江苏省常州市高级中学2016届高三上学期阶段调研数学试卷（理科）（二） WORD版含解析.doc

1、2015-2016学年江苏省常州市高级中学高三（上）阶段调研数学试卷（理科）（二）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1函数y=的定义域是2设i是虚数单位，若复数z满足z（1+i）=（1i），则复数z的模|z|=3“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a1）y+7=0平行”的条件（选“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空）4若样本数据x1，x2，x10的标准差为8，则数据2x11，2x21，2x101的标准差为5阅读程序框图，运行相应的程序，则输出的值为6若等差数列an的公差为2，且a1，a2，a4成等

2、比数列，则a1=7袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球中有黄球的概率为8圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为2的扇形，则圆锥的体积是9已知sin2xcos2x=2cos（2x）（），则=10已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为11已知菱形ABCD的边长为2，BAD=120，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=DF，若=1，则的值为12如果函数f（x）=（m2）x2+（n8）x+1（m0，n0）在区间上单调递减，则mn的最大值为13已知函数f

3、（x）=则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是14已知圆O：x2+y2=4，点M（1，0）圆内定点，过M作两条互相垂直的直线与圆O交于AB、CD，则弦长AC的取值范围二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15在ABC中，A=，AB=6，AC=3（1）求sin（B+）的值；（2）若点D在BC边上，AD=BD，求AD的长16在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，DCAB，DC=2，AB=4，BC=2，CBA=30（1）求证：ACPB；（2）若PC=2，点M是棱PB上的点，且CM平面PAD，求BM的长17某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石

4、油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p0，1x16，xN*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围18平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C上一动点P

5、（x0，y0）（y00）的直线l： +=1，过F2与x轴垂直的直线记为l1，右准线记为l2；设直线l与直线l1相交于点M，直线l与直线l2相交于点N，证明恒为定值，并求此定值若连接F1P并延长与直线l2相交于点Q，椭圆C的右顶点A，设直线PA的斜率为k1，直线QA的斜率为k2，求k1k2的取值范围19设数列an的前n项和Sn0，a1=1，a2=3，且当n2时，anan+1=（an+1an）Sn（1）求证：数列Sn是等比数列；（2）求数列an的通项公式；（3）令bn=，记数列bn的前n项和为Tn设是整数，问是否存在正整数n，使等式Tn+成立？若存在，求出n和相应的值；若不存在，说明理由20已知a

6、为实常数，函数f（x）=lnxax+1（）讨论函数f（x）的单调性；（）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1x2） （）求实数a的取值范围； （）求证：x11，且x1+x22（注：e为自然对数的底数）选修4-2：矩阵与变换21已知x，yR，矩阵A=有一个属于特征值2的特征向量a=，（1）求矩阵A；（2）若矩阵，求A1B选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xoy中，曲线C1：（t为参数，t0），其中0，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：=2sin，曲线C3：=2cos（）求C2与C3交点的直角坐标；（）若C2与C1相交于点A，C3与C1相交于点B，求|AB|

7、的最大值23为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛（）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望24若抛物线C的顶点在坐标原点O，其图象关于x轴对称，且经过点M（2，2）（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作抛物线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为k1，k2，当k1，k2变化且满足k1+k2=1时，证明直线A

8、B恒过定点，并求出该定点坐标2015-2016学年江苏省常州市高级中学高三（上）阶段调研数学试卷（理科）（二）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1函数y=的定义域是（1，+）【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据二次根式的性质以及父母不为0，得到关于x的不等式，解出即可【解答】解：由题意得：x+10，解得：x1，故函数的定义域是（1，+），故答案为：（1，+）2设i是虚数单位，若复数z满足z（1+i）=（1i），则复数z的模|z|=1【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答

9、】解：z（1+i）=（1i），z（1+i）（1i）=（1i）（1i），2z=2i，z=i则复数z的模|z|=1故答案为：13“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a1）y+7=0平行”的充分不必要条件（选“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a1）y+7=0平行，可得，解出即可判断出结论【解答】解：由直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a1）y+7=0平行，可得，解得a=3或2“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a1）y+7=0平行”的充分不必要条件

