专题2-3导数的应用（专题分层练）解析版.docx

1、专题验收评价专题2-3 导数的应用内容概览A常考题不丢分一导数的运算（共1小题）二利用导数研究函数的单调性（共1小题）三利用导数研究函数的极值（共2小题）四利用导数研究函数的最值（共4小题）五利用导数研究曲线上某点切线方程（共7小题）六用定积分求简单几何体的体积（共1小题）B拓展培优拿高分（压轴题）（24题）C挑战真题争满分（3题）一导数的运算（共1小题）1（2023松江区校级模拟）在同一坐标系中作出三次函数及其导函数的图象，下列可能正确的序号是ABCD【分析】结合导数的几何意义，以及函数的图象，即可求解【解答】解：当时，递增，当时，递减，故中函数图象的增减趋势与导函数的正负区间是吻合的，故正

2、确，中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误，中导函数为负的区间内相应的函数不减少，故错误故选：【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及函数图象的应用，属于基础题二利用导数研究函数的单调性（共1小题）2（2023宝山区校级三模）函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是ABCD【分析】分析导函数的图像可判断函数的大致单调区间从而决定原函数的图像【解答】解：由导函数图像可知原函数在单调递减，单调递增，单调递减，单调递增，其中，由图可知，选项先递增，故不满足题意，其中选项，的增区间为，且，故不满足题意，故选：【点评】本题主要考查了利用导函数图像判断原函数图像，属于基础题三利用导数研究函数的

3、极值（共2小题）3（2023徐汇区校级三模）已知函数（1）求曲线在处的切线方程；（2）函数在区间，上有零点，求的值；（3）记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的取值范围【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再求出切点坐标，即可求出切线方程；（2）求出的导数，判断的单调性，利用零点存在性定理判断即可；（3）求函数的导函数，令，依题意方程有两不相等的正实根、，利用韦达定理，结合的取值方程，即可求出的取值范围，则，构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解【解答】解：（1）因为，所以，切线斜率为（1），又（1），切点为，所以切线方程为；（2），当

4、时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以的极小值为（1），在区间上存在一个零点，此时；又（3），（4），在区间上存在一个零点，此时综上，的值为0或3；（3）函数，所以，由得，依题意方程有两不相等的正实根、，又，解得，构造函数，所以，在上单调递减；所以当时，所以【点评】本题主要考查导数的几何意义，利用导数研究函数的零点，利用导数研究不等式恒成立问题等知识，属于中等题4（2023徐汇区校级模拟）已知函数，（1）判断函数的奇偶性；（2）若函数在处有极值，且关于的方程有3个不同的实根，求实数的取值范围；（3）记是自然对数的底数）若对任意、，且时，均有成立，求实数的取值范围【分析】（1）分别讨论，结合

5、函数的奇偶性的定义，可得结论；（2）求得的导数，由极值点1可得（1），解得，求得的解析式和导数、极值，由题意可得介于极小值和极大值之间；（3）由的单调性可得对任意、，且时恒成立，可得在，递减；在，递增再由导数判断单调性和最值，可得所求取值范围【解答】解：（1）当时，满足，为偶函数；当时，且，没有奇偶性；（2）函数在处有极值，可得，（1），即，解得，所以，当时，递减；当或时，递增，可得在处取得极小值，且为；在处取得极大值，且为，的方程有3个不同的实根，等价为，即有的取值范围是；（3）在，递减，可得时，即为，即，即为对任意、，且时恒成立所以在，递减；在，递增当在，恒成立时，可得，即在，恒成立由的导

6、数为，可得在，递增，在，递减，则的最大值为，则；当在，恒成立时，可得，即在，恒成立由的导数为，可得在，递增，则最小值为1，则综上可得的取值范围是，【点评】本题考查函数的导数的运用：求单调性和极值、最值，以及函数奇偶性的判断，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题四利用导数研究函数的最值（共4小题）5（2023徐汇区校级一模）设函数，其中若对，都，使得不等式成立，则的最大值为A0BC1D【分析】先利用导数求出在上的最小值，再解存在性问题去掉，接着再分类讨论，解关于的恒成立问题，从而得解【解答】解：，又（1），又当时，当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，（1），都，使得不等

7、式成立，恒成立，恒成立，即，恒成立，又，且在，上单调递增，当，即时，在，上单调递增，最小值为，时，恒成立，当时，即时，令，得，时，；时，在单调递减，在单调递增，而，的最小值，不恒成立，不满足题意，综合可得的范围为，的最大值为1故选：【点评】本题考查存在性问题与恒成立问题，利用导数研究函数的单调性与最值，分类讨论思想，属中档题6（2023静安区二模）已知函数（其中为常数）（1）若，求曲线在点，（2）处的切线方程；（2）当时，求函数的最小值；（3）当时，试讨论函数的零点个数，并说明理由【分析】（1）当时，求得，得到（2）且（2），进而求得切线方程；（2）求得，利用导数求得函数的单调性和极值，即可求

