江苏省常州市一中2011届高三期初考试试卷（数学）.doc

1、QOF2F1Pyx常州市一中 2011 届高三期初考试试卷（数学）高三数学试题一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1设集合01|xxxM，恒成立对于任意的实数mmxmxRxN044|2，则NM _ _.2函数232xxxy的单调递减区间是_ _334sin(cos)55 i（）是纯虚数，则tan.4已知数据3,5,2,4,a的平均数为b，其中ba,是方程0342 xx的两个根，则这组数据的标准差是5已知关于 x 方程20axbxc，其中 a、b、c 是非零向量，且a、b 不共线，则该方程实数解的个数为个.6已知,4,2,3,2,ACkB

2、CZk若10AB，则 ABC 为直角三角形的概率是7在下面的算法流程图中，令sin,cos,2sincba，若在集合42|中，给 取一个值，输出的结果是b，则 的值所在范围是_ 8.设平面,直线ba,，集合垂直的平面与，垂直的平面与BA，垂直的直线与aM，垂直的直线与bN，给出下列命题：若BA，则;/若/，则BA；（第 7 题图）EDCBA（第 9 题图）（第 10 题图）若ba,为异面直线，则NM；若ba,相交，则;NM 其中不正确的命题序号是_ 9如上图，已知12,F F 是椭圆2222:1xyC ab(0)ab的左、右焦点，点 P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆222xyb相切于点Q，且

3、点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离心率为_ .10如上图，ACD 是等边三角形，ABC 是等腰直角三角形，ACB=90，BD 交 AC 于 E，AB=2，则 AE=_11已知圆 O 的半径为 1，圆心为 3,2，P 为 x 轴上的动点，PBPA,为该圆的两条切线，BA,为两切点，则PBPA 的最小值为_ 12 已 知 函 数 Rkmnnmknmxfxx,1,10,10为 奇 函 数，且23)1(f；若 xafmmxgxx222上的最小值为2，则a_.13在平面直角坐标系中，定义1212(,)d P Qxxyy为两点11(,)P x y,22(,)Q xy之间的“折线距离”.则圆221x

4、y 上一点与直线22 50 xy上一点的“折线距离”的最小值是_.14用,三个字母组成一个长度为1n*)(Nn个字母的字符串，要求由 开始，相邻两个字母不同.例如1n时，排出的字符串可能是或；2n时排出的字符串可能是，(如图).若记这种1n个字符串中，排在最后一个的字母仍是 的所 有 字 符 串 的 种 数 为na，可 知，2,021aa；则 数 列 na的 前n2项 之 和naaaa2321.二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分 14 分）在 ABC中，,a b c 分别为角,A B C 的对边，且：

5、CbaBAbasin)sin(2222（1）若3,4ab，求|CACB的值.（2）若60C,ABC面积为3.求ABCBCBACACAB的值.16（本小题满分 14 分）如图所示，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中，ABBB1，AC1平面 A1BD，D 为 AC 的中点。（1）求证：B1C1平面 ABB1A1；（2）在 CC1 上是否存在一点 E，使得BA1E45，若存在，试确定 E 的位置，并判断平面 A1BD 与平面 BDE是否垂直？若不存在，请说明理由。17（本小题满分 15 分）已知椭圆的中心在坐标原点，焦点21,FF在 x 轴上，长轴21AA的长为32，左准线 l 与 x 轴的交点为

6、M，1:3:111FAMA，P 为椭圆C 上的动点.（）求椭圆的标准方程；()若 P 与21,AA均不重合，设直线1PA 与2PA 的斜率分别为12,k k，证明：12k k 为定值；（）M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点，若OPOM，求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线18（本小题满分 15 分）某地政府为科技兴市，欲将如图所示的一块不规则的非农业用地建成一个矩形高科技工业园区，已知BCOABCAB/,，且kmAOBCAB42，曲线段OC 是以点O 为顶点且开口向右的抛物线的一段。如果要使矩形的相邻两边分别落在BCAB,，且一个顶点落在曲线段OC 上，问应如何规划才能使矩形工业

