实数（选择 填空）【考点精讲】（解析版）.pdf

1、 学科网（北京）股份有限公司【中考高分指南】数学（选择+填空）【备战 2024 年中考数学考点总复习】（全国通用）实数 学科网（北京）股份有限公司考点一、实数的相关概念 概念 意义 注意事项与拓展 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的一条直线就是数轴 1.数轴上的点右边的数总比左边的数大；2.数轴上的点与实数具有一一对应关系 相反数 只有符号相反的两个数叫做相反数 1.a 的相反数为-a；2.若 a 与 b 互为相反数，则 a+b=0（反之亦成立）；3.a-b 的相反数为：-（a-b）或 b-a 绝对值 表示数轴上一个数 a 到原点的距离，即 a 1.=)0()0(0)0(aaaaaa，故去却

2、绝对值要先判断式子的正负；2.0a，故绝对值是它本身的数是 0 和正数；3.若0=+ba，则 a=0 且 b=0(a、b 可以是多项式）倒数 若 ab=1，则 a 与 b 互为倒数 1.0 没有倒数；2.每一个数的倒数和它本身的符号相同 乘方 n 个相同的数 a 相乘的结果记为 an，其中 a 叫做底数，n 叫做指数，乘方的结果叫做幂 1.正数的任何次方结果均为正数；2.负数的偶数次方结果为正数，负数的奇数次方结果为负数；3.规定：a0=1（a0）科学记数法 是整数），（naan10110 n 的值的确定方法：1.将这个数的整数部分的位数-1 就是 n 2.将这个数的小数点向左移动的位数就是

3、n 平方根 如果一个数的平方等于 a，那么这个数就叫做 a 的平方根，即对于一个非负数 a（a0），其平方根为 ，算术平方根为 1.正数的平方根必有 2 个，并且它们互为相反数，其中正的平方根为算术平方根；2.0 的平方根还是 0，0 的算术平方根也还是它本身；3.负数没有平方根；4.算术平方根的双重非负性被开方数 a0，算术平aa 学科网（北京）股份有限公司方根本身0；立方根 如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根，即对于一个 a，其立方根为 1.正数的立方根是正数；2.负数的立方根是负数；3.0 的立方根还是 0 考点二、实数的分类 按定义分类：无限不循环小数负无理数正无

4、理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数正整数整数有理数实数0 按正负分类：负实数正实数实数0 考点三：实数的大小比较 方法 意义 注意事项与拓展 性质法 正负0负数 1.两个正数比较大小，绝对值大的数较大；2.两个负数比较大小，绝对值大的反而小 3.题目中找最大的数，从正数里面找，找最小的数从负数里面找 数轴法 数轴上的两个数比较大小，右边的数总比左边的数大 差量法 对于任意两个实数 a、b，若；时当；时当；时当babababababa=000 平方法 若要比较任意两个实数 a、b 的大1.当 a、b 同为正数时，若 a2b2，则 ab；若 a2b2，则3 a 学科网（北京）股

5、份有限公司小，可以先比较他们的平方，由平方倒推 a、b 本身的大小 ab；2.当 a、b 同为负数时，若 a2b2，则 ab；若 a2b2，则ab；近似值法 对于实数中含有二次因数部分时，可以直接根据二次因数部分的近似值估算两个实数间的大小 常用数的近似值2 1.414 3 1.732 5 2.236考点四：实数的运算 一、实数的运算种类：包括加、减、乘、除、乘方、开方，其中，减法转化为加法运算；除法、乘方都转化为乘法运算；二、零指数幂和负整数指数幂公式：）0(10=aa；）0(1-=aaaPP；特别地：）0(11-=aaa；三、实数的运算顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号

6、，就先算括号内的；同级运算，按照从左到右的顺序进行，能用运算律的可用运算律简化计算。【考点 1】实数的概念与分类【例 1】（2023 年湖南）下列各数中，是无理数的是()A.17 B.C.1 D.0【答案】B 【解析】解：17是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；B.是无理数，故本选项符合题意；C.1是整数，属于有理数，故本选项不符合题意；D.0是整数，属于有理数，故本选项不符合题意 故选：根据无理数的定义解答即可【点睛】本题考查的是无理数，熟知无限不循环小数叫做无理数是解题的关键 学科网（北京）股份有限公司无理数常见的四种类型”：（1）开不尽的数，如 2，3 6（2）含有 的绝大部分数，如

7、，5（3）具有特定结构的数，如 0.10100000(两个 1 之间依次增加 1 个 0)（4）三角函数数中的一些数，如60sin，20cos，60tan.1.（2023 年山东）实数,0,13，1.5中无理数是()A.B.0 C.13 D.1.5【答案】A 【解析】解：根据无限不循环小数是无理数可得：是无理数 故选：根据无理数定义进行判断【点睛】本题主要考查了无理数的知识、有理数的知识，难度不大，掌握无理数定义是解答的关键 2.（2023 年江苏）下列数中，属于负数的是()A.2023 B.2023 C.12023 D.0【答案】B 【答案】解：2023，12023，0都不是负数，2023是

