备战2021年高考数学一轮复习 易错题05 三角函数与解三角形（含解析）.docx

1、易错点 05 三角函数与解三角形 备战 2021 年高考数学一轮复习易错题【典例分析】例 1（2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学）下图是函数 y=sin(x+)的部分图像，则 sin(x+)=（）A.sin(3x）B.sin(2)3x C.cos(26x）D.5cos(2)6x【答案】BC【解析】【分析】首先利用周期确定 的值，然后确定 的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：22362T，则222T，所以不选 A,当2536212x时，1y 5322122kkZ，解得：223kkZ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin2

2、36263yxkxxx.而5cos 2cos(2)66xx 故选：BC.【点睛】已知 f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数 和，常用如下两种方法：(1)由 2T 即可求出；确定 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0，则令 x00(或 x0)，即可求出.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出 和，若对 A，的符号或对 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.例 2（2020 年普通高等学校招生全国统一考试数学）某中学开展劳动实习，学生加工制作零

3、件，零件的截面如图所示O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心，A 是圆弧 AB 与直线 AG的切点，B 是圆弧 AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BCDG，垂足为 C，tanODC=35，BHDG，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，圆孔半径为 1 cm，则图中阴影部分的面积为_cm2 【答案】542 【解析】【分析】利用3tan5ODC求出圆弧 AB 所在圆的半径，结合扇形的面积公式求出扇形 AOB 的面积，求出直角OAH的面积，阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得.【详解】设OBOAr，由题意7AM

4、AN，12EF，所以5NF，因为5AP,所以45AGP，因为/BHDG，所以45AHO，因为 AG 与圆弧 AB 相切于 A 点，所以OAAG，即OAH为等腰直角三角形；在直角OQD中，252OQr，272DQr，因为3tan5OQODCDQ，所以3 25 2212522rr，解得2 2r；等腰直角OAH的面积为112 22 242S；扇形 AOB 的面积22132 2324S，所以阴影部分的面积为1215422SS.故答案为：542.【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.例3 （2020年普通高等学校招生全国统一

5、考试数学）在3ac，sin3cA，3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在 ABC，它的内角,A B C 的对边分别为,a b c，且sin3sinAB=，6C，_?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】详见解析【解析】【分析】解法一：由题意结合所给的条件，利用正弦定理角化边，得到 a,b 的比例关系，根据比例关系，设出长度长度，由余弦定理得到c 的长度，根据选择的条件进行分析判断和求解.解法二：利用诱导公式和两角和的三角函数公式求得tanA 的值，得到角,A B C 的值，然后根据选择的条

6、件进行分析判断和求解.【详解】解法一：由sin3sinAB=可得：3ab，不妨设3,0am bm m，则：22222232cos3232cababCmmm mm，即cm.选择条件的解析：据此可得：2333acm mm，1m，此时1cm.选择条件的解析：据此可得：222222231cos222bcammmAbcm，则：213sin122A，此时：3sin32cAm，则：2 3cm.选择条件的解析：可得1cmbm，cb，与条件3cb 矛盾，则问题中的三角形不存在.解法二：3,6sinAsinB CBAC,3sin3sin6sinAACA,313sin3?3?22sinAACsinAcosA，3si

7、nAcosA,3tanA ,23A,6BC,若选，3ac,33abc,233c,c=1;若选，3csinA,则332c,2 3c;若选,与条件3cb 矛盾.【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围【易错警示】易错点 1 角的概念不清 例 1 若、为第三象限角，且，则（）Acoscos Bcoscos Ccoscos D以上都不对【错解】A【错因】角的概念不清，误将象限角看成类似)23,(区间角【正解】如取34,672

8、，可知 A 不对用排除法，可知应选 D 易错点 2 忽视对角终边位置的讨论致误 例 2 若 的终边所在直线经过点33(cos,sin)44P，则sin 【错解】3322(cos,sin)(,)4422P ，所以22222sin222()()22 【错因】忽略了对角终边的位置进行讨论【正解】直线经过二、四象限，又点 P 在单位圆上，若 的终边在第二象限，则32sinsin 42，若 的终边在第四象限，2sin2 ，综上可知2sin2 易错点 3 忽视函数的定义域对角范围的制约致错 例 3 求函数xxy2tan1tan2的最小正周期【错解】xxxy2tantan1tan22，2T，即函数的最小正周