8、解；（3）当时，求得在上有一个零点；当时，利用导数求得函数的单调性和极值，进而得出函数零点的个数【解答】（1）解：当时，可得，可得，所以（2）且（2），所以切线方程为，即，所以曲线在点，（2）处的切线方程为（2）解：由函数，可得函数的定义域为，又由，令，解得，当时，与在区间的情况如下表：10极小值所以函数的极小值为，也是函数的最小值，所以当时，函数的最小值为；（3）解：当时，令，解得，（舍去）所以函数在上有一个零点；当时，与在区间的情况如下表：100极大值极小值所以函数在单调递增，在上单调递减，此时函数的极大值为，所以函数在上没有零点；又由且函数在上单调递增，且当时，所以函数在上只有一个零点，

9、综上可得，当时，在上有一个零点【点评】本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的最值和零点问题，属于中档题7（2023虹口区校级模拟）已知（1）求函数的极小值；（2）当，时，求证：；（3）设，记函数在区间，上的最大值为（a），当（a）最小时，求的值【分析】（1）由题意，对进行求导，利用导数得到的单调性，进而可得极小值；（2）设，此时将求证，转化成求证，对进行求导，利用导数得到的单调性和极值，进而即可得证；（3）结合（2）中所得结论，对和进行讨论即可求解【解答】解：（1）已知，函数定义域为，可得，令，解得或，当 时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增，所以当时，函数取极小值，极小值为（

10、2）；（2）证明：不妨设，函数定义域为，可得，令，解得或，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增，因为（4），所以当，时，故当，时，；（3）由（2）知，所以，因为，不妨设，此时，此时函数在区间，上最大值为在时的最大值，所以（a）是，中的较大者，若，即 时，（a）；若，即时，（a），所以当（a）最小时，（a），此时【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了转化思想和运算能力8（2023杨浦区校级三模）已知函数，令（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）当为正数且时，求的最小值；（3）若对一切都成立，求的取值范围【分析】（1）把代入，对函数求导，结合导数几何意义求出切线斜率，进

11、而可求切线方程；（2）结合导数与单调性及最值关系分析函数的最小值的取得条件，即可求解；（3）已知不等式可转化为对一切都成立，结合已知不等式考虑构造函数，从而有在上单调递增，结合导数与单调性关系可求【解答】解：（1）时，故（1），（1），所以在处的切线方程为，即；（2），则，因为，当时，易得在，上单调递增，（1），当时，在，上单调递减，在，上单调递增，故，不合题意；当时，在，上单调递减，在，上的最小值（e）（1），不符合题意，故的最小值为1；（3）若对一切都成立，则对一切都成立，所以对一切都成立，令，则在上单调递增，所以在时恒成立，即在时恒成立，当时，在时恒成立，符合题意，当时，因为过定点，对称

12、轴，则只要，所以，故的取值范围为，【点评】本题主要考查了导数几何意义的应用，还考查了导数与单调性及最值关系的应用，体现了分类讨论思想及转化思想的应用，属于中档题五利用导数研究曲线上某点切线方程（共7小题）9（2023徐汇区校级一模）若直线是曲线与的公切线，则AB1CD2022【分析】设出公切线与两曲线的切点坐标，分别求出在切点处的切线方程，利用斜率相等及切线在轴上的截距相等即可求解值【解答】解：设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点，又，且，曲线在点，处的切线方程为，曲线在点，处的切线方程为故，解得，故故选：【点评】本题考查利用导数求切线方程，考查学生的运算能力，属于中档题10（2023徐汇

13、区校级一模）已知函数，其中，则曲线在点，处的切线方程为 【分析】根据导数的几何意义，求出，即可得出切线方程【解答】解：因为，所以，则，所以所求切线的方程为故答案为：【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题11（2023徐汇区校级三模）设是曲线上任意一点，则曲线在点处的切线的倾斜角的取值范围是 ，【分析】求出导函数的值域，再结合正切函数的单调性求解【解答】解：由已知得，由，得，故答案为：，【点评】本题考查导数的几何意义、正切函数的性质，属于中档题12（2023普陀区校级模拟）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ，【分析】设切点坐标为，利用导数求

14、出切线的斜率，进而得到切线方程，再把原点代入可得，因为切线存在两条，所以方程有两个不等实根，由即可求出的取值范围【解答】解：，设切点坐标为，切线的斜率，切线方程为，又切线过原点，整理得：，切线存在两条，方程有两个不等实根，解得或，即的取值范围是，故答案为：，【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，属于中档题13（2023上海模拟）若曲线有两条过的切线，则的范围是 【分析】由题可将曲线有两条过的切线转化为函数图象与直线有两个交点，然后利用导数研究单调性，画出大致图象，即可得答案【解答】解：设切线切点为，又，所以切线斜率为，因为，所以切线方程为：又切线过，则，即，则由题可知函数图

15、象与直线有两个交点，由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减又（1），又，据此可得大致图象如下则由图可得，当时，曲线有两条过的切线故答案为：【点评】本题考查利用导数求函数的切线问题，化归转化思想，数形结合思想，属中档题14（2023黄浦区校级三模）已知函数的图像在，处的切线与在，处的切线相互垂直，那么的最小值是 【分析】求出，根据导数的几何意义得到，根据余弦函数的最值可得且，或且，分两种情况求出，然后求出其最小值即可【解答】解：因为，所以，依题意可得，所以，所以且，或且，当且时，所以，所以，所以当或时，取得最小值当且时，所以，所以，所以当或时，取得最小值综上所述：的最小值是故答案为：【点评】

