内蒙古赤峰市实验中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题（Word版附解析）.docx

1、赤峰实验中学高二年级第一次月考数学试卷2023.10一、单选题（共8小题）1. 空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据中点坐标公式求解即可.详解】点，由中点坐标公式得中得为：，即.故选A.2. 如图所示,在平行六面体中,是的中点,点是上的点,且,用表示向量的结果是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】在平行六面体中根据空间向量的加法合成法则,对向量进行线性表示,即可求得答案.【详解】连接可得:又故选: D.【点睛】本题考查了空间向量的加法运算,解题关键是掌握向量的加法运算和数形结合,属于基础题.3. 已知，则的

2、夹角是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求出向量的坐标，然后利用数量积的夹角坐标公式计算即可.【详解】因为，所以，所以，又，所以，即的夹角是.故选：C.4. 在棱长为的正方体中，则平面与平面之间的距离为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】建立如图所示的直角坐标系，求得和平面的一个法向量，利用向量的距离公式，即可求解【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量，则，即，解得，故，显然平面平面，所以平面与平面之间的距离【点睛】本题主要考查了空间向量在求解距离中的应用，对于利用空间向量求解点到平面的距离的步骤通常为：求平面的法向量；求斜线段对应

3、的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5. 若直线经过、两点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】计算出的取值范围，结合角的取值范围可求得结果.【详解】由题意可得，又因为，故.故选：C.6. 过点且与直线平行的直线方程是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设所求直线方程为，代入点，即可求得本题答案.【详解】因为所求直线方程与直线平行，所以可设为，又因为经过点，代入可得，则所求直线方程为.故选：C【点睛】本题主要考查直线方程的求法，属于基

4、础题.7. 已知直线:，直线:，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据直线的垂直，即可求出tan=2，再根据二倍角公式即可求出【详解】因为l1l2，所以，所以tan=2，所以.故选：B【点睛】本题考查了两直线的垂直的充要条件，以及正切二倍角公式，属于容易题.8. 已知六棱锥的底面是正六边形，平面ABC，.则下列命题中正确的有（ ）平面平面PAE；直线CD与PF所成角的余弦值为；直线PD与平面ABC所成的角为45；平面PAE.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】要判断面面垂直，需先判断是否有线面垂直，根据线线，线面的垂直关系判断；由条件可知若，可推出平面

5、，则，判断是否有矛盾；异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，即根据，转化为求；根据线面角的定义直接求解；若平面，则，由正六边形的性质判断是否有矛盾.【详解】平面ABC，在正六边形ABCDEF中，平面PAE，且面PAB，平面平面PAE，故成立；由条件可知若，平面，则，可推出平面，则，这与不垂直矛盾，故不成立；，直线CD与PF所成角为，在中，成立.在中，故成立.若平面，平面平面 则，这与不平行矛盾，故不成立.所以正确的是故选：B【点睛】本题考查点，线，面的位置关系，重点考查推理证明，空间想象能力，属于基础题型.二、多选题（共4小题）9. 已知空间中三点、，则下列结论不正确的有（ ）A. 与是共线

6、向量B. 的单位向量是C. 与夹角的余弦值是D. 平面的一个法向量是【答案】ABC【解析】【分析】利用共线向量的坐标关系可判断A选项；利用单位向量的定义可判断B选项；利用空间向量数量积的坐标运算可判断C选项；利用法向量的定义可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，则、不共线，A错；对于B选项，的单位向量为，B错；对于C选项，所以，与夹角的余弦值是，C错；对于D选项，设为平面的法向量，则，取，则，所以，平面的一个法向量为，D对.故选：D.10. 下列说法正确的是（ ）A. 直线与两坐标轴围成三角形的面积是2B. 直线的倾斜角为C. 过，两点的直线方程为D. 直线在轴上截距是【答案】ABD【解析】

7、【分析】A确定直线在坐标轴上截距，再求面积即可判断；B由斜率确定倾斜角大小即可；C根据两点式使用前提判断；D令即可得轴上截距.【详解】A：由直线方程知：其在x、y轴截距分别为，故该直线与坐标轴所围成三角形面积为2，对；B：由直线斜率为1，即倾斜角正切值为1，根据倾斜角范围为，则倾斜角大小为，对；C：仅当时，直线才能表示为，错；D：令，则，故在轴上截距是，对.故选：ABD11. 已知直线，则下列结论正确的是（ ）A. 直线的倾斜角是B. 若直线，则C. 直线过定点D. 过与直线平行的直线方程是【答案】CD【解析】【分析】对选项A，根据，即可判定A错误，对选项B，根据斜率相乘不等于-1，即可判定B

8、错误，对选项C，变形直线方程得到，即可判定C正确，对选项D，设所求直线方程，再代入点，即可判断D正确.【详解】对选项A，直线，故A错误；对选项B，直线，故B错误；对选项C，直线，恒过，故C正确.对选项D，设直线平行的直线方程是，把代入得：，解得，所以所求直线方程，故D正确.故选：CD12. 在棱长为的正方体中中，点在线段上运动，则下列命题正确的是（ ） A. 异面直线和所成的角为定值B. 直线和平面平行C. 三棱锥的体积为定值D. 直线和平面所成的角为定值【答案】ABC【解析】【分析】由线面垂直的判定可证得平面，由线面垂直性质可知A正确；根据，结合线面平行的判定可得B正确；结合平行关系，可由体