9、期为2 【错因】忽视其定义域导致错误，2 不是xxy2tan1tan2的周期，因为当0 x时，xxy2tan1tan2有意义，所以由周期函数定义知应有)0()20(ff 成立，然而)20(f根本无意义，故2 不是其周期【正解】由于函数xxy2tan1tan2的定义域为)(4,2Zkkxkx，故作出函数xy2tan的图象，可以看出，所求函数周期应为 易错点 4 对“诱导公式中的奇变偶不变，符号看象限理解不对”致误 例 4 若316sin，则 232cos=（）A97 B31 C 31 D 97 【错解一】232coscos(2)3sin(2)2sin()cos()366 12 24 22()33

10、9 ，无答案【错解二】227cos2cos(2)cos(2)1 2sin()33369，故选 D【错因】三角函数的诱导公式可简记为：“奇变偶不变，符号看象限”这里的“奇、偶”指的是2 的倍数的奇偶；“变与不变”指的是三角函数的名称变化；“符号看象限”的含义是：在该题中把整个角(2)3看作锐角时，(2)3所在象限的相应余弦三角函数值的符号【正解】227cos2cos(2)cos(2)1 2sin()33369 ，故选 A 易错点 5 忽略隐含条件 例 5 若01cossinxx，求的取值范围【错解】移项得1cossinxx，两边平方得)(222,02sinZkkxkx那么 即)(2Zkkxk【错

11、因】忽略了满足不等式的在第一象限，上述解法引进了1cossinxx【正解】1cossinxx即1)4sin(2 x，由22)4sin(x得)(432442Zkkxk )(222Zkkxk 易错点 6 因“忽视三角函数中内层函数的单调性”致错 例 6)23sin(2xy单调增区间为（）A5,1212kk,()kZ B1211,125kk,()kZ C6,3kk,()kZ D2,63kk,()kZ【错解】由题意，222232kxk()kZ，解得521212kxk，所以)23sin(2xy单调增区间为5,1212kk,()kZ，故选 A【错因】内层函数为减函数，因此不能直接套用sinyx的单调性来求

12、【正解】sin(2)sin(2)33yxx，即求函数sin(2)3yx的减区间 故函数)23sin(2xy的增区间为1211,125kk,()kZ，故选 B 易错点 7 图象变换知识混乱 例 7 要得到函数sin 23yx的图象，只需将函数1sin 2yx的图象（）A先将每个值扩大到原来的 4 倍，y 值不变，再向右平移3 个单位 B先将每个值缩小到原来的 14倍，y 值不变，再向左平移3 个单位 C先把每个值扩大到原来的 4 倍，y 值不变，再向左平移个6 单位 D先把每个值缩小到原来的 14倍，y 值不变，再向右平移6 个单位【错解】A、C、B【错因】1sin 2yx变换成sin2yx误认

13、为是扩大到原来的倍，这样就误选 A 或 C；把sin2yx平移到sin 23yx平移方向错了，平移的单位误认为是3，误选 B【正解】由1sin 2yx变形为sin 23yx常见有两种变换方式，一种先进行周期变换，即将1sin 2yx的图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 14倍得到函数sin2yx的图象，再将函数sin2yx的图象纵坐标不变，横坐标向右平移6 单位即得函数sin 23yx，故选 D 易错点 8 已知条件弱用 例 8 在不等边ABC 中，a 为最大边，如果abc222，求 A 的取值范围【错解】abcbca2222220，则cos Abcabc22220，由于 cosA 在（

14、0，180）上为减函数且cos900，90A，又A 为ABC 的内角，0A90【错因】审题不细，已知条件弱用，题设是为最大边，而错解中只把看做是三角形的普通一条边，造成解题错误【正解】由上面的解法，可得 A90，又a 为最大边，A60，因此得 A 的取值范围是（60，90）易错点 9 三角变换不熟练 例 9 在ABC 中，若 abAB22 tantan，试判断ABC 的形状【错解】由正弦定理，得 sinsintantan22ABAB，即 sinsinsincoscossinsinsin2200ABAABBAB，即sincossincossinsinAABBAB22 2A2B，即 AB故ABC

15、是等腰三角形【错因】由sinsin22AB，得 2A2B这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉三角函数的性质，三角变换生疏【正解】同上得sinsin22AB，2A22kB，或222AkB kZ()000AbkAB，则或 AB2 故ABC 为等腰三角形或直角三角形 易错点 10 解三角形时漏解 例 10 已知在ABC 中，a3，b045,2B,求A、C和边c 【错解】由正弦定理BbAasinsin,得 sinA.23 所以，60A，7560-45-180C，所以，c sin62sin2bCB【错因】上述解法中，用正弦定理求 C 时，丢了一个解，实际上，由 sinA.23 可得 60A或120A，