8、负数，故选：根据负数的定义即可求得答案【点睛】本题考查正数和负数，熟练掌握其定义是解题的关键 3.（2023 年陕西）在实数 2，1，0，5，中，最小的无理数是_ 【答案】5 【解析】解：在实数 2，1，0，5，中，学科网（北京）股份有限公司无理数有：2，5，2 1.414，5 2.236，3.142，5 2 无理数最小的是 5 故答案为：5 先从实数中找出无理数，再比较无理数的大小【点睛】本题考查了无理数大小的比较，掌握比较无理数大小的方法是解决本题的关键 【考点 2】正负数的意义【例 2】（2023 年湖南）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家.若向东走60米记作+60米，则向西

9、走80米可记作()A.80米 B.0米 C.80米 D.140米【答案】A 【解析】解：因为向东走60米记作+60米，所以向西走80米记作：80米，故选 A 根据正数和负数可以用来表示具有相反意义的量解答即可【点睛】本题考查了正数和负数，熟练掌握正数和负数可以用来表示具有相反意义的量是解题的关键 正负数的意义：表示具有相反意义的量4（2023浙江）某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是20，10，0，2，其中最低气温是()A.20 B.10 C.0 D.2【答案】A 【解析】解：由题可知：20 10 0 2，所以最低气温是20 学科网（北京）股份有限公司故选：明确在实数中负数

10、小于0小于正数，且负数之间比较大小绝对值越大负数越小【点睛】本题考查了实数的比较大小，题目难度较小，一般出现在期末第一题 5（2023湖南）中国是最早采用正负数表示相反意义的量、并进行负数运算的国家，若收入500元记作+500元，则支出237元记作()A.+237元 B.237元 C.0元 D.474元【答案】B 【解析】解：收入500元记作+500元，则支出237元应记作237元，故选：根据正数和负数表示相反意义的量，收入记为正，可得支出表示方法【点睛】本题考查了正数和负数，相反意义的量用正数和负数表示 6（2023福建）某仓库记账员为方便记账，将进货10件记作+10，那么出货5件应记作_

11、【答案】5 【解析】解：进货10件记作+10，出货5件应记作5，故答案为：5 正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可得出答案【点睛】本题考查正数和负数的意义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握 【考点 3】绝对值、相反数与倒数【例 3】（2023 年山东）14的绝对值是()A.14 B.14 C.4 D.4【答案】B 【解析】解：14的绝对值是|14|=14 故选：负数的绝对值是它的相反数，由此即可得到答案【点睛】本题考查绝对值，掌握绝对值的意义是关键【例 4】（2023 年湖南）|2023|的相反数是()学科网（北京）股份有限公司A.2023 B.2023 C.12023 D.12023

12、【答案】B 【解析】解：|2023|=2023，|2023|的相反数是2023 故选：根据“只有符号不同的两个数叫做互为相反数”解答【点睛】本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键【例 5】（2023 年辽宁）0.5的倒数是()A.2 B.5 C.0.5 D.12【答案】A 【解析】解：0.5=12 0.5的倒数为2 故选：将0.5化为分数，然后将分子分母颠倒位置求倒数即可【点睛】本题考查倒数的概念，求一个数的倒数，就是将其化为分数，再将分子分母颠倒位置即可 7（2023四川）2023的倒数为()A.2023 B.12023 C.2023 D.12023【答案】D 【解析】解：2023 (12

13、023)=1，2023的倒数是12023，故选：运用乘积为1的两个数是互为倒数进行求解【点睛】此题考查了倒数，关键是能准确理解倒数的定义 8（2023浙江）实数3的相反数是()A.13 B.13 C.3 D.3 学科网（北京）股份有限公司【答案】C 【解析】解：3的相反数是3，故选：根据相反数的定义判断即可【点睛】本题考查了相反数：只有符号不同的两个数是互为相反数，掌握其定义是解题的关键 9（2023上海）计算：2=_【答案】2 【解析】本题考查了绝对值的计算，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键.根据绝对值的定义进行化简即可解答【解答】解：根据绝对值的定义可得，|2|=2；故答案为2 【考点 4

14、】数轴的运用【例 6】（2023 年北京）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是()A.|4 B.0 D.+0【答案】A 【解析】解：观察数轴可知：0 ，且|；所以 0，+0是错误的；|7 4，9 7 4，3 7 2 故选：分析被开方数的范围即可【点睛】本题主要考查实数与数轴给定某一无理数，在数轴上找到该点所在的区间，分析该无理数的范围即可，比较简单，10（2023山东）实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，比较大小：(+1)(1)_ 0.(填“”“【解析】解：由数轴可得1 0 1 0，1 0，那么(+1)(1)0，故答案为：由数轴可得1 0 1 0，1 0，从而求得答案【点睛】

