令 g(x)=xf(x)=aex-x2 ，则由题意得 g(x)=aex-x2 在 (0,+) 上单调递增，所以 g(x)=aex-2x0 对 x(0,+) 恒成立，即 a(2xex)max ，记 m(x)=2xex ， x(0,+) ，则 m(x)=2(1-x)ex ，易得 m(

10、x) 在 (0,1) 上递增， (1,+) 上递减，所以 m(x)max=m(1)=2e ，即 a2e ，故选B 【分析】首先整理已知条件得到x1f(x1)-x2f(x2)0) 上两点， PO （ O 为坐标原点）的延长线与抛物线 C 的准线交于点 M ，且 MQx 轴，则抛物线 C 的焦点坐标为_，直线 PQ 的斜率为_ 【答案】(32,0)；43【考点】斜率的计算公式，抛物线的定义，抛物线的标准方程 【解析】【解答】解：由点P（6,6）在抛物线C:y2=2px(p0)，得12p=36，则p=3，所以抛物线C:y2=6x， 则抛物线C的焦点坐标为(32,0)， 又易知点M为直线y=x与直线x

11、=-32的交点， 则点M为-32，-32 把y=-32代入y2=6x，得x=38 ， 则Q38，-32 则直线PQ的斜率为6+326-38=43. 故答案为：(32,0)，43【分析】根据抛物线的定义，结合直线的斜率公式求解即可.14.将函数 f(x)=sin2x 的图像向右平移 6 个单位，再把每个点横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数 y=g(x) ，则 g(x) 的解析式 g(x)= _，若对于任意 a-12,12 ，在区间 0,m 上总存在唯一确定的 ，使得 g()=a ，则 m 的最小值为_ 【答案】sin(x-3)；2【考点】正弦函数的单调性，函数y=Asin（x+）的图

12、象变换，正弦函数的零点与最值 【解析】【解答】 f(x)=sin2x 的图像向右平移 6 个单位得 y=sin2(x-6)=sin(2x-3) ，把每个点横坐标扩大为原来的2倍，得到 g(x)=sin(x-3) ； x0,m-3x-3m-3 ，如图，所以 56m-362m76 ， 故填 sin(x-3) ； 2 【分析】根据三角函数的图象变换可求解g(x)，根据正弦函数的性质，运用数形结合思想课求解m的最小值.15.某市安排5名医疗专家去支援3家定点医院，要求每个专家只能去1家医院，每家医院至少分到1名专家，则不同的分配方案有_种（用数字作答） 【答案】 150 【考点】排列与组合的综合 【解

13、析】【解答】每家医院至少分到1名专家，共有5名专家，3家医院 (1)当5=1+1+3时， 即一家医院有三名专家，另外两家各有一 名专家共有C51C41C33A22=10种情况 (2)当5=1+2+2时， 即一家医院有一名专家，另外两家各有两名专家共有C51C42C22A22=15种情况 则不同的分配方案有(C51C41C33A22 + C51C42C22A22)xA33=150种 故答案为：150 【分析】本题考查了排列与组合的综合运用，运用先分组后排列的方法求解即可.16.点 P 在函数 y=ex 的图像上，若满足到直线 y=x+a 的距离为2的点 P 有且仅有3个，则实数 a 的值为_ 【

14、答案】1+22【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程，点到直线的距离公式 【解析】【解答】先求斜率为1的切线，设切点为 (x0,ex0) ， y=ex ，所以 k=ex0=1x0=0 ，所以切线方程为 x-y+1=0 ，所以 d=|a-1|2=2a=122 ，结合图像知 a=1+22 故填 1+22 【分析】由导函数的几何性质得到切线的斜率，从而求出直线的方程，然后由点到直线的距离公式计算出a的值，经检验得到a的最后取值。17.在 RtABC 中，已知 BC=4 ， AC=3 ， D 是斜边 AB 上任意一点（如图沿直线 CD 将 ABC 折成直二面角 B-CD-A （如图若折叠后 A ， B

15、 两点间的距离为 d ，则 d 的最小值为_ 【答案】13【考点】三角函数的最值，与二面角有关的立体几何综合题，余弦定理 【解析】【解答】因为二面角 B-CD-A 是直二面角，即平面 BCD 平面 ACD ，故 BCD 是 BC 与平面 ACD 所成的线面角设 BCD= ，故 ACD=2- ，由三余弦定理得： cosACB=coscos(2-)=sincos=12sin2 ， AB2=AC2+BC2-2ABACcosACB=9+16-12sin2 ，因为 (0,2) ，所以 AB2=9+16-12sin213 ，当且仅当 =4 时取等号故填写： 13 【分析】根据题意由已知条件即可得出面面垂直

16、，结合面面垂直的性质定理即可得出线面垂直，由此得出故 BCD 是 BC 与平面 ACD 所成的线面角，设BCD= ， 结合诱导公式以及余弦定理整理得到AB2=9+16-12sin2 ， 然后由正弦函数的性质即可求出最小值。三、解答题18.已知函数 f(x)=2sinxsin(x+3)+cos2x （1）求 f(x) 的单调递增区间和最值； （2）若函数 g(x)=f(x)-a 在 0,2 有且仅有两个零点，求实数 a 的取值范围 【答案】 （1）因为 f(x)=2sinxsin(x+3)+cos2x=2sinx(12sinx+32cosx)+cos2x=sin2x+32sin2x+cos2x=