16、故 75A或15A【正解】由正弦定理BbAasinsin,得 sinA.23 因为，ba，所以 60A或120A，当 60A时，7560-45-180C，c sin62sin2bCB 当120A时，15120-45-180C，c sin62sin2bCB 易错点 11 不会应用正弦定理的变形公式 例 11 在ABC 中，A60，b1，SABC3，求abcABCsinsinsin的值【错解】A60，b1，SABC3，又 SABC 12 bcAsin，312csin60，解得 c4由余弦定理，得abcbcA2221 16860coscos 13 又由正弦定理，得sinsinCB63932 39，a

17、bcABC sinsinsin13143232 39639【错因】公式不熟、方法不当，没有正确应用正弦定理【正解】由已知可得ca413，由正弦定理，得213602 393RaAsinsin abcABCRsinsinsin22 393【变式练习】1.已知 为第三象限角，则 2 是第 象限角，2是第 象限角【解析】是第三象限角，即Zkkk,2322 Zkkk,4322，Zkkk,34224 当为偶数时，2 为第二象限角；当为奇数时，2 为第四象限角；而 2的终边落在第一、二象限或 y 轴的非负半轴上.2.函数 y sinx|sinx|cosx|cosx tanx|tanx|的值域是()A1，1

18、B1，3 C1，3 D1，3【解析】由条件知终边不能落在坐标轴上，故要分四种情况讨论：当的终边分别落在第一、二、三、四象限时，上述函数的值域为1，3故选 D.3.记cos(80)k，那么 tan100 ()A21 kk B21 kk C21kk D21kk【解析】sin80=221 cos 801 cos(80)=21 k，tan100=tan80=sin80cos80 sin80cos(80)=21 kk故选 B 4.已知0,，7sincos13，求 tan 的值【解析】据已知7sincos13（1），有1202sincos0169 ，又由于0,，故有sin0,cos0，从而sincos0即

19、17sincos1 2sincos13（2），联立（1）、（2）可得125sin,cos1313，可得12tan5 5.若0 x，则函数sincos32yxx的单调递增区间为 .【解析】xxxxxysinsin3coscos3sin2cos3sin 2162sin21x，所以由kxk2236222，可得函数的的单调增区间zkkk,65,3，又因为 x0，所以函数sincos32yxx的单调递增区间为65,3.6.要得到函数sin2yx的图象，只需将函数cos(2)3yx的图象（）A向右平移 6个单位长度 B向左平移 6个单位长度 C向右平移 12个单位长度 D向左平移 12个单位长度【解析】试

20、题分析：函数22cos2sinxxy，将函数cos(2)3yx的图象向右平移 12个单位长度得到 3122cosxy xx2sin22cos，故答案为 C 7.在 ABC中，30,2 3,2BABAC求 ABC的面积【解析】根据正弦定理知：sinsinABACCB，即 2 32sinsin30C，得3sin2C，由于sin30ABACAB 即满足条件的三角形有两个故60C或120.则30A或90 故相应的三角形面积为12 32 sin3032s 或 12 322 32 8.在ABC 中，若sin A sin B sinC 7813，则角C 【解析】由正弦定理可得:7:8:13a b c，所以可

21、设7,8,9ak bk ck，由余弦定理 2222227891cos22782kkkabcCabkk，所以23C 9（2020北京高考真题）在 中，+=11，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知，求：（）a 的值：（）sin和 的面积 条件：=7,cos=17；条件：cos=18,cos=916 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【答案】选择条件（）8（）sin=32,=63；选择条件（）6（）sin=74,=1574.【解析】选择条件（）=7,cos=17，+=11 2=2+2 2cos 2=(11 )2+72 2(11 )7 (17)=8（）cos=17，(0,)sin

22、=1 cos2=437 由正弦定理得：sin=sin 8437=7sin sin=32 =12 sin=12(11 8)8 32=63 选择条件（）cos=18,cos=916，,(0,)sin=1 cos2=378,sin=1 cos2=5716 由正弦定理得：sin=sin 378=115716 =6（）sin=sin(+)=sincos+sincos=378 916+5716 18=74 =12 sin=12(11 6)6 74=1574 10.某地有三家工厂，分别位于矩形 ABCD 的顶点 A，B，及 CD 的中点 P 处，已知20AB km,10kmBC,为了处理三家工厂的污水，现要

