（广西专用）2022年高考数学一轮复习 第九章 解析几何 7 抛物线课件 新人教A版（理）.pptx

1、9.7 抛物线-2-知识梳理 双基自测 2311.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的_ 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ,直线l叫做抛物线的 .距离相等焦点准线-3-知识梳理 双基自测 2312.抛物线的标准方程和几何性质 标准方程 y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离 图形 顶点 O(0,0)对称轴 y=0 x=0 焦点 F p2,0 F-p2,0 F 0,p2 F 0,-p2 -4-知识梳理 双基自测 231标准方程 y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x

2、2=2py(p0)x2=-2py(p0)p 的几何意义:焦点 F 到准线 l 的距离 离心率 e=准线方程 范围 x0,yR x0,yR y0,xR y0,xR 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中 P(x0,y0)|PF|=x0+2|PF|=-x0+2|PF|=y0+2|PF|=-y0+2 1 x=-2 x=2 y=-2 y=2-5-知识梳理 双基自测 2313.常用结论 设AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则-6-知识梳理 双基自测 231(1)x1x2=24,y1y2=-p2.(2)弦长|AB|=x1+x2+p=2si

3、n2(为弦 AB 所在直线的倾斜角).(3)SAOB=22sin(为弦 AB 所在直线的倾斜角).(4)1|+1|为定值2.(5)以 AB 为直径的圆与准线相切.(6)以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切.(7)CFD=90.2-7-知识梳理 双基自测 34151.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.()(3)若一抛物线过点P(-2,3),其标准方程可写为y2=2px(p0).()(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.()(5)AB 为抛物线 y

4、2=2px(p0)的过焦点 F 2,0 的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2=24,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p.()-8-知识梳理 双基自测 234152.点A(2,1)到抛物线y2=ax准线的距离为1,则a的值为()A.-14或-112B.14 或 112C.-4 或-12D.4 或 12 答案 解析 解析 关闭抛物线的准线方程为 x=-4,则点 A(2,1)到抛物线 y2=ax准线的距离为 2+4=1,解得 a=-4 或 a=-12.故选 C.答案 解析 关闭C-9-知识梳理 双基自测 234153.已知过抛物线y2=4x的焦点的直线l交抛物线于P(

5、x1,y1),Q(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|PQ|等于()A.9B.8C.7D.6 B-10-知识梳理 双基自测 234154.(2020全国,理5)设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p0)交于D,E两点,若ODOE,则C的焦点坐标为()A.14,0B.12,0C.(1,0)D.(2,0)B-11-知识梳理 双基自测 234155.动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为 .答案 解析 解析 关闭设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2=4x.答案

6、 解析 关闭y2=4x-12-考点1 考点2 考点3 考点 1 抛物线的定义及其应用 例1过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则AOB的面积为()A.22B.2C.322D.22思考如何灵活应用抛物线的定义解决距离问题?答案 解析 解析 关闭焦点 F(1,0),设 A,B 分别在第一、第四象限,则点 A 到准线 l:x=-1 的距离为 3,得点 A 的横坐标为 2,纵坐标为 22,直线 AB 的方程为y=22(x-1),与抛物线方程联立可得 2x2-5x+2=0,所以点 B 的横坐标为12,纵坐标为-2,SAOB=121(22+2)=322.答

7、案 解析 关闭C-13-考点1 考点2 考点3 解题心得1.涉及抛物线上点到焦点的距离或点到准线的距离,由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化,即“见到焦点想准线,见到准线想焦点”.2.注意灵活运用抛物线上一点P(x,y)到焦点F的距离|PF|=|x|+2或|PF|=|y|+2.-14-考点1 考点2 考点3(2)已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的动点,点 P 到准线的距离为 d,且点 P 在 y 轴上的射影是 M,点 A 72,4,则|PA|+|PM|的最小值是()A.72B.4C.92D.5对点训练1(1)过点F(0,3),且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹方程是(