16、本题考查导数的几何意义，考查三角函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题15（2023黄浦区校级模拟）曲线在点处的切线倾斜角为【分析】先求出曲线方程的导函数，把代入导函数中求出的函数值即为切线方程的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系得到倾斜角的正切值等于切线方程的斜率，然后利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数【解答】解：由，得到，所以切线的斜率，设直线的倾斜角为，则，又，所以故答案为：【点评】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，掌握直线斜率与倾斜角间的关系，灵活运用特殊角的三角函数值化简求值，是一道综合题六用定积分求简单几何体的体积（共1小题）16（2023宝山区校级模拟）

17、在平面直角坐标系内，直线，将与两坐标轴围成的封闭图形绕轴旋转一周，所得几何体的体积为【分析】由题意此几何体的体积可以看作是：，求出积分即得所求体积，方法二由题意可得绕轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥，根据圆锥的体积公式，即可求得所得几何体的体积【解答】解：由题意可知：， ，方法二：由题意可知绕轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥，则，故答案为【点评】本题考查用定积分求简单几何体的体积，求解的关键是找出被积函数来及积分区间，属于基础题一选择题（共3小题）1（2022上海自主招生），在，（3）处切线方程为ABCD【分析】根据已知条件，结合导数的几何意义，求出（3），再结合直线的点斜式公

18、式，即可求解【解答】解：，令，解得（3），在，（3）处切线方程为，即故选：【点评】本题主要考查导数的几何意义，考查转化能力，属于基础题2（2022上海自主招生）等比数列A不存在BCD【分析】运用等比数列前项和公式求，再求极限即可【解答】解：等比数列，解得，故选：【点评】本题考查了等比数列的基本运算，极限的计算，是基础题3（2022上海自主招生）在中有极大值，则的取值范围为ABCD【分析】对求导，根据在中有极大值，可得方程在区间内有解，然后求出的取值范围即可【解答】解：由，得，函数在区间内有极大值，方程在区间内有解，即方程在区间内有解，在区间内有解，故，则的取值范围是故选：【点评】本题考查了利用

19、导数研究函数的单调性与极值，考查了转化思想和方程思想，属中档题二填空题（共1小题）4（2023嘉定区二模）若关于的函数在上存在极小值为自然对数的底数），则实数的取值范围为 【分析】求出函数的导函数，令，利用导数说明函数的单调性，求出，（2），再分类讨论，分别求出函数的单调区间，即可得到函数的极值点，即可判断【解答】解：因为，所以，令，则，所以当或时，当时，所以在，上单调递减，在上单调递增，又，（2），当即时与轴有且只有一个交点，不妨设交点横坐标为，则当时，即，当时，即，即在上单调递增，在，上单调递减，此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意；当，即时与轴有且只有一个交点，不妨设交点横坐标为

20、，则当时，即，当时，即，即在上单调递增，在，上单调递减，此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意；当时，当时，即，当时，即，所以在上单调递增，在上单调递减，此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意；当时，当时即，当时即，所以在上单调递增，在上单调递减，此时函数在处取得极大值，无极小值，不符合题意；当，即时的图象如下所示：即与轴有3个交点，不妨依次设为、，则当或时，即，当或时，即，所以在处取得极小值，符合题意，综上可得实数的取值范围为故答案为：【点评】本题考查了利用导数研究极值问题，属于中档题三解答题（共20小题）5（2022上海自主招生），对，求整数的最小值【分析】结合函数解析式的特征

21、分别考查和两种情况即可求得整数的最小值【解答】解：当时，此时（1）不合题意，当时，当时，单调递增，当时，单调递减，函数的最大值为，即满足题意，下面证明当时，对恒成立，由于，其对称轴为，故当时，综上可得，整数的最小值为1【点评】本题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，利用导数研究函数的单调性与函数的最值等知识，属于中等题6（2023虹口区校级三模）已知函数、（1）当，时，求函数图像过点， 的切线方程；（2）当时，既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围；（3）当，时，、分别为的极大值点和极小值点，且，求实数的取值范围【分析】（1）由题意，将，代入解析式中，对进行求导，得到和的值，代入切线方

22、程中即可求解；（2）将代入函数解析式中，对进行求导，将既存在极大值，又存在极小值，转化成必有两个不等的实根，利用导数得到的单调性和极值，进而即可求解；（3）将代入函数解析式中，对进行求导，利用导数分析的极值，将恒成立转化成，构造函数，利用导数分类讨论求解即可【解答】解：（1）已知、，函数定义域为，当，时，可得，此时，易知，所以函数过点， 的切线方程为，即为；（2）当时，可得，因为函数既存在极大值，又存在极小值，所以必有两个不等的实根，此时，令，解得或，且，所以且；不妨考虑当的情况下，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增，所以函数分别在，取得极大值和极小值，满足条件，当的情况下，当时，

