湖北省武汉市武昌区2021届高三数学1月质量检测试题.doc

1、湖北省武汉市武昌区2021届高三数学1月质量检测试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=x|x2-3x-40,B=x|2x8,那么集合AB=A.(3,+ ) B.-1,+ ) C.3,4 D.(3,42.已知i是虚数单位，复数,则复数

2、z在复平面内对应的点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知tana=2,则A.2 B. C.-2 D.- 4.甲、乙、丙、丁四位同学组成的数学学习小组进行了一次小组竞赛，共测试了5道题，每位同学各题得分情况如下表：下列说法正确的是A.甲的平均得分比丙的平均得分高B.乙的得分极差比丁的得分极差大C.对于这4位同学，因为第4题的平均得分比第2题的平均得分高，所以第4题相关知识一定比第2题相关知识掌握好D.对于这4位同学，第3题得分的方差比第5题得分的方差小5.物理学规定音量大小的单位是分贝（dB),对于一个强度为1的声波，其音量的大小7可由如下公式计算：（其中I.是人耳

3、能听到声音的最低声波强度）。我们人类生活在一个充满声音的世界中，人们通过声音交换信息、交流情感，人正常谈话的音量介于40dB与60dB之间，飞机起飞时的音量约为120dB,则120dB声音的声波强度I1是40dB声音的声波强度I2的A.3倍 B.103倍 C.106倍 D.10倍6.已知,则A.bca B.cab C.abc D.ba0,b0,且a+b=1,则A. B.a2+b2 C. D.log2a+log2b -211.已知曲线C的方程为,则A.当k=5时，曲线C是半径为2的圆B.当k=0时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y=C.存在实数k,使得曲线C是离心率为的双曲线D.“k1”是“曲线

4、C为焦点在x轴上的椭圆”的必要不充分条件12.如图所示，在凸四边形ABCD中，对边BC,AD的延长线交于点E,对边AB,DC的延长线交于点F,若,则A. B.=C. 的最大值为1 D. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.二项式的展开式中，常数项为 。（用数字作答）14.已知过抛物线y2=-2x的焦点F,且斜率为的直线与抛物线交于A,B两点，则= .15.九章算术是古代中国的第一部自成体系的数学专著，与古希腊欧几里得的几何原本并称现代数学的两大源泉。九章算术卷五记载：“今有刍甍（音：),下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈。问积几何？”译文：今有如图所示的屋脊状楔体PQ-A

5、BCD,下底面ABCD是矩形，假设屋脊没有歪斜，即PQ中点R在底面ABCD上的投影为矩形ABCD的中心点O,PQ/AB,AB=4,AD=3,PQ=2,OR=1(长度单位：丈）.则楔体PQ-ABCD的体积为 （体积单位：立方丈）16.设函数f(x)= t(x+2lnx+)恰有两个极值点，则实数t的取值范围为 .四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(10分）在2a-b=2ccosB,S=(a2+b2-c2),sin(A+B)=1+2这三个条件中任选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题。在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,设ABC的面积为S

6、,已知 .（1)求角C的值；（2)若b=4,点D在边AB上，CD为LACB的平分线，CDB的面积为,求a的值。注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。18.(12分）已知an是等差列，a1=2,a3=6.（1)求an的通项公式；（2)设,求数列bn的前10项和T10.19.(12分）在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD底面ABCD,底面ABCD为直角梯形，BC/AD,ADC=90,BC=CD=AD=1,PA=PD,E,F分别为AD,PC的中点（1)求证：PA/平面BEF;（2)若PC与AB所成角为45,求二面角F-BE-A的余弦值20.(12分）设P是椭圆C: 1(ab0)上异于长轴顶点

7、A1, A2的任意一点，过P作C的切线与分别过A1,A2的切线交于B1,B2两点，已知|A1A2|=4,椭圆C的离心率为.（1)求椭圆C的方程；（2)以B1B2为直径的圆是否过x轴上的定点？如果过定点，请予以证明，并求出定点；如果不过定点，说明理由。21.(12分）公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（De mere)向另一位著名的数学家帕斯卡（B.Pascal)提请了一一个问题，帕斯卡和费马（Fermat)讨论了这个问题，后来惠更斯（C.Huygens)也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答。该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢k(k1,kN*)局，谁便

8、赢得全部赌注a元每局甲赢的概率为p(0p1),乙赢的概率为1-p,且每局赌博相互独立在甲赢了m(mk)局，乙赢了n(n2a-3.武昌区2021届高三年级1月质量检测数学参考答案及评分细则一、选择题： 题号12345678答案DABDDDCB二、选择题： 题号9101112答案CDABCDABDABD三、填空题： 13. 60 14. 15. 5 16. 四、解答题：17（10分）解：（1）若选：，则由正弦定理得，即，则 （4分）若选：，则，化简得， （4分）若选：，则有，化简得，所以，故. （4分）（2）在中，所以，. 又. 由，或（舍）. （10分）18（12分）解：（1）设等差数列的公差为

9、，由条件得，解得.故. （4分）(2)由(1)可知，其中故的前项和.（12分）19（12分）解：（1）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO，为中点，AE/BC，且AE=BC.四边形ABCE为平行四边形，O为AC中点，又F为AD中点，/平面. （4分）（2）方法一：（综合法）由BCDE为正方形可得.由ABCE为平行四边形可得/.为，即.侧面底面侧面底面平面，. （8分）取中点，连.，平面，的平面角.又，.所以二面角的余弦值为 （8分）方法二：（空间向量法）建议给分标准：建系正确，设（求）点的坐标正确，2分；利用线面角求出线段长正确，2分；求法向量正确，2分； 求余弦并给出结论正确，2分20

10、（12分）解：（1）由题可知，解得，由得，椭圆的方程为. （4分）（2）设，由于是异于长轴顶点的任意一点，故切线斜率存在.设过的椭圆的切线为，联立方程，得，结合 ，解得过点的切线方程为.由于分别过的切线分别为，解得的坐标为.在轴上取点，则，所以. 当时，.所以，以为直径的圆过轴上的定点为. （12分）21（12分） 解：（1）设赌博再继续进行局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢. 由题意知，最多再进行4局，甲乙必然有人赢得全部赌注.当时，甲以41赢，所以；当时，甲以42赢，所以；当时，甲以43赢，所以.所以，甲赢的概率为.所以，甲应分得的赌注为元. （6分）（2）设赌博继续进行局乙赢得全部赌注

11、，则最后一局必然乙赢. 当时，乙以以42赢，；当时，乙以以43赢，；所以，乙赢得全部赌注的概率为.于是甲赢得全部赌注的概率.求导，.因为，所以，所以在上单调递增，于是.故乙赢的概率为，故事件不是小概率事件. （12分）22（12分）解：（1），.当时，单调递增；当时，单调递减.当时，有极大值，.当时，在上单调递减，此时无极值；当时，.，易证，时，所以，故存在，满足， .当时，单调递减，当时，单调递增，当时，单调递减.在处有极小值，在处有极大值综上所述，当时，没有极值点；当时，有2个极值点（6分）（2）由（1）可知当且仅当时有极小值和极大值，.先证：.由，得，即.下证，即证（以下略）所以，所以. 因为，所以. 因为时，单调递增，所以，所以.再证：.设，因为，所以，所以，故在上单调递增.又，所以时，在上单调递减.所以时，.所以. （12分）另法：(1) 证明：.当时, 有2个极值点，且满足.因为，所以.因为当时，单调递增，当时，单调递减，所以为内的最大值，即（2）证明，只需证.因为单调递减，只需证.又因为，只需证，即证.令，.因为，所以在上单调递增，.所以，因此，.