23、在矩形 ABCD 的区域上（含边界），且 A，B 与等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道 AO，BO，OP，设排污管道的总长为 ykm（I）按下列要求写出函数关系式：设(rad)BAO，将 y 表示成 的函数关系式；设(km)OPx，将 y 表示成 x 的函数关系式（）请你选用（I）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排水管道总长度最短【答案】（I）20 10sin10(0)cos4y 2220200(010)yxxxx（）选择函数模型，P 位于线段 AB 的中垂线上且距离 AB 边10 3 km3处【解析】（I）由条件可知 PQ 垂直平分 AB，(rad)BAO

24、，则10coscosAQOABAO 故10cosOB，又10 10tanOP，所以 101010 10tancoscosyOAOBOP 20 10sin10(0)cos4(km)OPx，则10OQx，所以222(10)1020200OAOBxxx，所以所求的函数关系式为2220200(010)yxxxx（）选择函数模型 22210cos(20 10sin)(sin)10(2sin1)coscosy 令0y 得1sin2，又04，所以6 当06时，0y，y 是 的减函数；64时，0y，y 是 的增函数 所以当6 时min10 3 10y 当 P 位于线段 AB 的中垂线上且距离 AB 边10 3

25、 km3处【典例分析】1【2020 年高考全国卷理数】设函数()cos()6f xx在，的图像大致如下图，则 f（x）的最小正周期为 A109 B 76 C 43 D 32 【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09，将它代入函数 f x 可得：4cos096，又4,09是函数 f x 图象与 x 轴负半轴的第一个交点，所以4962，解得32.所以函数 f x最小正周期为224332T 故选 C【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.2【2020 年高考全国卷理数】已知()0,，且3cos28cos5，则sin A53 B 23 C 13 D

26、59【答案】A【解析】3cos28cos5，得26cos8cos80，即23cos4cos40，解得2cos3 或cos2（舍去），又25(0,),sin1 cos3.故选：A【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.3【2020 年高考全国卷理数】若 为第四象限角，则 Acos20 Bcos20 Dsin20【答案】D【解析】方法一：由 为第四象限角，可得 3222,2kkk Z，所以34244,kkk Z 此时2 的终边落在第三、四象限及 y 轴的非正半轴上，所以sin 20，故选：D 方法二：当6 时，cos2cos03，

27、选项 B 错误；当3 时，2cos2cos03，选项 A 错误；由 在第四象限可得：sin0,cos0，则sin22sin cos0，选项 C 错误，选项 D 正确；故选：D【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.【2020 年高考全国 III 卷理数】在ABC 中，cosC=23，AC=4，BC=3，则 cosB=A 19 B 13 C 12 D 23【答案】A【解析】在 ABC 中，2cos3C，4AC，3BC，根据余弦定理：2222cosABACBCAC BCC，22243224 33AB ，可得29AB ，即3

28、AB，由22299 161cos22 3 39ABBCACBAB BC ，故1cos9B.故选：A 5【2020 年高考全国卷理数】已知 2tantan(+4)=7，则 tan=A2 B1 C1 D2【答案】D【解析】2tantan74，tan12tan71 tan，令tan,1tt，则1271ttt，整理得 2440tt，解得2t，即 tan2.故选：D【点睛】本题主要考查了利用两角和的正切公式化简求值，属于中档题.6【2020 年高考北京】2020 年 3 月 14 日是全球首个国际圆周率日（Day）历史上，求圆周率 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似数学家阿尔卡西的方法是：当

29、正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2 的近似值按照阿尔卡西的方法，的近似值的表达式是 A 30303sintannnn B 30306sintannnn C 60603sintannnn D 60606sintannnn【答案】A【解析】单位圆内接正 6n 边形的每条边所对应的圆周角为 360606nn，每条边长为302sin n，所以，单位圆的内接正6n 边形的周长为3012 sinnn，单位圆的外切正6n 边形的每条边长为302tan n，其周长为3012 tannn，303012 sin1