23、单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增，所以函数分别在，取得极大值和极小值，满足条件，综上，实数的取值范围为，；（3）当，时，由（2）得，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增，所以在处取得极大值；在 取得极小值，因为恒成立，所以对任意的恒成立，此时，则，所以，整理得，不妨设，函数定义域为，可得，令方程，可得，当，即时，单调递增；所以（1），即，符合条件；当，即时，设方程的两个根分别为，可得，不妨设，当时，单调递减，所以当时，（1），即，不符合条件；综上，实数的取值范围为，【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想、分类讨论和运算能力7（2023闵行区二

24、模）如果曲线存在相互垂直的两条切线，称函数是“正交函数”已知，设曲线在点，处的切线为（1）当（1）时，求实数的值；（2）当，时，是否存在直线满足，且与曲线相切？请说明理由；（3）当时，如果函数是“正交函数”，求满足要求的实数的集合；若对任意，曲线都不存在与垂直的切线，求的取值范围【分析】（1）求导，根据导数值直接可得参数值；（2）假设存在，根据导数的几何意义可得，再利用垂直可得，再根据是否有解确定假设是否成立；（3）根据二阶导判断导数的单调性，分别讨论导数的正负情况，进而可得，再根据导数的正负情况分别解不等式即可【解答】解：（1）由题设，函数定义域为，且，由（1），则（2）当时，则（8），即的

25、斜率，假设存在，则的斜率，则有解，即在上有解，该方程化简为，解得或，符合要求，因此该函数存在另外一条与垂直的切线（3），令，则，当时，单调递减，当时，单调递增，设曲线的另一条切线的斜率为，当时，显然不存在，即不存在两条相互垂直的切线；当时，（1），且（1），趋近于0或趋向于正无穷大时，都趋向于正无穷大，所以在、上各有一个零点、，故当或，时，都有，当，时，故必存在，即曲线存在相互垂直的两条切线，所以，因为，由知，曲线存在相互垂直的两条切线，不妨设，满足，即，又，所以，故，当且仅当时等号成立，所以，解得，又，即，解得，因为，所以，综上可知，对任意满足的所有函数不存在与垂直的切线的的取值范围是，【点

26、评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的单调性及最值，是难题8（2023浦东新区校级三模）已知函数，其中，（1）当时，讨论函数的单调性；（2）若函数仅在处有极值，求的取值范围；（3）若对于任意的，不等式在，上恒成立，求的取值范围【分析】（1）将的值代入后对函数进行求导，当导函数大于0时求原函数的单调增区间，当导函数小于0时求原函数的单调递减区间（2）根据函数仅在处有极值说明仅有一个根得到答案（3）根据函数的单调性求出最大值，然后令最大值小于等于1恒成立求出的范围【解答】解：（1）（1分）当时，令，解得，（2分）当变化时，的变化情况如下表：000极小值极大值所以

27、在内是增函数，在，内是减函数（5分）（2），显然不是方程的根（7分）为使仅在处有极值，必须成立，（8分）即有解不等式，得这时，是唯一极值（9分）因此满足条件的的取值范围是（10分）（3）由条件，可知，（11分）从而恒成立在，上，当时，；当时，因此函数在，上的最大值是（1）与两者中的较大者（13分）为使对任意的，不等式在，上恒成立，当且仅当，即，在，上恒成立（15分）所以，因此满足条件的的取值范围是，（16分）【点评】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力9（2023浦东新区模拟）已知函数（）求曲线在点，处的切线方程；（）若函数在处

28、取得极小值，求的值；（）若存在正实数，使得对任意的，都有，求的取值范围【分析】（）求导，根据导数的几何意义，即可求得曲线在点，处的切线方程；（）由（）可知，即，当时，根据导数与函数单调性，极值的关系，即可求得当时，在处取得极小值；（）分与，根据导数与函数单调性的关系，即可求得的取值范围【解答】解：（）由，由，所以曲线在，处的切线方程为，即，所以曲线在点，处的切线方程；（）由函数，所以，此时，当时，所以在区间上单调递增，设，则，设，则，所以，当，所以在区间上单调递增，又，故存在使得，所以当，时，即，所以在区间，上单调递减，故函数在时，取得极小值，所以，所以的值为；（）若时，当时，所以，由（）可知

29、，在区间上单调递增，所以，所以在区间上恒成立，此时不存在正实数，使得对任意的都有，所以当不合题意，当时，设，则，所以当时，所以在区间上单调递增，而，故存在，使得，所以，当时，即在区间上单调递减，所以，当时，所以符合题意，综上所述，的取值范围为【点评】本题考查导数的综合应用，导数与函数单调性，极值（最值）的关系，考查导数与三角函数的应用，考查函数思想，分类讨论思想，考查计算能力，属于难题10（2023嘉定区校级三模）已知函数的图像在处的切线与直线平行（1）求实数的值；（2）若关于的方程在，上有两个不相等的实数根，求实数的取值范围（3）是否存在正整数，使得满足，的无穷数列是存在的，如果存在，求出所

30、有的正整数的值，如果不存在，说明理由【分析】（1）根据的图像在处的切线与直线平行，可得，再求出的值即可；（2）由（1）可知，等价于，令，判断的单调性，求出最值，再得到的取值范围即可；（3）根据切线不等式放缩，可得，则只要，数列收敛于，因此只需，即可求出满足题意的所有的正整数的值【解答】解：（1）因为，所以因为的图像在处的切线与直线平行，所以，解得（2）由（1）知，所以原方程变形为令，则在，上有两个不相等的实数根，等价于直线与曲线在，上有两个交点因为，所以当，时，；当，时，所以（3）因为（2），（4），所以，而，所以，即（4）（2），所以的取值范围为，（3）设，则，所以在上递增，在上递减，所以（

