专题6.45 相似三角形与动点问题（培优篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）.docx

1、专题6.45 相似三角形与动点问题（培优篇）（专项练习）一、单选题1如图，在RtABC中，C90，AC6，BC8，点F在边AC上，并且CF2，点E为边BC上的动点，将CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）A1.5B1.2C2.4D以上都不对2如图，在矩形ABDC中，AC=4cm，AB=3cm，点E以0.5cm/s的速度从点B到点C，同时点F以0.4cm/s的速度从点D到点B，当一个点到达终点时，则运动停止，点P是边CD上一点，且CP=1，且Q是线段EF的中点，则线段QD+QP的最小值为（）AB5CD3如图1，在矩形中，点在上，点从点出发，沿的路径匀速运动到点停止

2、，作于点，设点运动的路程为，长为，若与之间的函数关系图象如图2所示，当时，的值是（）A2BCD14如图，在中，点D是的中点，点P是直线上一点，将沿所在的直线翻折后，点B落在处，若，则点P与点B之间的距离为（）A1或5B1或3C或3D或55如图，在ABC中，C90，AB10，BC8E是AC边上一动点，过点E作EFAB交BC于点F，D为线段EF的中点，当BD平分ABC时，AE的长度是（）ABCD6如图，点E从矩形ABCD的顶点B出发，沿射线BC的方向以每秒1个单位的速度运动，过E作EFAE交直线DC于F点，如图2 是点E运动时CF的长度y随时间t变化的图象，其中M点是一段曲线（抛物线的一部分）的最

3、高点，过M点作MNy轴交图象于N点，则N点坐标是（）A（5，2）B（，2）C（，2）D（，2）7如图，AB4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，2BEDB，作EFDE并截取EFDE，连接AF并延长交射线BM于点C设BEx，BCy，则y关于x的函数解析式是（）AyByCyDy8如图，已知点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，ACx轴于点M，交直线y=x于点N若点P是线段ON上的一个动点，APB=30，BAPA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动，求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长为（）ABC4D9如图所示，点P是边长为2的正方形ABCD的对

4、角线BD上的动点，过点P分别作PEBC于点E，PFDC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：MFMC；APEF；AHEF；AP2PMPH；EF的最小值是其中正确结论有（）A2个B3个C4个D5个二、填空题10如图，在等边三角形ABC中，AB4，点D是边AB上一点，BD1，点P是边BC上一动点（D、P两点均不与端点重合），作DPE60，PE交边AC于点E若CEa，当满足条件的点P有且只有一个时，则a的值为 _11如图，已知等腰三角形于点为边中线，相交于点在从减小到的过程中，点经过的路径长为_12如图

5、，在矩形中，点是的中点，点为射线上的一个动点，沿着折叠得到，连接，分别交和于点和，已知，若与相似，则的长是_13如图，有一正方形，边长为4，点E是边上的中点，对角线上有一动点F，当顶点为A、B、F的三角形与顶点为D、E、F的三角形相似时，的值为_14如图，正方形ABCD的边长为4，E为AB边上一点，tanADE=，M为ED的中点，过点M作DE的垂线，交边AD于点P，若点N在射线PM上，且由点E、M、N组成的三角形与AED相似，则PN的长为_15如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，点P在射线AD上，过点P作PFAE，垂足为F当点P在射线AD上运动时，若以P、F、E为顶点的三角形与AB

6、E相似，则PA的值为_16如图，在中，菱形顶点在边上，分别在边上，则的取值范围是_17如图，已知矩形ABCD中，AB3，BC4，点M，N分别在边AD，BC上，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，且点F在线段CD上（不与两端点重合），若，则折叠后重叠部分的面积为_18如图，在正方形ABCD中，AB4，AC与BD交于点O，点P，Q分别在线段AO，BC上，且满足BQAP，以PQ为斜边作等腰直角三角形PQM，使点M与B位于PQ的两侧，当点P从点A运动到点O时，点M的运动路径长是_三、解答题19如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，F是为射线AD上的一个动点，将AEF沿EF折叠得到H