9、积桥得到，由此可得C正确；根据线面角的定义可确定所求角，根据正切值不为定值可知D错误.【详解】对于A，四边形为正方形，；平面，平面，又平面，平面，平面，异面直线和所成角为定值，A正确；对于B，平面，平面，平面，又平面，平面即为平面，平面，B正确；对于C，由B知：平面，平面平面，平面，平面，即三棱锥的体积为定值，C正确；对于D，设， 由A知：平面，即为直线和平面所成的角，不是定值，不是定值，即直线和平面所成的角不是定值，D错误.故选：ABC.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 设点A在x轴上，点B在y轴上，的中点是，则等于_【答案】【解析】【分析】根据点A在x轴上，点B在y轴

10、上，且的中点是，利用中点坐标公式得到A，B的坐标，再利用两点间的距离公式求解.【详解】因为点A在x轴上，点B在y轴上，且的中点是，所以，所以，故答案为：【点睛】本题主要考查两点间的距离公式和中点坐标公式的应用，属于基础题.14. 已知直线l1经过点A(0，1)和点B(，1)，直线l2经过点M(1,1)和点N(0，2)，若l1与l2没有公共点，则实数a的值为_【答案】6【解析】【分析】分别根据斜率公式求出两条直线的斜率，再根据两直线平行，斜率相等即可求出a的值【详解】直线l2经过点M（1，1）和点N（0，2），=3，直线l1经过点A（0，1）和点B（，1），=，l1与l2没有公共点，则l1l2，

11、=3，解得a=6，故答案为6【点睛】本题考查了两直线平行的条件，斜率公式，属于基础题15. 将正方形沿对角线折起，当以四点为顶点的三棱锥体积最大时，异面直线与所成的角为_.【答案】【解析】【分析】根据题意可知，当最大时，平面平面，建立空间直角坐标系，求得异面直线夹角.详解】根据题意可知，当最大时，平面平面，设的中点为，连接建立空间直角坐标系，如图所示，令，则，因此所以异面直线与所成的角为故答案为：【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出

12、的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角16. 如图所示，在直平行六面体中，点在上，且，则点到平面的距离为_.【答案】【解析】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用点到平面的距离计算，即可得答案；【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则，令，则，.点到平面的距离.故答案为：.【点睛】本题考查利用空间向量法求点到面的距离，考查运算求解能力，求解时注意坐标系的建立.四、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 已知，求：（1），；（2）与所成角的余弦值【

13、答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）根据空间向量平行公式与垂直公式求解即可；（2）根据空间向量夹角公式求解即可.【小问1详解】因为，故，解得，故，.由可得，解得，故.【小问2详解】，故与所成角的余弦值.18. 如图，在直三棱柱中，是的中点. （1）试建立适当的空间直角坐标系，并写出点，的坐标；（2）求的长（3）求证：.【答案】（1）坐标系见解析， （2） （3）证明见解析【解析】【分析】（1）以为坐标原点，以，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，即可得到所求点的坐标.（2）根据空间向量坐标运算即可.（3）根据，即可证明结论.【小问1详解】以为坐标原点，以，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.

14、所以，【小问2详解】，.【小问3详解】，.，所以.19. 已知中，点，.（1）求直线的方程；（2）求边的高线所在的直线方程.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式写出直线方程；（2）根据直线垂直的结论和点斜式方程即可得到答案.【小问1详解】由题意可知，直线的斜率，故直线的方程为即，【小问2详解】边的高线的斜率，故直线边的高线的方程为，即.20. 如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，为的中点. （1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求点到面的距离.【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）依题意可以D为原点建立空间直角坐标系，利用空

15、间向量共面定理可证明共面，即可证明平面；（2）由空间向量数量积为零可证明，再由线面垂直的判定定理即可证明平面.（3）利用点到平面距离的空间向量求法即可.【小问1详解】平面平面，平面平面，平面，平面. 以为原点，分别为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则，.为的中点，则，故，共面.又平面，平面.【小问2详解】，又，又，平面，平面.【小问3详解】由（2）知为平面的法向量，则点到面的距离.21. （1）过点，且斜率为的直线的一般式方程方程；（2）经过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；（3）经过点且与轴，轴正半轴分别交于点，为坐标原点，求面积的最小值.【答案】（1）；（2）或；（3）

16、12【解析】【分析】（1）设直线方程为点斜式，化成一般式即可.（2）截距相等分两种情况讨论，截距相等且是0，设为,或者截距相等不是0，设为，代入求解即可.（3）设直线截距式方程，可得，由基本不等式可得，可得的面积最小值.【详解】（1）利用点斜式可得：直线的方程为：，化为：.（2）截距相等不是0时，可设直线方程为，直线的方程经过点，将点代入上式，得：，直线的方程为：.截距相等且是0时，设直线为，直线的方程经过点，将点代入上式，得，即.经过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为或；（3）设直线方程为，直线的方程经过点，代入，所以，又，所以，所以，当且仅当时，即，时，等号成立，所以.22. 如图所示

17、，在四棱锥中，底面四边形是正方形，侧面是边长为的正三角形，且平面底面. （1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）求平面与平面夹角的正弦值.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用面面垂直的性质证得平面，从而建立空间直角坐标系，再求得平面的一个法向量与，从而利用空间向量法即可得解；（2）结合（1）中条件，分别求出平面与平面的法向量，从而利用空间向量法即可得解.【小问1详解】取的中点，连接，为正三角形，为的中点，则，又平面平面，平面平面，平面，平面以点为坐标原点，、所在的直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，则，易知平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，.因此直线与平面所成角的正弦值为.【小问2详解】由（1）得，设平面的法向量为，则，取，则，故，设平面的法向量为，则，取，则，故，设平面与平面夹角夹角为，则，所以，则，所以平面与平面夹角的正弦值.