31、1），即所以，当且仅当时取等号若，则，所以数列收敛到，满足题意因此只需即可，等价于设，易知在，上递减，所以存在唯一的零点，使得，所以在上递增，在，上递减，所以，又，当时，则，由上可知，这样的正整数不存在综上，或且【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与切线方程，利用导数研究函数的切线方程，考查了方程思想与转化思想，属难题11（2023普陀区校级模拟）已知函数（1）若是定义域上的严格增函数，求的取值范围；（2）若，求实数的取值范围；（3）设、是函数的两个极值点，证明：【分析】（1）先求导，再根据题意建立不等式恒成立问题，即可求解；（2）由已知可得，可得，当时，可得，当时，分析可得不成立；（3

32、），分，两种情况，当，即，解得或，只需证，令，则只需证，由（1）可证结论成立【解答】解：（1）根据题意可得：对任意的，恒成立，对任意的，恒成立，又，当且仅当时，取得等号，；（2）由于（1），若，则须有，又，解得，当时，在上单调递增，（1），当时，由于（1），存在使得在上，单调递减，此时（1），不成立，综上所述：实数的取值范围为，；（3）证明：由（1）得，当时，在上单调递减，不成立，当时，当，即，单调递增，不成立，当，即，解得或，在上单调递增，在，上单调递减，在，上单调递增，又，不妨设，则，要证明：，故只需证，只需证，需证，令，则只需证，由（1）知，时，时，则，又时，即成立，故原式得证【点评】本

33、题考查函数的导数的综合应用，考查构造函数法的应用，考查运算求解能力，属难题12（2023奉贤区校级模拟）已知函数（1）求的单调区间；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围；（3）设，求证：【分析】（1）求导，再分和两种情况讨论即可得解；（2）结合（1）分和两种情况讨论，易得当时，构造函数，利用导数求出函数的最值，即可得解；（3），令，则上式化为，再结合（2），构造函数，利用导数求出最值，即可得证【解答】解：（1）的定义域为，当时，在上单调递增，当时，在区间上，单调递增；在区间上，单调递减，综上，当时，的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）由（1）知当时，在上单调递增，（

34、1），当时，因此在上不恒成立，当时，由（1）知，要使在上恒成立，则，设，则由，得，当时，单调递减；当时，单调递增，（1），当且仅当时等号成立，又由题意，故，从而；（3）证明：，令，则上式化为，下面证明：当时，有，由（2）知当时，的最大值为（1），即（1），也即（当且仅当时等号成立），设，则，在上单调递增，因此（1），即，也即，综上，【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式的证明，考查运算求解能力，属于难题13（2023闵行区校级一模）已知函数、，其导函数为，（1）若函数有三个零点、，且，试比较（3）与（2）的大小（2）若（1），试判断在区间上是否存在极值点，并说明理由（3）在

35、（1）的条件下，对任意的，总存在，使得成立，求实数的最大值【分析】（1）由题意，对函数解析式进行整理，可得，是方程的两根且，一正一负，利用韦达定理列出等式即可求出和的值，代入（3），和（2）中即可比较大小；（2）由导函数为二次函数，开口向上，对和这两种情况进行讨论，利用导数得到函数的单调性，结合零点存在性定理即可求解；（3）结合（1）中所得信息，将，2，3分别代入，得到不等式组后整理可得，解得，进而可得实数的最大值【解答】解：（1）函数有三个零点、，且，可知，一正一负，因为，所以，则，是方程的两根，由韦达定理得，因为，所以，联立，解得，所以，函数定义域为，可得，所以（2），易知（3），（2），

36、所以（3）（2）；（2），开口向上，而（1），（2），当时，（1），根据零点存在性定理可知，存在使得，当时，单调递增；时，单调递减，所以在区间上存在极大值点；当时，（2），（1）（2），根据零点存在定理可知，存在使得，当时，单调递减；当时，单调递增，所以在区间上存在极小值点；（3）对任意的，总存在，使得 成立，不妨，的最大值为，此时满足，整理得，由得，由得，由得，解得，当且仅当，即，时等号成立，故实数的最大值为2【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性以及零点存在性定理，考查了逻辑推理、转化思想以及运算能力14（2023松江区校级模拟）已知函数（1）求曲线在，（1）处的切线方程；（2）求的单调

37、区间；（3）若方程有解，求的取值范围【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，即可求出切线方程；（2）利用导函数的符号，解不等式即可得到函数的单调区间；（3）分离参数，转化为函数与直线有公共点问题，求导，利用单调性画函数图象，利用数形结合求解即可【解答】解：（1）的定义域为，又（1），即，曲线在处的切线方程为；（2）令，可得，令，可得，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，（3）方程有解，即方程有解，令，则方程有解，有解，记，则函数与直线有公共点，令，令得，令得，函数在上单调递增，在上单调递减，函数在上单调递增，记，令得，令得，函数在上单调递增，在上单调递减，作出图象，如图：由