15、本题考查实数与数轴及实数的大小比较，结合数轴得出1 0 1|，其中值最小的是|，故选：结合数轴得出，四个数的绝对值大小进行判断即可【点睛】本题考查实数与数轴的关系及绝对值的几何意义，离原点越近的点所表示的数的绝对值越小是解 学科网（北京）股份有限公司题的关键 12（2023福建）如图，数轴上的点表示下列四个无理数中的一个，这个无理数是()A.2 B.2 C.5 D.【答案】B 【解析】本题考查了实数与数轴的关系以及估算无理数的大小有关知识，根据这个无理数在1到2之间，可得点表示的无理数化为带根号的数的被开方数的范围，然后即可得解【解答】解：点表示的无理数在12之间，即1 4，符合条件的数是 2

16、 故选：【考点 5】实数的大小比较【例 8】（2023 年四川）在3，7，0，19四个数中，最大的数是()A.3 B.7 C.0 D.19【答案】A 【解析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数和零大于一切负实数，零小于任何的正实数，据此判断即可 此题主要考查了实数大小比较，解答此题的关键是要明确：正实数 0 负实数【解答】解：3 19 0 7，所给的四个数中，最大的数是3 故选 A 比较实数大小的五种方法（1）绝对值比较法：两个负数比较大小，绝大值大的反而小（2）数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大 学科网（北京）股份有限公司（3）平方比较法：先将要平方的两个数分别平方

17、，再根据 a0,b0 时，可由 a2b2 得到 ab 来比较大小。（4）取近以值法：首先对要比较的两个数取近以值通过比较其近似值来比较两个数的大小，（5）差值比较法13（2023四川）比较大小：5 11(填“”、“【解析】解：2 5 3，1 5 1 1 故答案为：直接估计出 5的取值范围，进而得出答案【点睛】此题主要考查了实数大小比较，正确得出 5的取值范围是解题关键 14（2023江苏）下列实数中，最大的数是()A.1 B.0 C.1 D.2【答案】D 【解析】解：2 1 0 1，最大的数是2 故选：正数 0 负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小；据此进行判断即可【点睛】本题考查有理数的

18、大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握 【考点 6】平方根、算术平方根与立方根【例 9】（2023 年江苏）4的平方根是_；8的立方根是_【答案】2 2 【解析】解：(2)2=4，4的平方根是2 23=8，8的立方根是2 学科网（北京）股份有限公司故答案为：2，2 依据平方根立方根的定义回答即可【点睛】本题主要考查的是立方根、平方根的定义，掌握立方根、平方根的定义是解题的关键【例 10】（2023 年江苏）实数9的算术平方根是()A.3 B.3 C.19 D.9【答案】A 【解析】解：实数9的算术平方根是3，故选：根据算术平方根的定义，即可解答【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平

19、方根的定义是解题的关键 15（2023广东）若+3是4的平方根，1为8的立方根，则+=_ 【答案】2或6 【解析】解：+3是4的平方根，8的立方根为 1，+3=4=2，1=83=2，=1或5，=1，+=1+(1)=2或+=5+(1)=6 故答案为：2或6 根据平方与开平方互为逆运算，可得算术平方根，根据立方与开立方互为逆运算，可得一个数的立方根，根据有理数的加法，可得答案【点睛】本题考查了算术平方根，先求出立方根、算术平方根，再求出计算结果 16（2023山东）面积为9的正方形，其边长等于()A.9的平方根 B.9的算术平方根 C.9的立方根 D.9的算术平方根【答案】B 【解析】解：正方形的

20、面积为9，其边长=9 学科网（北京）股份有限公司故选：根据算术平方根的定义解答即可【点睛】本题考查的是算术平方根，熟知一般地，如果一个正数的平方等于，即2=，那么这个正数叫做的算术平方根是解题的关键 17（2023四川）8的立方根为()A.4 B.2 C.2 D.不存在【答案】C 【解析】此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键 利用立方根定义计算即可得到结果【解答】解：有理数8的立方根为83=2 故选：【考点 7】实数的估算与运算【例 11】（2023 年江苏）如图，数轴上，五个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数 10的点应在()A.线段上 B.线段上 C.线段上 D.线段