8、)A.y2=12xB.y2=-12x C.x2=-12yD.x2=12y DC-15-考点1 考点2 考点3(2)抛物线焦点 F 12,0,准线 x=-12,如图,延长 PM 交准线于 N,由抛物线定义得|PF|=|PN|.|PA|+|PM|+|MN|=|PA|+|PN|=|PA|+|PF|AF|=5,而|MN|=12,|PA|+|PM|5-12=92,当且仅当 A,P,F 三点共线时,取等号,此时,点 P 位于抛物线上,|PA|+|PM|的最小值为92.解析:(1)由已知条件:过点F(0,3),且和直线y+3=0相切的动圆圆心轨迹是以点F(0,3)为焦点,直线y=-3为准线的抛物线,故其方程

9、为x2=12y.故选D.-16-考点1 考点2 考点3 考点 2 抛物线的标准方程及几何性质 例 2(1)(2020 吉林长春二模)已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为F,M12,y0 为该抛物线上一点,以 M 为圆心的圆与 C 的准线相切于点 A,AMF=120,则抛物线方程为()A.y2=2xB.y2=4xC.y2=6xD.y2=8x(2)(2020浙江绍兴模拟)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,P(3,m)是抛物线上一点,过点P向抛物线C的准线引垂线,垂足为D,若PDF为等边三角形,则p=.思考求抛物线标准方程的常用方法和关键是什么?C2-17-考点1 考点2 考点3

10、 解析:(1)不妨设 M 在第一象限,M 12,0 为该抛物线上一点,以 M 为圆心的圆与 C 的准线相切于点 A,过点 M 作 MBx 轴,|MA|=|MF|=12+2,|BF|=2 12.AMF=120,BMF=30,2|BF|=|MF|,2 2-12=12+2,解得 p=3,抛物线方程为 y2=6x.故选 C.-18-考点1 考点2 考点3(2)由题意得抛物线 C:y2=2px(p0),焦点为 F 2,0,准线为 l:x=-2.P(3,m)是抛物线上一点,m2=6p.由题意可得 D-2,由于PDF 为等边三角形,则有|PF|=|PD|=|FD|,即有 3+2=2p,可得 p=2.-19-

11、考点1 考点2 考点3 解题心得1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合思想解题的直观性.-20-考点1 考点2 考点3 对点训练 2(1)已知抛物线 C:y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 是 l上一点,Q 是直线 PF 与 C 的一个交点,若 =4 ,则|QF|=()A.72B.52C.3D.2(2)如图,过抛物线 y2=2px(p

12、0)的焦点 F 的直线交抛物线于点A,B,交其准线 l 于点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为()A.y2=9x B.y2=6xC.y2=3xD.y2=3xC C-21-考点1 考点2 考点3 解析:(1)=4 ,|=4|.|=34.过 Q 作 QQl,垂足为 Q,设 l 与 x 轴的交点为 A,则|AF|=4,|=|=34,|QQ|=3,根据抛物线定义可知|QF|=|QQ|=3,故选C.-22-考点1 考点2 考点3(2)如图,分别过A,B作AA1l于点A1,BB1l于点B1,由抛物线的定义知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.|BC|=2|BF|,|

13、BC|=2|BB1|,BCB1=30,AFx=60,连接A1F,则AA1F为等边三角形,过点F作FF1AA1于点F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于点K,则|KF|=|A1F1|=12|AA1|=12|AF|,又|AF|=3,即 p=32,故抛物线方程为 y2=3x.-23-考点1 考点2 考点3 考点 3 直线与抛物线的关系 例3已知点F为抛物线E:y2=2px(p0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程;(2)若点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.思考怎样求解直线与抛物线的综合问题?

14、-24-考点1 考点2 考点3(1)解 由抛物线的定义,得|AF|=2+2.因为|AF|=3,即 2+2=3,解得 p=2,所以抛物线 E 的方程为 y2=4x.(2)证法一 因为点 A(2,m)在抛物线 E:y2=4x 上,所以 m=22,由抛物线的对称性,不妨设 A(2,22).由 A(2,22),F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y=22(x-1).由 =22(-1),2=4,得 2x2-5x+2=0,解得 x=2 或 x=12,又 xAxB,xA=2,从而 B 12,-2.-25-考点1 考点2 考点3 又 G(-1,0),所以 kGA=22-02-(-1)=223,kGB=-2-