38、图可知，函数与直线有公共点时，即实数的取值范围为【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，利用导数研究函数的单调性，方程有解求参数范围问题，考查数形结合思想与运算求解能力，属于难题15（2023崇明区二模）已知定义域为的函数，其导函数为，满足对任意的都有（1）若，求实数的取值范围；（2）证明：方程至多只有一个实根；（3）若，是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数，都有【分析】（1）根据题意，将问题转化成恒成立问题，即在，上恒成立，再利用函数的单调性即可求出结果；（2）构造函数，由题易知在定义域上严格单调，从而得到证明；（3）利用函数是定义域为的周期函数，知函数在一个周期上必有最大

39、值和最小值，再利用条件，得到，再对与1的大小关系进行分类讨论，即可得出结论【解答】（1）解：因为，所以，由题意知，在，上恒成立，即在，上恒成立，所以，即在，上恒成立，令，易知，在，上，函数和均单调递增，所以，即实数的取值范围是（2）证明：令，故，所以函数是严格减函数，故至多只有一个实根；（3）证明：设的最大值为，最小值为，在一个周期内，函数值必能取到最大值与最小值，设（a），（b），因为函数是周期为2，取一个周期，且，则有，若，则成立，若，设，即，故，且，则，所以（a）成立，综上，对任意实数，都成立，所以原式得证【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查运算求解

40、能力与逻辑推理能力，属于难题16（2023黄浦区校级三模）已知（）求在，（1）处的切线方程以及的单调性；（）对，有恒成立，求的最大整数解；（）令，若有两个零点分别为，且为的唯一的极值点，求证：【分析】（）求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；（）等价于，可令，求得导数，再构造函数，求得导数，判断单调性可得的单调性，以及最小值，即可得到所求的最大整数解；（）求得的导数和单调性，由极小值小于0，可得，再由分析法，注意构造函数，求得导数和单调性，即可得证【解答】解：（）的导数为，可得（1），（1），所以在，（1）处的

41、切线方程为即；由，由，可得；由，可得，所以的单调递减区间为，单调递增区间为；（）等价于，可令，记，所以为上的递增函数，且（3），（4），所以，即，所以在上递减，在，上递增，且，所以的最大整数解为3；（）证明：，可得，当，所以在上单调递减，上单调递增，而要使有两个零点，要满足，即可得，因为，令，由，即，而，即，由，只需证，令，则，令，则，故在上递增，（1）；故在上递增，（1）；【点评】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查构造函数法和分析法，考查转化思想和化简运算能力，属于难题17（2023普陀区校级模拟）已知函数，（1）求证：；（2）若，试比较与的大小；（3）若，问是否恒成立？若恒成立

42、，求的取值范围；若不恒成立，请说明理由【分析】（1）直接作差令，求导判定差函数单调性及最小值即可得出结论；（2）作差令，分区间讨论其导函数符号得出单调性及最小值即可；（3）令，利用端点效应即，得出时恒成立，再证明充分性即可【解答】（1）证明：要证，即证，令，当，所以此时单调递减；当，所以此时单调递增；即当时，取得极小值也是最小值为，所以，得证（2）解：设，则当时，所以，而此时，故，在减函数，上单调递减，即；当时，由（1）知，令，则，即在，单调递增，所以，即，当且仅当时取得等号，又恒成立，当且仅当时取得等号，所以，即，即综上，若，（3）解：恒成立，设，即证在，上恒成立，易得，当时，若，则，下面证

43、明：当时，在，上恒成立，因为，设，则，所以在，上是单调递增函数，所以，所以在，上是严格增函数，若时，即在右侧附近单调递减，此时必存在，不满足故当，时，不等式恒成立【点评】本题主要考查里用导数研究函数的最值，不等式的证明，不等式恒成立求参数范围问题，考查转化思想与运算求解能力，属于难题18（2023普陀区二模）已知、，设函数的表达式为（其中（1）设，当时，求的取值范围；（2）设，集合，记，若在上为严格增函数且对上的任意两个变量，均有成立，求的取值范围；（3）当，时，记，其中为正整数求证：【分析】（1）将，代入函数解析式，再解不等式即可；（2）分析可知只需当，时，成立即可，利用导数求得函数的最小值

44、和函数的最大值，综合即可得解；（3）令，则，则，利用二项式定理结合基本不等式可知，由此容易得证【解答】解：（1）由题设，则，即，故，又，则，即，所以的取值范围为；（2）由题意，要使上的任意两个变量，均有成立，则只需当，时，成立即可，又在上为严格增函数，则（1），且在，上恒成立，又在，上单调递减，则（1），解得，由且，则在，上递减，所以（1），则，解得，综上，实数的取值范围为；（3）证明：依题意，且，令，则，所以，而，则，又，且，当且仅当时等号成立，所以，同理，且均在时等号成立，所以，则，即得证【点评】本题考查导数的综合运用，涉及了不等式的解法以及二项式定理的运用，考查运算求解能力，属于难题19