7、EF，连接AC，分别交EF和直线EH于点N，M，已知BAC，若EMN与AEF相似，则AF的长为多少？20如图1，直线AB分别与x轴、y轴交于点A(3，0)，B(0，4)，动点P从点B出发以每秒2个单位的速度向点O运动，点P到达点O停止运动，连接AP，设运动时间为t（秒）（t0）(1)求直线AB的函数解析式；(2)当AOPBOA时，求t的值；(3)如图2，若将ABP沿AP翻折，点B恰好落在x轴上的点B1处，求t的值和SABP21已知，如图，在ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，ADBC于点D，直线PM交BC于点P，交AC于点M，直线PM从点C出发沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s；

8、运动过程中始终保持PMBC，过点P作PQAB，交AB于点Q，交AD于点N，连接QM，设运动时间是t(s)(0t6)，解答下列问题：（1）当t为何值时，QM/BC？（2）设四边形ANPM的面积为y(cm2)，试求出y与t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是ABC面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使点M在线段PQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由22已知：如图1，在矩形ABCD中，AC是对角线，点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点C出发，沿CA方向匀速运动，速度为过点Q作，QE与BC相

9、交于点E，连接PQ，设运动时间为，解答下列问题：(1)连接BQ，当t为何值时，点E在线段BQ的垂直平分线上？(2)设四边形BPQC的面积为，求y与t之间的函数关系式；并求四边形BPQC的面积为y是矩形ABCD面积的十二分之五时的t的值，(3)如图2，取点E关于AC的对称点F，是否存在某一时刻t，使为等腰三角形？若存在，直接写出t的值（不需提供解答过程）；若不存在，请说明理由(4)t为何值时，Q、F、D三点共线？23如图，在RtABC中，点D是边AB的中点动点P从点B出发，沿BA以每秒4个单位长度的速度向终点A运动，当点P与点D不重合时，以PD为边构造RtPDQ，使，且点Q与点C在直线AB同侧设

10、点P的运动时间为t秒，PDQ与ABC重叠部分图形的面积为S(1) 用含t的代数式表示线段PD的长；(2) 当点Q落在边BC上时，求t的值；(3) 当PDQ与ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t的函数关系式；(4) 当点Q落在ABC内部或边上时，直接写出点Q与ABC的顶点的连线平分ABC面积时t的值24如图，是的高，点P是边上一动点，过点P作的平行线L，点Q是直线L上一动点，点P从点B出发，沿匀速运动，点Q从点P出发沿直线L向右匀速运动，点P运动到点A时，同时停止设点P与点Q在同一时刻开始运动，且运动速度相同，点P的运动距离是x(1) 求运动过程中，点P与点C之间的最短距离；(2) 当直线L平

11、分的面积时，求x的值；(3) 求点Q与边的距离（用含x的式子表示）；(4) 求当点Q与点C的之间的距离小于时，直接写出x的取值范围参考答案1B思路引领：先依据勾股定理求得AB的长，然后依据翻折的性质可知PFFC，故此点P在以F为圆心，以2为半径的圆上，依据垂线段最短可知当FPAB时，点P到AB的距离最短，然后依据题意画出图形，最后，利用相似三角形的性质求解即可解：如图所示：当PEAB在RtABC中，C90，AC6，BC8，AB10，由翻折的性质可知：PFFC2，FPEC90PEAB，PDB90由垂线段最短可知此时FD有最小值又FP为定值，PD有最小值又AA，ACBADF，AFDABC，即，解得

12、：DF3.2PDDFFP3.221.2故选：B2A【分析】如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB，PB首先用t表示出点Q的坐标，发现点Q在直线y=2上运动，求出PB的值，再根据PQ+PD=PQ+QBPB，可得结论解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，连接QB，PB四边形ABDC是矩形，AC=BD=4cm，AB=CD=3cm，C（-3，0），B（0，4），CDB=90，BC=5（cm），EHCD，BEHBCD，EH=0.3t，BH=0.4t，E（-0.3t，4-0.4t），F（0，0.4t），QE=QF，Q（-t，2），点Q在直线y=2上运动，B，D关于直线y=2对称，QD=QB，QP+