30、2 tan303026sintan2nnnnnnn，则30303sintannnn.故选：A【点睛】本题考查圆周率 的近似值的计算，根据题意计算出单位圆内接正6n 边形和外切正6n 边形的周长是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.7【2020 年新高考全国卷】下图是函数 y=sin(x+)的部分图像，则 sin(x+)=Asin(3x）Bsin(2)3x Ccos(26x）D5cos(2)6x【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T，则222T，所以不选 A,当2536212x时，1y 5322122kkZ，解得：223kkZ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2si

31、n236263yxkxxx.而5cos 2cos(2)66xx 故选：BC【点睛】已知 f(x)Asin(x)(A0，0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数 和，常用如下两种方法：(1)由 2T 即可求出；确定 时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0，则令 x00(或 x0)，即可求出.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出 和，若对 A，的符号或对 的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.8.【2020 年高考全国卷理数】如图，在三棱锥 PABC 的平面展开图中，AC=1，

32、3ABAD，ABAC，ABAD，CAE=30，则 cosFCB=_.【答案】14【解析】ABAC，3AB，1AC，由勾股定理得222BCABAC，同理得6BD，6BFBD，在ACE中，1AC，3AEAD，30CAE，由余弦定理得22232cos301 32 1312CEACAEAC AE ，1CFCE，在 BCF 中，2BC，6BF，1CF，由余弦定理得2221 461cos22 1 24CFBCBFFCBCF BC .故答案为：14.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题.9【2020 年高考全国 III 卷理数】16.关于函数 f（x）=1sinsinxx有如下四个

33、命题：f（x）的图像关于 y 轴对称 f（x）的图像关于原点对称 f（x）的图像关于直线 x=2 对称 f（x）的最小值为 2 其中所有真命题的序号是_【答案】【解 析】对 于 命 题 ，152622f，152622f ，则66ff，所以，函数 f x 的图象不关于 y 轴对称，命题错误；对于命题，函数 f x 的定义域为,x xkkZ，定义域关于原点对称，111sinsinsinsinsinsinfxxxxf xxxx ，所以，函数 f x 的图象关于原点对称，命题正确；对于命题，11sincos22cossin 2fxxxxx，11sincos22cossin 2fxxxxx，则22fxf

34、x，所以，函数 f x 的图象关于直线2x对称，命题正确；对于命题，当0 x时，sin0 x，则 1sin02sinf xxx，命题错误.故答案为：.【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.10【2020年高考江苏】已知2sin()4=23，则sin2 的值是 【答案】13【解析】22221sin()(cossin)(1 sin 2)4222Q 121(1 sin 2)sin 2233 故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.11【2020 年高考北京】若函数()sin()cosf xx

35、x的最大值为 2，则常数 的一个取值为_【答案】2（2,2kkZ 均可）【解析】因为 22cos sinsin1 coscossin1sinf xxxx，所以22cossin12，解得sin1，故可取2.故答案为：2（2,2kkZ 均可）.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，辅助角公式的应用，以及平方关系的应用，考查学生的数学运算能力，属于基础题.12【2020 年高考浙江】已知 tan2，则cos2 _，tan()4 _【答案】35-；13【解析】2222222222cossin1 tan1 23cos2cossincossin1 tan1 25，tan12 11tan()41tan1 2

36、3，故答案为：3 1,5 3【点睛】本题考查二倍角余弦公式以及弦化切、两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.13【2020 年高考江苏】将函数sin(32)4yx的图象向右平移 6 个单位长度，则平移后的图象中与 y 轴最近的对称轴的方程是 【答案】524x 【解析】3sin2()3sin(2)6412yxx 72()()122242kxkkZxkZ 当1k 时524x.故答案为：524x 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题.14【2020 年新高考全国卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示O 为圆孔及轮廓圆弧 AB

37、 所在圆的圆心，A 是圆弧 AB 与直线 AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线 BC 的切点，四边形 DEFG 为矩形，BCDG，垂足为 C，tanODC=35，BHDG，EF=12 cm，DE=2 cm，A 到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm，圆孔半径为 1 cm，则图中阴影部分的面积为_cm2 【答案】542 【解析】设OBOAr，由题意7AMAN，12EF，所以5NF，因为5AP,所以45AGP，因为/BHDG，所以45AHO，因为 AG 与圆弧 AB 相切于 A 点，所以OAAG，即OAH为等腰直角三角形；在直角OQD中，252OQr，272DQr，因为3tan5OQODCD