45、（2023徐汇区二模）已知常数为非零整数，若函数，满足：对任意，则称函数为函数（1）函数，是否为（2）函数？请说明理由；（2）若为（1）函数，图像在，是一条连续的曲线，且在区间上仅存在一个极值点，分别记、为函数的最大、小值，求的取值范围；（3）若，且为函数，对任意，恒有，记的最小值为（a），求的取值范围及（a）关于的表达式【分析】（1）根据（2）函数的定义，即可证明；（2）分为在区间上仅存的极大值点或极小值点讨论单调性，以及根据（1）函数的性质，列式求解；（3）首先根据函数是函数，构造函数，再求函数的导数，参变分离后转化为求函数的值域，并求（a）【解答】解：（1）是（2）函数，理由如下，对任意

46、，故（2）（）若为在区间上仅存的一个极大值点，则在严格递增，在，严格递减，由，即，得，又，则，（构造时，等号成立），所以；（）若为在区间上仅存的一个极小值点，则在严格递减，在，严格递增，由，同理可得，又，则，（构造时，等号成立），所以；综上所述：所求取值范围为；（3）显然为，上的严格增函数，任意，不妨设，此时，由为函数，得恒成立，即恒成立，设，则为，上的减函数，得对，恒成立，易知上述不等号右边的函数为，上的减函数，所以，所以的取值范围为，此时，法1：当时，即，由，而，所以为，上的增函数，法，因为，当，所以为，上的增函数，由题意得，【点评】本题考查函数新定义，以及理由导数研究函数性质，不等式的综

47、合应用问题，本题的关键是理解函数的定义，并结合构造函数，不等式关系，进行推论论证20（2023松江区二模）已知，记，（1）试将、中的一个函数表示为另外两个函数复合而成的复合函数；（2）借助（1）的结果，求函数的导函数和最小值；（3）记，是实常数，函数的导函数是已知函数有三个不相同的零点、求证：【分析】（1）直接计算即可；（2）利用复合函数求导法则得，再结合导数和函数最值的关系即可得到答案；（3）首先求出，求出其单调性，假设，再利用函数的单调性即可证明【解答】解：（1）；（2）利用复合函数的求导法则可求得，令，可求得：令，所以，解得，当时，此时单调递减，当时，此时单调递增，所以函数的最小值为；证

48、明：（3），由，令，解得，此时单调递增，令，解得，此时单调递减，因为函数有三个不相同的零点，而的零点为1，不妨设，则的零点为，不妨设，则，令，则，令，则，所以当时，所以当时，是严格单调递增的，所以当时，（1），所以当时，则在上单调递增，所以在上，所以，又，所以，即，又函数在上单调递增，所以，即，综上，【点评】本题考查了导数的综合应用，属于难题21（2023松江区校级模拟）已知函数，（1）若，且直线是曲线的一条切线，求实数的值；（2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围；（3）若函数有两个极值点，且，求的取值范围【分析】（1）代入的值，根据切线方程得到关于的方程，求出切点坐标，解出即可；（2）问题

49、转化为，记，通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而确定的范围即可；（3）法一：求出的解析式，记，根据函数的单调性求出的范围即可；法二：由，以及有两个极值点，得到，设，从而等价于，记，根据函数的单调性求出的范围即可【解答】解：（1）当时，设直线与曲线相切于点，则，即，解得，即切点为，因为切点在上，所以，解得（3分）（2）不等式可化为记，则对任意恒成立考察函数，当时，在上单调递减，又（1），所以（2）（1），不合题意；（5分）当时，；，所以在，上单调递减，在，上单调递增，若，即时，在，上单调递增，所以时，（1），符合题意；（7分）若，即时，在，上单调递减，所以当时，（1），不符合题意；综上所述，

50、实数的取值范围为，（9分）（3）方法一：，因为有两个极值点，所以，即的两实数根为，所以，所以，从而（12分）记，则（当且仅当时取等号），所以在，上单调递增，又（e），不等式可化为（e），所以（14分）因为，且在上递增，所以，即的取值范围为，（16分）方法二：，因为有两个极值点，所以，即的两实数根为，所以，所以，设，则，所以，从而等价于，（12分）记，则（当且仅当时取等号），所以在，上单调递增又，（e），所以（14分）因为，且在上递增，所以，即的取值范围为，（16分）【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，换元思想，考查函数恒成立问题，是一道综合题22

51、（2023黄浦区校级三模）设函数（1）设，求函数的单调区间；（2）求证：是有三个不同零点的必要而不充分条件；（3）设，证明：函数恰有一个零点，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得【分析】（1），利用导数的运算法则可得，令，解得，分别解出，即可得出函数单调区间（2）有三个不同零点，可得有两个不同极值点，利用一元二次方程与判别式的关系、充要条件的判定方法即可得出结论（3）由已知可得，利用其单调性可得函数存在唯一零点，使得，通过反证法即可证明结论【解答】解：（1），令，解得或，时，函数单调递增；时，函数单调递减；，时，函数单调递增函数单调递增区间为，单调递减区间为（2）证明：有三个不同零点，则有两个