17、32sin2x+12cos2x+12=sin(2x+6)+12令 -2+2k2x+62+2k ，解得 -3+kx6+k 所以 f(x) 的单调递增区间为 -3+k,6+k （以上 kZ ），易知 f(x) 的最大值为 32 ，最小值为 -12 （2）因为函数 g(x)=f(x)-a 在 0,2 有且仅有两个零点， 故函数 f(x)=sin(2x+6)+12 ， x0,2 的图像与直线 y=a 有且仅有两个不同的交点由（1）可知当 x0,2 时， f(x) 在 0,6 上单调递增；在 6,2 上单调递减而 f(0)=1 ， f(6)=32 ， f(2)=0 所以实数 a 的取值范围为 1,32)

18、 【考点】三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数中的恒等变换应用，函数的零点 【解析】【分析】（1）先对函数f(x)进行三角恒等变换与化简，再根据正弦函数的单调性与最值求解即可； （2）利用函数的零点的几何意义，将函数的零点个数问题，等价转化为两函数的交点问题，运用数形结合的思想求解即可19.如图，在四棱锥 P-ABCD 中， PB 底面 ABCD ，底面 ABCD 为梯形， ADBC ， ADAB ，且 PB=AB=AD=3 ， BC=1 （1）若点 F 为 PD 上一点且 PF=13PD ，证明： CF 平面 PAB ； （2）求直线 PA 与平面 BPD 所成角的正弦值 【答案】 （1）

19、解1：（利用平行四边形证明直线平行） 证：在 PA 上作点 E 使得 PE=13PA ，连 BE 和 EF ，因为点 F 为 PD 上一点且 PF=13PD ，所以 EFAD ，且 EF=13AD 又由已知可得 ADBC ，且 BC=13AD 所以 EFBC ，且 EF=BC 所以四边形 BCFE 是平行四边形，所以 BECF 又 CF 平面 PAB ， BE 平面 PAB ，所以 CF 平面 PAB. 证完解2（利用面面平行证明线面平行）在 AD 上取点 G 使得 AG=13AD ，连 FG 和 CG 因为点 F 为 PD 上一点且 PF=13PD ，所以 FGPA ，又 FG 平面 PAB

20、 ， PA 平面 PAB ，所以 FG 平面 PAB 又由已知可得 ADBC ，且 BC=13AD 所以 AGBC ，且 AG=BC 所以四边形 BCGA 是平行四边形，所以 CGAB 又 CG 平面 PAB ， AB 平面 PAB ，所以 CG 平面 PAB 而直线 FG 和 CG 是平面 CFG 内的相交直线，所以平面 CFG 平面 PAB 又 CF 平面 PAB ，所以 CF 平面 PAB 证完解3（利用比例关系证明线线平行）证：延长 AB 和 CD ，设它们的交点为 H ，连 PH 由已知可得 ADBC ，且 BC=13AD ，得 HC=13HD 因为点 F 为 PD 上一点且 PF=

21、13PD ，所以 CFPH ，又 CF 平面 PAB ， PH 平面 PAB ，所以 CF 平面 PAB （2）解1：（直接画出线面角） 取 BD 的中点 M ，连 AM 和 PM 因为 ADAB ，且 AB=AD=3 ，所以 AMBD ，且 AM=322 因为 PB 底面 ABCD ， AM 底面 ABCD ，所以 AMPB 又 BD 、 PB 是平面 BPD 内的相交直线，所以 AM 平面 BPD 所以 APM 就是直线 PA 与平面 BPD 所成角，且 sinAPM=AMPA 又 PB=AB=3 ， PB 底面 ABCD ，可得 PA=32 所以 sinAPM=AMPA=12 即直线 P

22、A 与平面 BPD 所成角的正弦值为 12 解2：（等体积法求距离）因为 PB=AB=3 ， PB 底面 ABCD ，可得 PA=32 设点 A 到平面 BPD 的距离为 h ，直线 PA 与平面 BPD 所成角为 ，则 sin=hPA 由已知易得 VA-BPD=VP-ABD ，即 13SBPDh=13SABDPB 由已知条件， PB 底面 ABCD ，底面 ABCD 为梯形， ADBC ， ADAB ，且 PB=AB=AD=3 ，得 SBPD=922 ， SABD=92 得 h=322 因此 sin=hPA=12 即直线 PA 与平面 BPD 所成角的正弦值为 12 解3：（空间向量法）（1

23、）证：依题意，可如图建立空间直角坐标系则B(0,0,0) ， A(0,3,0) ， C(1,0,0) ， D(3,3,0) ， P(0,0,3) ， PF=13PD=(1,1,-1) ，进而得 CF=CP+PF=(0,1,2) 显然，平面 PAB 的法向量可取 n=(1,0,0) ，故 CFn=0 ，又 CF 平面 PAB ，所以 CF 平面 PAB 证完（2）由（1）知， PA=(0,3,-3) ， PD=(3,3,-3) ， BP=(0,0,3) 设平面 BPD 的法向量为 m=(x,y,z) ，并记直线 PA 与平面 BPD 所成角为 ，则 3x+3y-3z=0,3z=0, 取 x=1