13、QD=QB+QP，QP+QBPB，PB=2(cm)，QP+QD2，QP+QD的最小值为2故选：A【点拨】本题考查轴对称最短问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轨迹等知识，解题的关键是构建平面直角坐标系，发现点Q在直线y=2上运动3B【分析】由图象可知：AE3，BE4，根据勾股定理可得AB=5，当x=6时，点P在BE上，设此时的PQ为，先求出的长，再根据，求出 的长，即PQ的长解：由图象可知：AE3，BE4，AB= 当x=6时,点 P 在 BE 上,设此时的PQ为如图此时=4-(7-x)=x-3=6-3=3ABCD是矩形,AB / CD 即故选：B【点拨】本题考查的是动点问题函数图象，涉及

14、到三角形相似，勾股定理和矩形的性质，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义,理解动点的完整运动过程4D【分析】分点B1在BC左侧，点B1在BC右侧两种情况讨论，由勾股定理可AB=5，由平行线可证BEDBCA，可得，可求BE，DE的长，由勾股定理可求PB的长解：如图，若点B1在BC左侧，B1D交BC于E，C=90，AC=3，BC=4，AB=，点D是AB的中点，BD=BA=，B1DBC，C=90，B1DAC，BDE=A，EBD=CBA，BEDBCA，BE=EC=BC=2，DE=AC=，折叠，B1D=BD=，B1P=BP，B1E=B1D-DE=1，在RtB1PE中，B1P

15、2=B1E2+PE2，BP2=1+（2-BP）2，BP=，如图，若点B1在BC右侧，延长B1D交BC与E，B1DBC，C=90，B1DAC，BDE=A，EBD=CBA，BEDBCA，BE=EC=BC=2，DE=AC=，折叠，B1D=BD=，B1P=BP，B1E=DE+B1D=+，B1E=4，在RtEB1P中，B1P2=B1E2+EP2，BP2=16+（BP-2）2，BP=5，则点P与点B之间的距离为或5故选择：D【点拨】本题考查了折叠的性质、直角三角形的性质以及勾股定理，相似三角形判定与性质此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系5B【分析】根据角平分线、中点及平行线的性质，

16、得出FD=ED= FB，设FD=ED= FB=x，再根据CEFCAB，得出x的值，根据勾股定理即可求解解：BD平分ABCABD=FBDEFABFDB=ABDFDB=FBDFBD为等腰三角形FB=FDD为线段EF的中点FD=EDFD=ED= FB设FD=ED= FB=xEF=2xEFABCEFCAB 即 解得：x= CF=8-BF=8-= EF=2= C90，AB10，BC8AC=6在RtCEF中CE= = AE=AC-CE=6-=故选：B【点拨】本题主要考查了角平分线、中点及平行线的性质，也考察了相似三角形的性质，勾股定理的应用；解题关键是熟练掌握角平分线、平行线以及相似三角形的性质以及利用方

17、程解决实际问题6D【分析】当点运动到点位置时，则，当点运动到中点位置时，即，证明，当在的延长线上时，且，根据相似三角形的性质求得的长，即可求得点的横坐标解：根据函数图象可知，当点运动到点位置时，则，当点运动到中点位置时，即，四边形是矩形的纵坐标相等，则当在的延长线上时，即解得，（舍）即点的坐标为(，2)故选：D【点拨】本题考查了动点问题函数图象，相似三角形的性质与判定，从函数图像获取信息是解题的关键7A【分析】作点F作FGBC于G，依据已知条件求得DBEEGF，得出FGBEx，EGDB2x，然后证得FGCABC，再根据相似三角形的性质即可求解解：作点F作FGBC于G，DEB+FEG90，DEB