10、故答案为：充分不必要4若样本数据x1，x2，x10的标准差为8，则数据2x11，2x21，2x101的标准差为16【考点】极差、方差与标准差【分析】根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可【解答】解：样本数据x1，x2，x10的标准差为8，=8，即DX=64，数据2x11，2x21，2x101的方差为D（2X1）=4DX=464，则对应的标准差为=16，故答案为165阅读程序框图，运行相应的程序，则输出的值为4【考点】循环结构【分析】利用循环体，计算每执行一次循环后a的值，即可得出结论【解答】解：第一次循环，i=1，a=2；第二次循环，i=2，a=22

11、+1=5；第三次循环，i=3，a=35+1=16；第四次循环，i=4，a=416+1=6550，退出循环，此时输出的值为4故答案为4：6若等差数列an的公差为2，且a1，a2，a4成等比数列，则a1=2【考点】等比数列的通项公式；等差数列的通项公式【分析】把a2，a4用a1和常数表示，再由a1，a2，a4成等比数列列式求得a1【解答】解：等差数列an的公差为2，a2=a1+2，a4=a1+6，又a1，a2，a4成等比数列，解得：a1=2故答案为：27袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球中有黄球的概率为【考点】列举法计算基本事件数及

12、事件发生的概率【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球中有黄球包含的基本事件个数，由此能求出这2只球中有黄球的概率【解答】解：袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，基本事件总数n=6，这2只球中有黄球包含的基本事件个数m=5，这2只球中有黄球的概率为p=故答案为：8圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为2的扇形，则圆锥的体积是【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，利用圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为2的扇形，列出关系式，即可求出l，r，然后求出圆锥的高，即可求解圆锥的体积【解答】解：设圆锥的底面半径为r，

13、母线长为l，由题意知=，且2rl=2，解得l=2，r=，所以圆锥高h=1，则体积V=r2h=故答案为：9已知sin2xcos2x=2cos（2x）（），则=【考点】两角和与差的余弦函数；三角函数中的恒等变换应用【分析】由条件利用两角和差的余弦公式，诱导公式可得cos（2x）=cos（2x），由此求得的值【解答】解：sin2xcos2x=2cos（2x）（），sin（2x）=cos（2x），即 cos（2x）=cos（2x），=，故答案为：10已知双曲线=1（a0，b0）的一条渐近线过点（2，），且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，则双曲线的方程为【考点】双曲线的简单性质【分析】由抛物

14、线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得a、b的另一个方程，求出a、b，即可得到双曲线的标准方程【解答】解：由题意， =，抛物线y2=4x的准线方程为x=，双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，c=，a2+b2=c2=7，a=2，b=，双曲线的方程为故答案为：11已知菱形ABCD的边长为2，BAD=120，点E，F分别在边BC，DC上，BC=3BE，DC=DF，若=1，则的值为2【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建立方程即可得到结论【解答】解：BC=3BE，DC=DF，=， =，=+

15、=+=+， =+=+=+，菱形ABCD的边长为2，BAD=120，|=|=2， =22cos120=2，=1，（+）（+）=+（1+）=1，即4+42（1+）=1，整理得，解得=2，故答案为：212如果函数f（x）=（m2）x2+（n8）x+1（m0，n0）在区间上单调递减，则mn的最大值为18【考点】二次函数的性质【分析】函数f（x）=（m2）x2+（n8）x+1（m0，n0）在区间，2上单调递减，则f（x）0，即（m2）x+n80在，2上恒成立而y=（m2）x+n8是一次函数，在，2上的图象是一条线段故只须在两个端点处f（）0，f（2）0即可结合基本不等式求出mn的最大值【解答】解：函数f

16、（x）=（m2）x2+（n8）x+1（m0，n0）在区间，2上单调递减，f（x）0，即（m2）x+n80在，2上恒成立而y=（m2）x+n8是一次函数，在，2上的图象是一条线段故只须在两个端点处f（）0，f（2）0即可即，由得m（12n），mnn（12n）=18，当且仅当m=3，n=6时取得最大值，经检验m=3，n=6满足和mn的最大值为18故答案为：1813已知函数f（x）=则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是，）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y