38、Q，所以3 25 2212522rr，解得2 2r；等腰直角OAH的面积为112 22 242S；扇形 AOB 的面积22132 2324S，所以阴影部分的面积为1215422SS.故答案为：542.【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.15【2020 年高考全国 II 卷理数】ABC中，sin2Asin2Bsin2C=sinBsinC（1）求 A；（2）若 BC=3，求ABC周长的最大值【解析】（1）由正弦定理和已知条件得222BCACABAC AB，由余弦定理得2222cosBCACABAC ABA，由，得1c

39、os2A .因为0A，所以23A.（2）由正弦定理及（1）得2 3sinsinsinACABBCBCA，从而2 3sinACB，2 3sin()3cos3sinABABBB.故33sin3cos32 3sin()3BCACABBBB.又03B，所以当6B 时，ABC周长取得最大值32 3.16【2020年高考江苏】在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3,2,45acB （1）求sinC 的值；（2）在边 BC 上取一点 D，使得4cos5ADC，求 tanDAC的值 【解析】（1）在ABC中，因为3,2,45acB，由余弦定理2222cosbacacB，得2922 32cos4

40、55b ，所以5b.在ABC中，由正弦定理 sinsinbcBC，得52=sin45sinC，所以5sin.5C （2）在ADC中，因为4cos5ADC,所以ADC为钝角，而180ADCCCAD,所以C为锐角.故22 5cos1sin,5CC则sin1tancos2CCC.因为4cos5ADC，所以23sin1cos5ADCADC，sin3tancos4ADCADCADC.从而 31tan()242tantan(180)tan()=311tantan111()42ADCCADCADCCADCCADCC .【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题.17【20

41、20 年高考天津】在ABC中，角,A B C 所对的边分别为,a b c 已知2 2,5,13abc（）求角C 的大小；（）求sin A 的值；（）求sin(2)4A的值【解析】（）在ABC中，由余弦定理及2 2,5,13abc，有2222cos22abcCab又因为(0,)C，所以4C （）在ABC中，由正弦定理及,2 2,134Cac，可得sin2 13sin13aCAc（）由ac及2 13sin13A，可得23 13cos1 sin13AA，进而2125sin 22sincos,cos22cos11313AAAAA 所以，1225217 2sin(2)sin 2 coscos2 sin4

42、4413213226AAA【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.18【2020 年高考北京】在 ABC 中，11ab，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为己知，求：（）a 的值：（）sinC 和 ABC 的面积 条件：17,cos7cA；条件：19cos,cos816AB 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【解析】选择条件（）17,cos7cA ，11ab 22222212cos(11)72(11)7()7abcbcAaaa 8a（）214 3cos(0,)sin1 cos77AAAA，由正弦定理得：

43、873sinsinsinsin24 37acCACC 113sin(11 8)86 3222SbaC 选择条件（）19cos,cos,(0,)816ABA B，223 75 7sin1 cos,sin1 cos816AABB 由正弦定理得：116sinsin3 75 7816abaaaAB （）3 795 717sinsin()sincossincos8161684CABABBA 11715 7sin(11 6)62244SbaC 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理，三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.19【2020年高考浙江】在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C已

44、知 2 sin30bAa（）求角B的大小；（）求cosA+cosB+cosC的取值范围【解析】（）由正弦定理得 2sinsin3sinBAA，故3sin2B，由题意得3B.（）由ABC得23CA，由ABC是锐角三角形得(,)6 2A.由213coscos()cossin322CAAA 得 311131 3coscoscossincossin()(,2226222ABCAAA.故 coscoscosABC的取值范围是31 3(,22.【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不

45、等式求最值，二是转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.20【2020 年新高考全国卷】在3ac，sin3cA，3cb这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由 问题：是否存在ABC，它的内角,A B C 的对边分别为,a b c，且sin3sinAB，6C，_?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【解析】方案一：选条件 由6C和余弦定理得222322abcab 由sin3sinAB及正弦定理得3ab 于是22223322 3bbcb，由此可得bc 由3ac，解得3,1abc 因此，选条件时问题中的三角形存在，此时

46、1c 方案二：选条件 由6C和余弦定理得222322abcab 由sin3sinAB及正弦定理得3ab 于是22223322 3bbcb，由此可得bc，6BC，23A 由 sin3cA，所以2 3,6cba 因此，选条件时问题中的三角形存在，此时2 3c 方案三：选条件 由6C和余弦定理得222322abcab 由sin3sinAB及正弦定理得3ab 于是22223322 3bbcb，由此可得bc 由3cb，与bc矛盾 因此，选条件时问题中的三角形不存在【点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围