18、+BDE90；BDEFEG，在DBE与EGF中，DBEEGF（AAS），EGDB，FGBEx，EGDB2BE2x，GCy3x，FGBC，ABBC，FGAB，FGCABC，CG：BCFG：AB，即，y故选A【点拨】本题考查了三角形全等的判定和性质及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解决问题的关键8B【分析】（1）利用相似三角形，证明证明线段就是点B运动的路径（或轨迹），如答图所示；（2）如答图所示，利用相似三角形AAON，求出线段的长度，即点B运动的路径长解：由题意可知，OM= ，点N在直线y=x上，ACx轴于点M，则OMN为等腰直角三角形， ON= 如答图所示，设动点P在O点（起点）时，

19、点B的位置为，动点P在N点（起点）时，点B的位置为，连接AOA，ANA，OAC=A又A=AOtan30，A=ANtan30，A：AO=A：AN=tan30AAON，且相似比为tan30=ONtan30= 现在来证明线段就是点B运动的路径（或轨迹）：如答图所示，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为，连接AP，A，AOA，APA，OAP=A又A=AOtan30，A=APtan30，A：AO=A：APAAOP，A=AOP又AAON，A=AOPA=A点在线段上，即线段就是点B运动的路径（或轨迹）综上所述，点B运动的路径（或轨迹）是线段，其长度为 故选B【点拨】本题考查坐标平面内由相似关系确定

20、的点的运动轨迹，难度很大要点有两个：确定点B的运动路径是本题的核心，这要求考生有很好的空间想象能力和分析问题的能力；其次，由相似关系求出点B运动路径的长度，可以大幅简化计算，避免陷入坐标关系的复杂运算之中9C【分析】由点P为BD中点时，MC=0MF，可得错误；连接PC，交EF于O，由点P在BD上，可得AP=PC，根据PFCD，PEBC，BCF=90可得四边形PECF是矩形，可得EF=PC，即判断正确；利用SSS可证明APDCPD，可得DAP=DCP，由矩形的性质可得OCF=OFC，即可证明DAP=OFC，可得DAP+AMD=OFC+AMD=90，即可判断正确；根据平行线的性质可得DAP=H，可

21、得DCP=H，由HPC是公共角可证明CPMHPC，根据相似三角形的性质可得，根据PC=AP即可判断正确，当PCBD时PC的值最小，根据等腰直角三角形的性质可求出PC的最小值为，根据EF=PC即可判断正确；综上即可得答案.解：当点P为BD中点时，点M与点C重合，MC=0MF，故错误，连接PC，交EF于O，点P在BD上，BD为正方形ABCD的对角线，AP=PC，PFCD，PEBC，BCF=90，四边形PECF是矩形，EF=PC，AP=EF，故正确，AD=CD，AP=PC，PD=PD，APDCPD，DAP=DCP，四边形PECF是矩形，OCF=OFC，DAP=OFC，DAP+AMD=OFC+AMD=

22、90，FGM=90，即AHEF，故正确，AD/BH，DAP=H，DAP=DCP，MCP=H，CPH为公共角，CPMHPC，AP=PC，AP2= PMPH，故正确，当PCBD时，PC有最小值，PC=BD=，PC=EFEF的最小值为，故正确，综上所述：正确的结论有，共4个，故选C.【点拨】本题考查正方形的性质、矩形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理及正方形的性质是解题关键.104【分析】根据等边三角形的性质得BC60，再证明EPCPDB，则可判断PDBEPC，利用相似比得到BD：PCPB：CE，设PBx，CEm，则PC4x，所以x24x+m0，根据判别式的意义得到（

23、4）24m0，然后解方程即可解：ABC为等边三角形，BC60，DPCBPDB，即DPEEPCBPDB，而DPE60，EPCPDB，而BC，PDBEPC，BD：PCPB：CE，设PBx，CEm，则PC4x，1：（4x）x：m，x24x+m0，点P有且只有一个，（4）24m0，解得m4，当CE4时，满足条件的点P有且只有一个故答案为4【点拨】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质,一元二次方程的解法，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间