24、，得 y=-1 ， z=0 ，故 m=(1,-1,0) 所以 sin=|PAm|PA|m|=3322=12 即直线 PA 与平面 BPD 所成角的正弦值为 12 【考点】直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，平面与平面平行的性质，用空间向量求直线与平面的夹角 【解析】【分析】（1）解法一：先利用平行四边形证明直线平行，再根据线面平行的判定定理求证即可； 解法二：先根据线面平行的判定定理，再结合面面平行的判定定理及性质定理求证即可； 解法三：先利用比例关系证明线线平行，再根据线面平行的判定定理求证即可；（2）解法一：运用几何法直接求解即可； 解法二：运用等体积法直接求解即可； 解法三：运用

25、向量法直接求解即可.20.已知首项为 32 的等比数列 an 的前 n 项和为 Sn （ nN* ），且 -2S2 ， S3 ， 4S4 成等差数列 （1）求数列 an 的通项公式； （2）求 Sn ，并求 S2n+1S2n 的最大值 【答案】 （1）设等比数列 an 的公比为 q 因为 -2S2 ， S3 ， 4S4 成等差数列，所以 S3+2S2=4S4-S3 ， 即 S4-S3=S2-S4 ，可得 2a4=-a3 ，于是 q=a4a3=-12 又因为 a1=32 ，所以等比数列 an 的通项公式为 an=32(-12)n-1=(-1)n-132n （2）Sn=1-(-12)n ， Sn+

26、1Sn=1-(-12)n+11-(-12)n=2+12n(2n+1),n为奇数, 2+12n(2n-1),n为偶数. 故当 n 为偶数时， Sn+1Sn 随 n 的增大而减小，所以 Sn+1SnS2+1S2=2512 故 S2n+1S2n 的最大值为 2512 【考点】函数的单调性及单调区间，等比数列的通项公式，等差数列的性质 【解析】【分析】（1）根据等差中项的性质，结合等比数列的通项公式求解即可； （2）根据分段函数的定义，结合函数的单调性求解即可.21.已知函数 f(x)=x2+ax-bex(xR) 的一个极值点是 x=2 ， （1）当 a=1 时，求 b 的值，并求 f(x) 的单调递

27、增区间； （2）设 a0 ，若对任意 x0,3 ，使得 f(x)0 得 -1x0 ，因此由 f(x)=-(x-2)(x+a)ex 知 f(x) 在 (0,2) 上单调递增，在 (2,3) 上单调递减对任意 x0,3 ，使得 f(x)9e2 成立，只要 f(2)9e2 即可，即 4+2a-ae29e2 ，解得 a5因此 0a0) 的直线 l1 ，交拋物线于 A ， B 两点（点 A 在第一象限），直线 l 交 x 轴于点 M ，过点 A 作斜率为 k2 的直线 l2 交抛物线于另一点 C ，且交 x 轴于点 N ，且满足 2k1+k2=0 记 AMN ， ABC 的面积分别为 S1 ， S2 （

28、1）若 k1=1 ，求 |AB| ； （2）求 S1S2 的取值范围 【答案】 （1）设 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ，由题意可知 l1:x=y+1 ，联立 l1 与抛物线得 x=y+1y2=xy2-y-1=0y1+y2=1y1y2=-1 ，故 |AB|=(1k1)2+1|y1-y2|=2(y1+y2)2-4y1y2=10 （2）设 A(x1,y1) ， B(x2,y2) ， C(x3,y3) ，直线 l1:y=k1x-1 ， x1=y12 ，则直线 l2:x=1k2(y-y1)+y12 ， 联立 l1 与抛物线得 y=k1x-1y2=xy2-yk1-1k1=0y1+y2=1k1y

29、1y2=-1k1 ，联立 l2 与拋物线得l2:x=1k2(y-y1)+y12y2=x2k1+k2=0y2+y2k1-y12k1-y12=0y1+y3=-12k1y1y3=-y12k1-y12 ，故解得 y3=-12k1-y1 ，S1S2=|AM|AB|AN|AC|=y1y1-y2y1y1-y3=y12y12-y1y2-y1y3+y2y3=y12y12+1k1+y12k1+y12+(1k1-y1)(-12k1-y1)=y123y12+1k1-12k12 ，因为 y12-y1k1-1k1=0 ，故 1k1=y12y1+1 ，故 S1S2=y123y12+y12y1+1-12(y12y1+1)2=13+1y1+1-y122(y1+1)2=13+1t-(t-1)22t2=152+2t-12t2(14,25) ，其中 t=y1+1(1,+) ，综上， S1S2 的取值范围是 (14,25) 【考点】直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题，三角形中的几何计算 【解析】【分析】（1）根据直线与抛物线的位置关系，结合弦长公式求解即可； （2）根据直线与抛物线的位置关系，及三角形的面积公式，结合函数的最值求法直接求解即可.