17、=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围【解答】解：方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，y=，设切点为（x0，y0），k=，切线方程为yy0=（xx0），而切线过原点，y0=1，x0=e，k=，直线l1的斜率为，又直线l2与y=x+1平行，直线l2的斜率为，实数a的取值范围是，）故答案为：，）14已知圆O：x2+y2=4，点M（1，0）圆内定点，过M作两条互相垂直的直线与圆O交于AB、CD，则弦长AC的取值范围1， +1【考点】直线与圆的位置关系【分析】根据题意，求出AC的中点的轨迹方程，求出AC的最大值与最

18、小值，即可得出它的取值范围【解答】解：设AC的中点为P（x，y），则OPAC，|PA|=|PM|=，=，|PM|max=，|PM|min=，|AC|max=+1，|AC|min=1，故答案为：1， +1二、解答题（本大题共6小题，共计90分）15在ABC中，A=，AB=6，AC=3（1）求sin（B+）的值；（2）若点D在BC边上，AD=BD，求AD的长【考点】解三角形【分析】（1）利用余弦定理及其推论，求出BC，cosB，再由同角三角函数基本关系公式，求出sinB，结合两角和的正弦公式，可得答案；（2）过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cosDAE=cosB，即可求得AD的长

19、【解答】解：（1）在ABC中，A=，AB=6，AC=3由余弦定理得：BC=3，故cosB=，则sinB=，故sin（B+）=（+）=；（2）过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cosDAE=cosB，RtADE中，AD=16在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，DCAB，DC=2，AB=4，BC=2，CBA=30（1）求证：ACPB；（2）若PC=2，点M是棱PB上的点，且CM平面PAD，求BM的长【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系【分析】（1）推导出PCAC，AC=2，从而ACBC，进而AC平面PBC，由此能证明ACPB（2）以C为原点，CA为x轴，

20、CB为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出BM的值【解答】证明：（1）PC平面ABCD，PCAC，又CBA=30，BC=2，AB=4，AC=，AC2+BC2=4+12=16=AB2，ACB=90，故ACBC又PC、BC是平面PBC内的两条相交直线，AC平面PBC，ACPB 7分解：（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，2，0），A（2，0，0），P（0，0，2），D（1，0），设M（0，b，c），（01），即（0，b，c2）=（0，2，2），b=2，c=22M（0，2，22），=（0，2，22），设平面PAD的法向量=（x，y，z）

21、，则，取x=1，得=（1，1）CM平面PAD，=2+22=0，解得=，M（0，1），BM=2.14分17某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p0，1x16，xN*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围【考点】根据实际问题选择

22、函数类型【分析】（1）利用前4个月，区域外的需求量为20万吨，求出p，可得y=10（1x16，xN*），即可求出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）由题意0mxx10+1030（1x16，xN*），分离参数求最值，即可得出结论【解答】解：（1）由题意，20=，2p=100，y=10（1x16，xN*），油库内储油量M=mxx10+10（1x16，xN*）；（2）0M30，0mxx10+1030（1x16，xN*），（1x16，xN*）恒成立；设=t，则t1，由（x=4时取等号），可得m，由20t2+10t+1=（x16时取等号），可得m，m18平面直角坐标系xOy

23、中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C上一动点P（x0，y0）（y00）的直线l： +=1，过F2与x轴垂直的直线记为l1，右准线记为l2；设直线l与直线l1相交于点M，直线l与直线l2相交于点N，证明恒为定值，并求此定值若连接F1P并延长与直线l2相交于点Q，椭圆C的右顶点A，设直线PA的斜率为k1，直线QA的斜率为k2，求k1k2的取值范围【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点E在椭圆C上可得|EF1|

24、+|EF2|=3+1=2a，解得a=2又e=，a2=b2+c2，解得c，b2，即可得到椭圆C的方程；（2）直线l1：x=1，直线l2：x=4把x=1代入直线1，解得y，可得M坐标同理可得N坐标又=，利用两点之间的距离公式可得=为定值由由，解得=直线l1的方程为：x=1；直线l2的方程为：x=4直线PF1的方程为：y0=（x+1），由于1x02，可得（，+），即可得出k1k2，利用函数的性质即可得出【解答】解：（1）由题意知2a=4，则a=2，由e=，求得c=1，b2=a2c2=3椭圆C的标准方程为；（2）证明：直线l1：x=1，直线l2：x=4把x=1代入直线1： +=1，解得y=，M，把x=