24、的关系11【分析】过点A作AEOB，且AE=OB，连接BE、CE，根据菱形的性质证明APEDPO，再得到DP=AD，根据D为定点，P随A运动而运动，从减小到的过程可知点P经过的路程为点A运动路程的，故可求解解：过点A作AEOB，且AE=OB，连接BE、CEAEOB，AE=OB，四边形AOBE是平行四边形OA=OB四边形AOBE是菱形ABOE，O、P、C、E四点共线，AEOBEAP=PDO，AEP=DOPAPEDPOD点是OB中点OD=OB=AE=2DP=ADD为定点，P随A运动而运动，从减小到的过程点P经过的路程为点A运动路程的OA=6点A运动路程为点经过的路径长为故答案为：【点拨】此题主要考

25、查弧长公式的运用，解题的关键是根据题意找到点P的运动路径与点A的运动路径的关系121或3【分析】分两种情形当EMAC时，EMNEAF当ENAC时，ENMEAF，分别求解解：当EMAC时，EMNEAF，四边形ABCD是矩形，ADBC2，B90，tanCAB，CAB30，AEM60，AEF30，AFAEtan301，当ENAC时，ENMEAF，由（1）可知，CAB30，ENACAEN=MEN=60，AF3，故答案为：1或3【点拨】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型13或【分析】分和两种情形求解即可解：依题意可得：，设，则有；当时，（如图

26、1）由得，解得：；当时，（如图2）由得，解得：；综上所述，的值为或故答案为：或【点拨】本题考查了正方形背景下的三角形相似，熟练掌握三角形相似的判定定理，灵活运用分类思想求解是解题的关键140或或【分析】首先根据tanADE=求得AE=3，根据勾股定理求出DE=5，由M为ED的中点得DM=EM=，根据tanADE=求得PM=， 然后分三种情况，根据相似三角形的性质即可求解解：正方形ABCD的边长为4，tanADE=，AE=3，DE=，M为ED的中点，DM=EM=，在RtPMD中，PM=DManADE=，如图：点N在线段PM上，时，即，；点N在线段PM的延长线上，时，即，；点N在线段PM的延长线上

27、，时，即，故答案为：0或或【点拨】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质，利用正切值求边长，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键152或5【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的判定和矩形的性质可求解解：E是BC的中点，BE=2，如图，若EFPABE，则PEF=EABPEAB四边形ABEP为矩形PA=EB=2，如图，若PFEABE，则PEF=AEBPAF=AEB，PEF=PAFPE=PAPFAE，点F为AE的中点，即，PE=5，综上所述：AP的值为2或5，故答案为：2或5【点拨】本题考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键16【分析】确定菱形DEFG边长

28、DE的最大值和最小值即可求出DE的取值范围解：在中，（1）当点D与点A重合时，如图1所示，四边形DEFG是菱形，GFAB，EFAC，DE=EF=FG=GDFEB=CDB=CGF，CFG=CBA设菱形的边长为x，则解得，此时为DE的最大值（2）当DEF=90时，如图2所示，此时菱形DEFG是正方形过点C作CHAB于点H，交GF于点M，则CHGF，且MH=GD=FE四边形DEFG是正方形，GFAB，DE=EF=FG=GD=MHGFCABC设正方形的边长为y，则MH=y，CM=CH-MH=解得，此时为DE的最小值符合条件的DE的取值范围是故答案为：【点拨】本题考查了勾股定理、菱形的性质、正方形的性质

29、、相似三角形的判定与性质等知识点，熟知上述图形的判定或性质是解题的基础，运用分类讨论的数学思想，求出菱形边长的最大值和最小值，是解题的关键17【分析】设BN=NF=x，则NC=（4-x），根据，AB=CD=3，确定DF=1，FC=2，在直角三角形NCF中，实施勾股定理确定x，利用NCFFDQ，计算DQ，FQ，得证MEQFDQ，求得AM=ME，根据重叠面积等四边形ABNM的面积与MEQ面积的差计算即可解：四边形ABCD是矩形,AB=CD=3，AD=BC=4，A=ABC=C=D=90，DF=1，FC=2，沿着MN折叠矩形ABCD，使点A，B分别落在E，F处，设BN=NF=x，则NC=（4-x），在