52、不同极值点，有两个不同实数根，即反之，若，则有两个不同实数根，有两个不同极值点，但是，极值受到的影响，因此不一定有三个不同零点，可能只有两个不同零点或一个零点因此是有三个不同零点的必要而不充分条件（3）证明：，函数在上单调递增，又，函数存在唯一零点，故数列是满足条件的数列，若存在两个不同的递增正整数数列，满足条件，则，去掉上面等式两边相同的项可得：，这里，所有的，都不相同，不妨设，则，矛盾，因此存在唯一的严格递增正整数数列，使得【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、等比数列的求和公式、方程与不等式的解法、反证法，考查了推理能力与计算能力，属于难题23（2023上海模拟）已知函数的表

53、达式为（1）若1是对的极值点，求的值（2）求的单调区间（3）若有两个实数解，直接写出的取值范围；为正实数，若对于符合题意的任意，当时都有，求的取值范围【分析】（1），可得，根据1是对的极值点，可得（1），解得，经过验证即可得出（2），对分类讨论，即可得出函数的单调区间（3）化为，令，利用导数研究其单调性与极值及其最值，画出图象即可得出的取值范围由（2）可得：若，可得，由题意可得，即，结合，化为，进而化为，不妨设，可得，于是，化为，令，（1），利用导数研究函数的单调性即可得出结论【解答】解：（1），是对的极值点，（1），解得，可得是函数的极大值点，满足题意，（2），时，函数在上单调递增；时，时，

54、；，时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，综上可得：时，函数单调递增区间为；时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，（3）化为，令，（e），时，函数单调递增；时，函数单调递减时，函数取得极大值，（e），有两个实数解，解得，的取值范围是，由（2）可得：若，则，为正实数，若对于符合题意的任意，当时都有，化为，另一方面，由，可得，不妨设，化为，令，（1），令，时，函数在上单调递增，（1），满足题意时，在上单调递减，（1），此时函数在上单调递减，（1），不满足题意，舍去综上可得的取值范围是，【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、一元二次方程的实数根与判别式的关系、换元法、不等式的解法

55、、等价转化方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题24（2023普陀区模拟）已知函数（1）若，求的值；（2）设为整数，且对于任意正整数，求的最小值【分析】（1）通过对函数求导，分、两种情况考虑导函数与0的大小关系可得结论；（2）通过（1）可知，进而取特殊值可知，一方面利用等比数列的求和公式放缩可知，另一方面可知，从而当时，比较可得结论【解答】解：（1）因为函数，所以，且（1）所以当时恒成立，此时在上单调递增，故当时，（1），这与矛盾；当时令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，即（a），若，则（a）（1），从而与矛盾；所以；（2）由（1）可知当时，即，所以当且仅当时取等号，所以

56、，即；因为为整数，且对于任意正整数，成立，当时，所以的最小值为3【点评】本题是一道关于函数与不等式的综合题，考查分类讨论的思想，考查转化与化归思想，考查运算求解能力，考查等比数列的求和公式，考查放缩法，注意解题方法的积累，属于难题一填空题（共1小题）1（2022上海）已知函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，若将方程的正实数根从小到大依次记为，则2【分析】是周期为4的周期函数，作出图像，的几何意义是两条渐近线之间的距离，由此能求出结果【解答】解：函数为定义域为的奇函数，其图像关于对称，且当，时，是周期为4的周期函数，图像如图：将方程的正实数根从小到大依次记为，则的几何意义是两条渐近

57、线之间的距离2，故答案为：2【点评】本题考查极限的求法，考查函数的周期性、函数图像、极限的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题二解答题（共2小题）2（2022上海）（1）若将函数图像向下移后，图像经过，求实数，的值（2）若且，求解不等式【分析】（1）写出函数图像下移个单位后的解析式，把点的坐标代入求解即可得出和的值（2）不等式化为，写出等价不等式组，求出解集即可【解答】解：（1）因为函数，将函数图像向下移后，得的图像，由函数图像经过点和，所以，解得，（2）且时，不等式可化为，等价于，解得，当时，解不等式得，当时，解不等式得；综上知，时，不等式的解集是，时，不等式的解集是，【点评】本题

58、考查了函数的性质与应用问题，也考查了含有字母系数的不等式解法与应用问题，是中档题3（2023上海）已知函数，（其中，若任意，均有，则称函数是函数的“控制函数”，且对所有满足条件的函数在处取得的最小值记为（1）若，试判断函数是否为函数的“控制函数”，并说明理由；（2）若，曲线在处的切线为直线，证明：函数为函数的“控制函数”，并求的值；（3）若曲线在，处的切线过点，且，证明：当且仅当或时，（c）（c）【分析】（1）设，当，时，易知，即单调减，求得最值即可判断；（2）根据题意得到，即为函数的“控制函数“，代入即可求解；（3），在处的切线为，求导整理得到函数必是函数的“控制函数“，又此时“控制函数“必与相切于点，与在处相切，且过点，在之间的点不可能使得在切线下方，所以或，即可得证【解答】解：（1），设，当，时，易知，即单调减，即，是的“控制函数“；（2），即为函数的“控制函数“，又，且，；证明：（3），在处的切线为，（1）（1），恒成立，函数必是函数的“控制函数“，是函数的“控制函数“，此时“控制函数“必与相切于点，与在处相切，且过点，在之间的点不可能使得在切线下方，所以或，所以曲线在处的切线过点，且，当且仅当或时，【点评】本题考查了导数的综合运用，属于难题