25、4代入直线1： +=1方程，解得y=，N，由，解得=3（1）（2x02），x01直线l1的方程为：x=1；直线l2的方程为：x=4直线PF1的方程为：y0=（x+1），令x=4，可得yQ点Q，k2=，k1k2= 点P在椭圆C上，k1k2= 1x02，（，+），k1k2k1k2的取值范围是k1k2（，）19设数列an的前n项和Sn0，a1=1，a2=3，且当n2时，anan+1=（an+1an）Sn（1）求证：数列Sn是等比数列；（2）求数列an的通项公式；（3）令bn=，记数列bn的前n项和为Tn设是整数，问是否存在正整数n，使等式Tn+成立？若存在，求出n和相应的值；若不存在，说明理由【考点

26、】数列与函数的综合；数列的求和；数列递推式【分析】（1）通过当n2时，an=SnSn1，an+1=Sn+1Sn，代入anan+1=（an+1an）Sn，通过S1=1，S2=4，S3=16，满足，而Sn恒为正值，即可证明数列Sn是等比数列；（2）利用（1）求出Sn，然后求数列an的通项公式；（3）化简bn=，利用裂项法求出数列bn的前n项和为Tn通过n=1，推出不是整数，不符合题意，n2，是整数，从而=4是整数符合题意然后得到结论【解答】解：（1）当n2时，an=SnSn1，an+1=Sn+1Sn，代入anan+1=（an+1an）Sn并化简得（n3），anan+1=（an+1an）Sn，又由a

27、1=1，a2=3得S2=4，代入a2a3=（a3a2）S2可解得a3=12，S1=1，S2=4，S3=16，也满足，而Sn恒为正值，数列Sn是等比数列（2）由（1）知当n2时，又a1=S1=1，（3）当n2时，此时=，又故，当n2时， =，若n=1，则等式为，不是整数，不符合题意；若n2，则等式为，是整数，4n1+1必是5的因数，n2时4n1+15当且仅当n=2时，是整数，从而=4是整数符合题意综上可知，当=4时，存在正整数n=2，使等式成立，当4，Z时，不存在正整数n使等式成立20已知a为实常数，函数f（x）=lnxax+1（）讨论函数f（x）的单调性；（）若函数f（x）有两个不同的零点x1

28、，x2（x1x2） （）求实数a的取值范围； （）求证：x11，且x1+x22（注：e为自然对数的底数）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】（）写出函数f（x）的定义域，求出f（x），分a0，a0两种情况讨论，通过解不等式f（x）0，f（x）0可得单调区间；（）（）由（）可知，当a0时f（x）单调，不存在两个零点；当a0时，可求得f（x）有唯一极大值，令其大于零，可得a的范围，再判断极大值点左右两侧附近的函数值小于零即可；（）由（i）知可判断f（x）的单调性，根据零点存在定理可判断1；分析：由0，得，故只要证明：f（）0就可以得出结论下面给出证明：构造函数：g

29、（x）=f（x）f（x）=ln（x）a（x）（lnxax）（0x），利用导数可判断g（x）在区间（0，上为减函数，从而可得g（x1）g（）=0，再由f（x1）=0可得结论；【解答】解：（）f（x）的定义域为（0，+），其导数f（x）=a当a0时，f（x）0，函数在（0，+）上是增函数；当a0时，在区间（0，）上，f（x）0；在区间（，+）上，f（x）0f（x）在（0，）是增函数，在（，+）是减函数（）（）由（）知，当a0时，函数f（x）在（0，+）上是增函数，不可能有两个零点，当a0时，f（x）在（0，）上是增函数，在（，+）上是减函数，此时f（）为函数f（x）的最大值，当f（）0时，f（x）