30、直角三角形NCF中，解得x=，4-x=，EFN=ABC=C=D=90，NFC+FNC=90，NFC+DFQ=90，FNC=DFQ，NCFFDQ，FD：NC= FQ：NF= DQ：CF=1：，解得DQ=，FQ=，EQ=EF-FQ=AB-FQ=3-=，EQ=DQ，E=D=90，EQM=DQF，MEQFDQ，ME=FD=1，AM=ME=1，重叠面积=四边形ABNM的面积-MEQ面积=，故答案为：【点拨】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，熟练运用折叠的性质，会证三角形的全等，三角形相似，会用勾股定理是解题的关键18【分析】根据正方形的性质可得A

31、B，AC的长，从而可求出AC，AO的长，根据“点P，Q分别在线段AO，BC上”可分三种情况进行讨论，当P1在A点时，可得Q点在B点处，根据“以PQ为斜边作等腰直角三角形PQM”可知M1点在O点处；当P3在O点时，可得Q3在C点，从而得到M3点在DC的中点处；当P2在AO中点时，可得Q2在BC中点处，M2在P3M3中点处，当M2在P3M3中点，且P2M2Q2=90，连结P3Q2，可得四边形OQ2Q3M3是正方形，所以可得OQ2，OM2的长，根据勾股定理可得OM2的长，过点P2作P2GBC，可得P2GAB，根据相似三角形的判定与性质可得，即可得P2G的长，同理可得 CG，GQ2的长，根据勾股定理即

32、可得出P2Q2，P2M2的长，所以可得M2点在OM3中点处，综上即可得出M点在OM3上运动，从而求出点M的运动路径长解：在正方形ABCD中，AB4，则AB=BC=4，AC=AO=4，当P1在A点时，AP=0，则BQ=AP=0，Q点在B点处，此时，BAO=ABO=45，AOB=90，即M1点在O点处；当P3在O点时，AP3=4=AO，则BQ=AP=4，即Q3在C点，此时，ACD=CP3M3=45，P3M3C=90，即M3点在DC的中点处；当P2在AO中点时，AP2=2，则BQ=AP=2，即Q2在BC中点处，M2在P3M3中点处，证明如下：当M2在P3M3中点，且P2M2Q2=90，连结P3Q2，

33、P3，Q2为中点，OQ2BC，四边形OQ2Q3M3是正方形，OQ2=AB=2=OM3，OM2=OM3=，Q2M2=，过点P2作P2GBC，此时P2为AO的中点，且P2GAB，即在ABC中，CP2=AC-AP2=6，即，P2G=3，同理可得 CG=3，GQ2=，P2Q2=，P2M2=，故M2点在OM3中点处，即M点在OM3上运动，OM3=DC=2【点拨】本题考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识考虑问题要全面，通过分情况讨论将所有情况进行分析得到最终结论191或3【分析】分两种情况：当EMAC时AME=90，然后根据三角函数的性质可得解；当ENAC时，MNE=90，然后

34、根据三角函数的性质可得解解：由已知EMN与AEF相似，AEF与HEF全等，所以可以分为两种情况：当EMAC时，AME=90，四边形ABCD是矩形，AD=BC=2，B=90，CAB=30，AEM=60，AB=，由已知可得AEF=30，AE=，AF=AEtan30=1；当ENAC时，ANE=90，AEN=60，AF=AEtan60=3，故答案为：1或3.【点拨】本题考查三角形图形变换的应用，熟练掌握折叠、三角形相似、三角形全等及三角函数的性质是解题关键20(1)(2)(3)，【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）根据相似三角形的性质“对应边成比例”，即可求出OP的长，从而可求出BP的长，

35、进而即可求出t的值；（3）由翻折可知，根据勾股定理即可求出根据题意可知，则再利用面积公式即可列出关于t的等式，解出t即可求解解：(1)设直线AB的函数解析式为：，则，解得：，直线AB的函数解析式为；(2)由题意可知AO=3，BO=4AOPBOA，即解得：，(3)由翻折可知，根据题意可知，则，即解得：【点拨】本题考查利用待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质，勾股定理等知识熟练掌握各知识点是解题关键21（1）；（2）；（3）不存在，见解析；（4）存在， t=4【分析】（1）先根据等腰三角形的性质和勾股定理求得BD=DC=6，AD=8，再根据平行线成比例求得 BQ=CM=，然后在RtABD和Rt