7、园区的用地面积最大？并求出最大的用地面积。AC1B1A1DCB19（本小题满分 16 分）设an是等差数列，其前 n 项的和为 Sn.（1）求证：数列nSn 为等差数列；（2）设an各项为正数，a1=115，a1a2，若存在互异正整数 m，n，p 满足：m+p=2n；2mpnSSS.求集合*(,)1,xyxy SSxyNN的元素个数；（3）设 bn=naa(a 为常数，a0，a1，a1a2)，数列bn前 n 项和为 Tn.对于正整数 c，d，e，f，若cde0，a1，a1a2)，数列bn前 n 项和为 Tn.对于正整数 c，d，e，f，若 cdef，且 c+f=d+e，试比较(Tc)-1+(T

8、f)-1 与(Td)-1+(Te)-1 的大小.m 【证】（1）an为等差数列，设其公差为 d，则11(1)2(1)2nn nnadSdannn-+=+-，于是112nnSSdnn+-=+（常数），故数列nSn 是等差数列.3 分【解】（2）因为an为等差数列，所以nSn 是等差数列，于是可设(,nSnn 为常数)，从而2nSnn.因为 m+p=2n，所以由2mpnSSS两边平方得24mpmpnSSS SS+=，即222()()24()mpmpmpS Snn+=+，亦即2222()242()2mpmpS Snnmpn+=+=+，4 分于是mpS Smpn=+，两边平方并整理得22()0nmp-

9、=，即22()0mp-=.6 分因为 mp，所以0=，从而2nSn=，而 a1=115，所以115=.故2115nSn=.7 分所以2*1(,)1,(,)1,15xyxy SSxyxyxyxyNNNN*(,)15,xy xyxyNN.因为 15 有 4 个正约数，所以数对（x，y）的个数为 4 个.即集合*(,)1,xyxy SSxyNN中的元素个数为 4.9 分（3）因为111nnnnaaadnanbaaaba+-+=（常数），所以数列bn是正项等比数列.因为 a1a2，所以等比数列bn的公比 q1.10 分（解法一）()()()()1111decfTTTT-+()()()()1111fed

10、cefcdefcdTTTTTTTTT TT T-?，所以要证，只要证fedcecTTTTTT-，13 分而()()()()1111cfdedecfcfdeT TT Tqqqqqqqq?-?-?-.显然成立，所以成立，从而有()()()()1111decfTTTT-+m 时，n mnnn mmTTTqT-=?.12 分于是()()()()()()()()11111111decfefcdTTTTTTTT-+?-ecfefee cdcdccdefefcdefcdTTq TTTq TqT TT TT TT TT TT T-?.14 分而e ccdedefqT TTTTT-，故()()()()1111d

11、ecfTTTT-+.16 分（注：第（3）问只写出正确结论的，给 1 分）20.(本小题满分 14 分)已知函数()xf xe，直线l 的方程为 ykxb.(1)求过函数图像上的任一点(,()P t f t的切线方程；(2)若直线l 是曲线()yf x的切线，求证：bkxxf对任意 xR成立；(2)若 bkxxf对任意 xR成立，求实数k、b 应满足的条件.解(1)：()xfxe，记切点为(,)tT t e，切线l 的方程为()ttyee xt即(1)ttye xet3 分(2)由(1)(1)ttkebet 记函数()()F xf xkx b,()(1)xttF xee xet()xtF xe

12、e()F x 在(,)xt 上单调递减，在(,)xt 为单调递增故min()()(1)0tttF xF tee tet故()()0F xf xkx b 即 bkxxf对任意 xR成立8 分（3）bkxxf对任意 xR成立，即bkxex对任意 xR成立当0k 时，取0|10bxk，001xee，而0|11kxbbb 11xekxb，0k 不合题意.当0k 时，若0b，则bkxex对任意 xR成立若0b 取1ln 2bx，12xbe，而1kxbb00 xekxb，0k 且0b 不合题意，故0k 且0b符合题意10 分当0k 时，令()xG xekxb，()xG xek，由()0G x，得lnxk，所以()G x 在(,ln)k上单减，(ln,)k 单增故 0lnlnminbkkkkGxGkkkbkln013 分综上所述：满足题意的条件是 00bk或 kkkbkln014 分版权所有：高考资源网()