30、最多有一个零点，f（）=ln0，解得0a1，此时，且f（）=1+1=0，f（）=22lna+1=32lna（0a1），令F（a）=32lna，则F（x）=0，F（a）在（0，1）上单调递增，F（a）F（1）=3e20，即f（）0，a的取值范围是（0，1）（ii）由（）（i）可知函数f（x）在（0，）是增函数，在（，+）是减函数f（x）=lnxax+1，f（）=1+1=0，f（1）=1a0故1；第二部分：分析：0，只要证明：f（）0就可以得出结论下面给出证明：构造函数：g（x）=f（x）f（x）=ln（x）a（x）（lnxax）（0x），则g（x）=+2a=，函数g（x）在区间（0，上为减函数0

31、x1，则g（x1）g（）=0，又f（x1）=0，于是f（）=ln（）a（）+1f（x1）=g（x1）0又f（x2）=0，由（1）可知，即选修4-2：矩阵与变换21已知x，yR，矩阵A=有一个属于特征值2的特征向量a=，（1）求矩阵A；（2）若矩阵，求A1B【考点】逆矩阵的意义；特征向量的意义【分析】（1）根据特征值的定义可知A=，利用待定系数法建立等式关系，从而可求矩阵A；（2）利用公式求逆矩阵，即可求A1B【解答】解：（1）由题意可得=2，得即x=1，y=2； A=4分（2）|A|=1，6分10分选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xoy中，曲线C1：（t为参数，t0），其中0，在以

32、O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：=2sin，曲线C3：=2cos（）求C2与C3交点的直角坐标；（）若C2与C1相交于点A，C3与C1相交于点B，求|AB|的最大值【考点】简单曲线的极坐标方程【分析】（）将C2与C3转化为直角坐标方程，解方程组即可求出交点坐标；（）求出A，B的极坐标，利用距离公式进行求解【解答】解：（）曲线C2：=2sin得2=2sin，即x2+y2=2y，C3：=2cos，则2=2cos，即x2+y2=2x，由得或，即C2与C1交点的直角坐标为（0，0），（，）；（）曲线C1的直角坐标方程为y=tanx，则极坐标方程为=（R，0），其中0a因此A得到极坐标

33、为（2sin，），B的极坐标为（2cos，）所以|AB|=|2sin2cos|=4|sin（）|，当=时，|AB|取得最大值，最大值为423为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名，乙协会的运动员5名，其中种子选手3名，从这8名运动员中随机选择4人参加比赛（）设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；（）设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列【分析】（）利用组合知识求出基本事件总数及事件

34、A发生的个数，然后利用古典概型概率计算公式得答案；（）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4，由古典概型概率计算公式求得概率，列出分布列，代入期望公式求期望【解答】解：（）由已知，有P（A）=，事件A发生的概率为；（）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4P（X=k）=（k=1，2，3，4）随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 P随机变量X的数学期望E（X）=24若抛物线C的顶点在坐标原点O，其图象关于x轴对称，且经过点M（2，2）（1）求抛物线C的方程；（2）过点M作抛物线C的两条弦MA，MB，设MA，MB所在直线的斜率分别为k1，k2，当k1，k2变化且满足k1+k2=1时，证明

35、直线AB恒过定点，并求出该定点坐标【考点】抛物线的简单性质【分析】（1）设抛物线方程为y2=ax，代入M（2，2），可得a=2，即可求抛物线C的方程；（2）由题意可知直线AB的斜率存在且不为零，可设AB的方程为x=my+b，和（1）中求得轨迹联立后利用根与系数关系得到A，B两点的横纵坐标的和，结合k1+k2=1求得直线方程，由线系方程得答案【解答】解：（1）设抛物线方程为y2=ax，代入M（2，2），可得a=2，抛物线C的方程为y2=2x；（2）由题意可知直线AB的斜率存在且不为零，可设AB的方程为x=my+b，并设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线可得y22my2b=0，从而有y1+y2=2m ，y1y2=2b ，又k1+k2=1，即+=1，+=1（y1+2）（y2+2）=2（y1+y2+4），展开即得y1y2+4（y1+y2）+12=0，将代入得b=4m+6，得AB：x=my+4m+6故直线AB经过定点（6，4）2016年12月7日