36、PBQ中，由cosB=求得BQ=，由BQ=CM列方程求解t值即可；（2）先证明PDNADB，和CPMCDA，根据相似三角形的性质求得和，再由求解即可；（3）先假设存在，根据= 整理得，根据根的判别式即可做出判断；（4）先假设存在，过点M作MEPQ于E，则PE=PQ，利用锐角的三角函数求得，进而求得t值，即可得出结论解：（1）由题意知，PC=t，BP=12t，AB=AC，ADBC，AB=AC=10，BC=12，BD=DC=6，AD=8，QMBC，AB=AC，BQ=CM，PMBC，ADBC， PMAD，即，CM=，在RtABD和RtPBQ中，cosB=，即，解得：BQ=(12t)= ，由BQ=CM

37、得：=，解得：，故当 时，QMBC；（2）B+BAD=90，DPN+B=90，BAD=DPN，又PDN=ADB=90，PDNADB，即，解得：，PMAD，CPMCDA，即，解得：，=，即y与t的函数关系式为；（3）假设存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是ABC面积的，则= ，整理得：，= =15360，此方程无解，不存在某一时刻t，使四边形ANPM的面积是ABC面积的；（4）假设存在某一时刻t，使点M在线段PQ的垂直平分线上，则MP=MQ，过点M作MEPQ于E，则PE=PQ，PEM=90，在RtABD和RtPBQ中，sinB= ，解得：，BPQ+B=90，BPQ+MPE=90，B=MPE，

38、在RtPEM和RtBDA中，cosB=cosMPE，即，解得：，由PE=PQ得=，解得：t=4，0t6，存在某一时刻t=4时，点M在线段PQ的垂直平分线上【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、锐角的三角函数、平行线的性质、等角的余角相等、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、解一元二次方程、解一元一次方程等知识，综合性强，难度适中，解答的关键是熟练掌握各个知识的性质，结合图形，寻找知识点间的联系与运用，进而推理和计算22(1)t=2(2)；或(3)或(4)【分析】（1）证明ECQACB，可得，可得EQ=，EC=，由题意点E在BQ的垂直平分线上，推出EB=EQ，由此构建方

39、程，求解即可（2）如图2中，过点Q作QHAB于H，则AQ=10-2t，QH=，根据y=SABC-SAPQ，求解即可得函数关系式，根据题意列出方程即可求解（3）分两种情形：如图2-1中，当DC=DF时，连接DF，取AC的中点J，连接BJ，和点B作BHAC于H，过点F作FKCD于K证明BJH=CFK，可得BJH=CFK，由此构建方程求解当CF=CD时，构建方程，求解即可（4）当Q、F、D三点共线时，根据,列出方程即可求解解：(1)四边形ABCD是矩形，B=90，AB=6，BC=8，AC=，EQAC，EQC=B=90，ECQ=ACB，ECQACB，EQ=，EC=点E在BQ的垂直平分线上，EB=EQ，

40、t=2(2)如图2中，过点Q作QHAB于H，则AQ=10-2t，QH=，AP=t，SAPQ=APQH=t（10-2t）=t2+4t，y=SABC-SAPQ=68-（-t2+4t）=t2-4t+24（0t）矩形的面积为四边形BPQC的面积为y是矩形ABCD面积的十二分之五时，解得或(3)如图2-1中，当FC=DF时，连接DF，取AC的中点J，连接BJ，和点B作BHAC于H，过点F作FKCD于KABC=90，AJ=JC，BJ=AJ=JC=AC=5，JBC=JCB，BJH=BCJ+JCB=2JCB，E，F关于AC对称，ACE=ACF，CF=CE=tFCE=2ACB=BJH，FKCD，CBCD，FKC

