江西省南昌市等5地2022-2023学年高一数学下学期期末联考试题（Word版附解析）.docx

1、江西省高一期末联考数学考生注意：1本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4本卷命题范围：北师大版必修第二册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数满足，则的虚部为（ ）A. B. C. D.

2、2【答案】A【解析】【分析】根据复数除法法则，再结合虚部的概念即可得到答案【详解】由，则，所以的虚部为故选：A2. （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用两角差的余弦公式求解即可【详解】故选：C3. 如图，在正六边形中，（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据正六边形的性质与平面向量加法运算法则即可得答案.【详解】连接，交于点，由正六边形的性质可知，六个小三角形均为全等的正三角形，所以且，故选：C4. 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由余弦定理计算可得；【详解】解：由，得，故选：

3、B5. 设l，m是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】对于A，C与D，可通过举反例的方式说明其错误性，B选项可以直接证明其正确性.【详解】对于A，若，此时与可能相交，如下图所示： 对于C与D，若，则与均可能发生，如下图所示： 对于B，若，则，又因为，故.故选：B.6. 将函数的图像上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍，然后将所得图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据伸缩得出解析式，再结合平移得出函数的解析式即可.【详解】由题意

4、将函数的图像上所有点的横坐标缩短为原来的得，纵坐标伸长为原来的2倍得,将所得图像向右平移个单位长度，即故选:A7. 位于某港口A小艇要将一件重要物品送到一艘正在航行的海轮上.在小艇出发时，海轮位于港口A北偏东30且与该港口相距30海里的B处，并正以20海里/时的速度沿正西方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与海轮相遇.若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度（单位：海里/时）应为（ ）A. B. 20C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用垂线段最短，结合三角函数值求出最小距离，即可求出答案.【详解】如图所示，当时，即小艇往正北方向航行时航行的

5、距离最小，最小值为海里，从而海轮航行的距离为海里，故航行时间为小时，所以小艇的航行速度海里/时.故选：D. 8. 如图，已知正四棱锥的所有棱长均为4，平面经过，则平面截正四棱锥的外接球所得截面圆的面积的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】连接、交于，连接，求出，可得点即为正四棱锥外接球球心，取中点，连接，当时，截面圆的面积最小，线段也即此时截面圆的直径，求出截面圆的面积即可【详解】连接，交于，连接，则底面且是中点，所以到，的距离均为，点即为正四棱锥的外接球球心，取中点，连接，分析可知，当时，截面圆的面积最小，线段也即此时截面圆的直径，所以截面圆的面积的最小值为故选

6、：C 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列各式中值为1是（ ）A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】利用三角函数恒等变换公式逐个计算判断即可【详解】对于A，所以A错误；对于B，所以B错误；对于C，所以C正确；对于D，所以D正确故选：CD10. 若复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则在第二象限B. 若为纯虚数，则在虚轴上C. 若，则点的集合所构成的图形的面积为D. 若，且，则为实数【答案】BD【解析】【分析】根据的周期性、复数的几何意义、复数

7、的除法运算等知识直接判断各个选项.【详解】对于A，因为，故，所以在坐标轴上，故A错误；对于B，若为纯虚数，则在虚轴上，故B正确；对于C，若，则点的集合所构成的图形是半径为3的圆及其内部，面积为，故C错误；对于D，则为实数，故D正确故选：BD11. 已知向量，则下列说法正确的是（ ）A. 若，则B. 存在，使得C. D. 当时，在上的投影向量的坐标为【答案】CD【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标公式即可判断A；根据平面线路垂直的坐标表示即可判断B；根据向量的模的坐标计算即可判断C；根据投影向量的计算公式即可判断D.【详解】对于A，若，则，解得，故A错误；对于B，若，则，即，方程无解，所以不存

8、在，使得，故B错误；对于C，所以，故C正确；对于D，当时，则在上的投影向量的坐标为，故D正确.故选：CD.12. 如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角ABC沿BC向上翻折，得三棱锥设CD2，点E，F分别为棱BC，BD的中点，M为线段AE上的动点下列说法正确的是（ ）A. 存在某个位置，使B. 存在某个位置，使C. 当三棱锥体积取得最大值时，AD与平面ABC成角的正切值为D. 当ABAD时，CM+FM的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】利用面面垂直的性质定理即可判断A；先假设存在，利用线面垂直的判定定理可得平面ABD，可得，即ACD是以CD为斜边的直角三角形，通过计算发现，互相矛盾，

9、即可判断B；由三棱锥体积取得最大值时知面面垂直，得出线面垂直，即可求出线面角，即可判断C；由侧面展开图及余弦定理可判断D【详解】解：对于A：存在平面平面，使得，证明如下：因为平面平面， 平面平面，平面，则平面，因为平面，所以，故存在平面平面，使，故A正确，对于B：若，又平面，则平面ABD，因为平面ABD，则，则是以CD为斜边的直角三角形，因为，所以，又由题意知，故不存在某个位置，使，故B错误；对于C：当三棱锥体积取得最大值时，平面平面BCD，即AE是三棱锥的高，又，平面平面BCDBC，平面BCD，所以平面ABC，所以DAC是直线AD与平面ABC所成的角，所以，故C正确；对于D：当时,因为为的中