21、上【答案】C 【解析】解：3 10 4，而数轴上，五个点分别表示数1，2，3，4，5，表示数 10的点应在线段上，故选：根据算术平方根的定义，估算无理数 10的大小，再根据数轴上，五个点在数轴上的位置进行判断即可【点睛】本题考查估算无理数的大小，实数与数轴，掌握算术平方根的定义以及数轴表示数的方法是正确解答的前提【例 12】（2023 年北京）写出比 2大且比 15小的整数【答案】2和3 【解析】本题主要考查了估算无理数的大小，根据题意估算出 2和 15的大小是解答此题的关键先估算出 2和 15的大小，再找出符合条件的整数即可 学科网（北京）股份有限公司【解答】解：1 2 2，3 15 4，比

22、 2大且比 15小的整数是2和3。故答案为2和3 关于实数的运算，要掌握好与实数的有关概念、性质，灵活地运用各种运算律，关键是把好符号关；在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误。18（2023北京）估计 11的值在()A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间【答案】C 【解析】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题 由于9 11 16，于是 9 11 16，从而有3 11 4【解答】解：9 11 16，9 11 16，3 11 3，227=3 17 3，17 16 3，各数中，比3大的数是227，故选：根据|3

23、|=3，3，227=3 17 3，17 16 3，即可得出比3大的数【点睛】本题主要考查了实数大小的比较，解题时注意：利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点左侧，绝对值大的反而小【考点 8】科学计数法 学科网（北京）股份有限公司【例 13】（2023 年湖南）新时代我国教育事业取得了历史性成就，目前我国已建成世界上规模最大的教育体系，教育现代化发展总体水平跨入世界中上国家行列，其中高等教育在学总规模达到4430万人，处于高等教育普及化阶段.4430万用科学记数法表示为()A.443 105 B.4.43 107 C.4.43 108 D.0.

24、443 108【答案】B 【解析】解：4430万=44300000=4.43 107 故选：科学记数法的表现形式为 10的形式，其中1|10，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义【例 14】（2023 年山东）芯片内部有数以亿计的晶体管，为追求更高质量的芯片和更低的电力功耗，需要设计体积更小的晶体管目前，某品牌手机自主研发了最新型号芯片，其晶体管栅极的宽度为0.000000

25、014米，将数据0.000000014用科学记数法表示为()A.1.4 108 B.14 107 C.0.14 106 D.1.4 109【答案】A 【解析】解：0.000000014=1.4 108 故选：科学记数法的表示形式为 10的形式，其中1|10，为整数确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 10时，是正整数；当原数的绝对值 1时，是负整数【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 10，其中1|10，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定 科学记数法的表示方法：一般形式:a10n.1a 值的确定:1|a|

26、10.2n 值的确定:当原数的绝对值大于或等于 10 时,n 等于原数的整数位数减 1;学科网（北京）股份有限公司 当原数的绝对值小于 1 时,n 是负整数,它的绝对值等于原数左起第一个非零数字前所有零的个数(含小数点前的零).注意:若含有计数单位,则先把计数单位转化为数字，再用科学记数法表示.20（2023福建）党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系、医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五.将数据1040000000用科学记数法表示为()A.104 107 B.10.4 108 C.1.04 1

27、09 D.0.104 1010【答案】C 【解析】解：1040000000=1.04 109 故选：科学记数法的表示形式为 10的形式，其中1|10，为整数确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 10时，是正整数；当原数的绝对值 1时，是负整数【点睛】此题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法的表示形式为 10的形式，其中1|10，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值 21（2023河南）2022年河南省出版的4.59亿册图书，为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要精神，建设学习型社会提供了丰富的图书资源.数据“4.59亿”用科

28、学记数法表示为()A.4.59 107 B.45.9 108 C.4.59 108 D.0.459 109【答案】C 【解析】解：4.59亿=459000000=4.59 108 故选：将一个数表示为 10的形式，其中1|10，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，掌握形式为 10，其中1|10，确定与的值是解题的关键 22（2023四川）纳米是表示微小距离的单位，1纳米=0.000001毫米，而1毫米相当于我们通常使用的刻度尺上的一小格，可想而知1纳米是多么的小.中科院物理所研究员解思深领导的研究组研制出世界上最细的 学科网（北京

29、）股份有限公司碳纳米管一一直径0.5纳米.0.5纳米相当于0.0000005毫米，数据0.0000005用科学记数法可以表示为()A.0.5 106 B.0.5 107 C.5 106 D.5 107【答案】D 【解析】解：将0.0000005用科学记数法表示为5 107 故选：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 10，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 10，其中1|10，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定 23（2023黑龙江）纳米是非常小的长度单位，1=0.000000001，把0.000000001用科学记数法表示为()A.1 109 B.1 108 C.1 108 D.1 109【答案】A 【解析】解：0.000000001=1 109故选：本题主要根据科学记数法的定义和负指数的知识来解答【点睛】本题主要考查了科学记数法的相关知识，难度不大 学科网（北京）股份有限公司