41、B，CFK=FCE=BJH，BHAC，SACB=ABCB=ACBH，BH=，FD=FC，FKCD，CK=KD=3，BJH=CFK，sinBJH=sinCFK，t=，当CF=CD时，t=，综上所述，满足条件的t的值为或(4)当Q、F、D三点共线时，即，,，解得【点拨】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题23(1)或(2)(3)当时，；当时，(4)或或【分析】（1）先根据勾股定理可得AB=5，可得AD=BD=5，然后分两种情况：当点P在线段BD上，即时，当点P在线段AD上，即时，即

42、可求解；（2）根据，可得，从而得到BQ=3，再由，即可求解；（3）分两种情况讨论：当时，PDQ与ABC重叠部分图形为四边形，当时，PDQ与ABC重叠部分图形为四边形，即可求解；（4）分四种情况讨论，即可求解(1)解：根据题意得：PB=4t，在RtABC中，点D为AB的中点，AD=BD=5，当点P在线段BD上，即时，；当点P在线段AD上，即时，；综上所述，或；(2)解：如图，D为AB的中点，BQ=3，(3)解：由（1）（2）得：当时，PDQ与ABC重叠部分图形为四边形，如图，设PQ交BC于点M，DQ交BC于点N，此时BN=3，DN=4，BP=4t，PDQ与ABC重叠部分图形的面积； 当Q在AC上

43、时，如图，ADQ=A，AQ=DQ，即PQAB，AP=PD=，解得：，当时，PDQ与ABC重叠部分图形为四边形，如图，过点N作NEAD于点E，设PQ，DQ分别交AC于点M，N，则AE=，此时，AP=10，DN=3，PDQ与ABC重叠部分图形的面积； 综上所述，S与t的函数关系式当时，；当时，；(4)解： 由（2）得：当点Q在BC上时，点Q为BC的中点，AQ平分ABC的面积且点P在BD上，此时； 如图，当AQ平分ABC的面积且点P在AD上时，延长AQ交BC于点M，过点M作MNAB于点N，此时点M为BC的中点，即BM=CM=3，BD=5，BP=4t，PD=4t-5，AP=10-4t，PDQ=A，DP

44、Q=90，即PQAB，APQANM，即，解得：；如图，当BQ平分ABC的面积时，延长BQ交AC于点M，则点M为AC的中点，即AM=CM=4，PDQ=A，DQAC，BDQBAM，即AM=2DQ，DQ=2，PD=BD-BP=5-4t，解得：；综上所述，当点Q落在ABC内部或边上时，直接写出点Q与ABC的顶点的连线平分ABC面积时t的值或或【点拨】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，动点问题，利用分类讨论思想解答是解题的关键24(1)(2)(3)当点Q在的内部时，Q与AC的距离为；当点Q在的外部时，Q与AC的距离为(4)【分析】（1）如图，过点C作CHAB于点H利用面积法求出CH，可

45、得结论；（2）根据面积关系构建方程求解即可；（3）如图，过点Q作QIAC于点I证明，可得结论；（4）如图，因为QC，所以点Q在射线EF上，过点C作CNQQ于点N，连接QC求出QC=时，x的值，可得结论(1)解：ADCB，AD=CD=4，BD=3，根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，CP的值最小，最小值为；(2)解：由题意BP=x，则AP=5-x，在中，直线L平分ABC的面积，解得 ，（不合题意，舍去）， (3)解：如图，当点Q在内时，作于H由，得，即，解得，在中，当点Q在的外部时，在中，综上，当点Q在的内部时，Q与AC的距离为；当点Q在的外部时，Q与AC的距离为(4)解：，理由如下：方法一：由得平分以C为圆心，以为半径作辅助圆点Q与点C的距离小于，点Q在的内部图中，都相似，每个三角形的三边比都是，假设，则，所以，由，得，同理点Q与点C的距离小于时，方法二：如下图中，QC，点Q在射线EF上，过点Q作QRBC于点R，连接QC当QC=时，CQ2=QR2+CR2，4-（5-x）2+4-x-（5-x）2=（）2，整理得64x2-448x+735=0x=或，当x时，点Q与点C之间的距离小于【点拨】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，利用参数构建方程解决问题