10、点，所以，则，又因为的中点，所以，又，所以，所以，如图将沿旋转，得到，使其与在同一平面内且在内，则当三点共线时，最小，即的最小值为，在中，则，所以在中，由余弦定理得，所以的最小值为，故D正确，故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 两条异面直线所成的角为，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据异面直线的定义求出的取值范围，再根据余弦函数的性质得到的取值范围.【详解】解：因为两条异面直线所成的角为，所以，所以.故答案为：14. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的值为_.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理边角互化，计算求值.【详解】根据正弦定理

11、可知，所以，而，所以.故答案为：15. 如图所示的斜截圆柱是用一个平面从圆柱上截取而来，其侧面可看成圆柱侧面的一部分，已知圆柱底面的半径为，母线长最短，最长，则该斜截圆柱的侧面积为_ 【答案】【解析】【分析】将两个相同的斜截圆柱拼截在一起构成一个圆柱求解.【详解】将相同的两个几何体，对接为圆柱，则所求几何体的侧面积是新圆柱侧面积的一半，则所求侧面积为，故答案为：. 16. 函数的一个单调减区间为_（答案不唯一）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据同角的三角函数关系式，结合正切两角差公式、正切型函数的和符合函数的单调性进行求解即可.【详解】因为，要使函数有意义，则有，所以，解得：，所以函数

12、的定义域为，令，则，因为函数的定义域为，由复合函数的单调性可知：函数的一个单调减区间为故函数的一个单调减区间为.故答案为：（答案不唯一）.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知向量，夹角为，且，（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）3 （2）【解析】【分析】（1）由向量数量积的运算律及定义计算；（2）把模平方转化为数量积计算【小问1详解】因为向量，的夹角为，且，所以所以【小问2详解】18. 如图，在四棱锥中，平面，交于点 （1）求证：平面平面；（2）设是棱上一点，过作，垂足为，若平面平面，求的值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】

13、（1）由线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证得结果；（2）由面面平行的性质定理得及平行线对应线段成比例得出结果.【小问1详解】证明：因为底面，平面，故，又，平面，故平面 又平面，故平面平面【小问2详解】因为平面平面，平面平面，平面平面，所以， 因为，且，所以 在中，由，得， 即19. 已知角，角和的终边分别与单位圆交于，两点 （1）若，求的值；（2）若，点的横坐标为，求的值【答案】（1）1 （2）【解析】【分析】（1）由，得，再结合的范围可得，然后代入式子利用诱导公式化简即可；（2）对化简可得，由点的横坐标为，结合任意角的三角函灵敏的定义可求出的值，再利用两角和与差的正余弦公式可求出，从而

14、可求出的值【小问1详解】由，得，又，所以，所以 ，【小问2详解】由，得，又，所以，则 因为点的横坐标为，所以， 所以20. 在锐角中，角的对边分别为，且（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理以及两角和的正弦公式求解；（2）利用正弦定理将边化角，用三角函数求取值范围.【小问1详解】，由余弦定理可得，整理得，,，【小问2详解】由正弦定理可知的外接圆半径为，为锐角三角形，即,，,即的取值范围为21. 已知函数，且（1）求函数的解析式；（2）若函数在区间上恰有3个零点，求的取值范围和的值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由的图像关于点

15、对称得出，即得函数解析式;（2）在区间上恰有3个零点转化为与在的图像上恰有3个交点求参数即可，再数形结合根据函数的对称轴即可计算求值【小问1详解】由知，的图像关于点对称，所以，得因为，所以，即函数【小问2详解】，当时，函数在区间上恰有3个零点，令，则在上有3个不相等的根即与在的图像上恰有3个交点，作出与的图像，如图所示， 由图可知，且，所以故取值范围为的值为22. 如图，在直三棱柱中，为的中点，为上的动点，在上，且满足.现延长至点，使得. （1）若二面角的平面角为，求的长；（2）若三棱锥的体积为，求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）1 （2）【解析】【分析】（1）利用二面角平面角的定义及等边

16、三角形和等腰三角形性质作出平面角，在直角三角形中求解长度即可；（2）利用等体积法求出点到平面的距离，根据线面角的定义即可求解正弦值.【小问1详解】据题意延长至点，使得，连接，取的中点，连接，因为为的中点，所以，又，所以，由得，所以为等边三角形，所以，易知，所以，所以，所以为二面角的平面角，即， 又，则，解得；【小问2详解】因为为的中点，所以，在直三棱柱中，因为三棱锥的体积为，所以，解得，所以为的中点，所以，在中，所以，设到平面的距离为，在中，所以，所以，因为，所以，解得，在中，由余弦定理得，所以.设与平面所成角为，所以，所以与平面所成角的正弦值为.【点睛】方法点睛：求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面所成的角；（2）等体积法：通过等体积法间接求解点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面所成角的正弦值；