15、012-(-1)=-223,所以 kGA+kGB=0,从而AGF=BGF,这表明点 F 到直线 GA,GB 的距离相等,故以 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切.证法二 设以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆的半径为 r.因为点 A(2,m)在抛物线 E:y2=4x 上,所以 m=22,由抛物线的对称性,不妨设 A(2,22).由 A(2,22),F(1,0)可得直线 AF 的方程为 y=22(x-1).由 =22(-1),2=4得 2x2-5x+2=0,-26-考点1 考点2 考点3 解得 x=2 或 x=12,从而 B 12,-2.又 G(-1,0),故直线 GA

16、的方程为 22x-3y+22=0,从而 r=|22+22|8+9=4217.又直线 GB 的方程为 22x+3y+22=0,所以点 F 到直线 GB 的距离 d=|22+22|8+9=4217=r.这表明以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切.-27-考点1 考点2 考点3 解题心得1.直线与抛物线的综合问题的求解策略(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系、判别式等.(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上),可直接使用公式|AB|=x1+x2+p;若不过焦点

17、,则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求,整体代入”的解法.(4)抛物线y2=2px(p0)以P(x0,y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率为k=.0-28-考点1 考点2 考点3 2.注意事项(1)直线与抛物线只有一个公共点有两种情况:切线,与对称轴平行或重合的直线;(2)涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解;(3)焦点弦长公式要依据抛物线的方程选择.-29-考点1 考点2 考点3 对点训练3(2020广西南宁二模)已知抛物线C:x2=2y,过点A(0,1)且互相垂直的两条动直线l1,l2与抛物线C分别交于P,Q和M

18、,N.(1)求四边形MPNQ面积的取值范围;(2)记线段PQ和MN的中点分别为E,F,求证:直线EF恒过定点.-30-考点1 考点2 考点3(1)解:由题意可知两条直线l1,l2的斜率一定存在,且不等于0.设 l1:y=kx+1(k0),P(x1,y1),Q(x2,y2),则 l2:y=-1x+1(k0).联立直线 l1 与抛物线的方程,有 =+1,2=2,整理得 x2-2kx-2=0,其中=4k2+80,由韦达定理,得 1+2=2,12=-2.由上可得|PQ|=1+2|x1-x2|=(1+2)(8+42),同理|MN|=1+12 8+42,-31-考点1 考点2 考点3 则四边形 MPNQ

19、的面积 S=12|PQ|MN|=12 2+2+12 80+322+322.令 k2+12=t2,则 S=12 (2+)(80+32)=82+36+40.因此当且仅当t=2,即k=1时,S取得最小值12,且当t+时,S+.故四边形MPNQ面积的范围是12,+).-32-考点1 考点2 考点3(2)证明:由(1)有x1+x2=2k,y1+y2=2k2+2,故PQ中点E的坐标为(k,k2+1),同理点 F 的坐标为-1,12+1.于是,直线 EF 的斜率为 kEF=2+1-12+1+1=2-12+1=k-1,则直线 EF 的方程为 y-(k2+1)=k-1(x-k),整理得 y=-1 x+2,故直线

20、 EF 恒过定点(0,2).-33-易错警示忽视抛物线方程的标准形式而致误典例抛物线 C1:x2=2py(p0)的焦点与双曲线 C2:23-y2=1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线平行于C2 的一条渐近线,则 p=()A.316B.38C.233D.433答案：D -34-解析：抛物线 C1:x2=2py(p0)的焦点坐标为 0,2,双曲线23-y2=1 的右焦点坐标为(2,0),两点连线的方程为 y=-4(x-2),联立 =-4(-2),=12 2,得 2x2+p2x-2p2=0.设点 M 的横坐标为 m,易知在 M 点处切线的斜率存在,则在点M 处切线的斜率为 y|x=m=12 2|x=m=.又双曲线23-y2=1 的渐近线方程为 3y=0,其与切线平行,所以=33,即 m=33 p,代入 2x2+p2x-2p2=0,得 p=433 或 p=0(舍去).-35-反思提升1.本题中易错点之一是与方程y2=2px混淆,导致抛物线的焦点求解错误.2.本题中容易使用判别式解决相切问题,这样计算量大,不如利用导数工具,巧妙而简便.