山东省实验中学2015届高三第一次诊断性考试数学理试题 WORD版含解析.doc

1、山东师大附中2015届高三第一次模拟考试试题数学（理工农医类）2014.9【试卷综析】试题在重视基础，突出能力，体现课改，着眼稳定，实现了新课标高考数学试题与老高考试题的尝试性对接. 纵观新课标高考数学试题，体现数学本质，凸显数学思想，强化思维量，控制运算量，突出综合性，破除了试卷的八股模式，以全新的面貌来诠释新课改的理念，试题图文并茂，文字阐述清晰，图形设计简明，无论是在试卷的结构安排方面，还是试题背景的设计方面，都进行了大胆的改革和有益的探索，应当说是一份很有特色的试题.一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【题文】1.设

2、全集，集合，则A.B.C.D. 【知识点】集合.A1【答案解析】B 解析：解：因为所以B为正确选项. 【思路点拨】根据交集的概念可以直接求出交集.【题文】2.已知是虚数单位，则在复平面中复数对应的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【知识点】复数的基本概念与运算.L4【答案解析】A 解析：解：由题可知，所以复数表示的点为，在第一象限，所以A正确. 【思路点拨】根据复数的概念进行运算，分母实数化，然后找到对应点.【题文】3.设随机变量服从正态分布，若，则A.B.C.D. 【知识点】正态分布.I3【答案解析】D 解析：解：由正太分布的概念可知，当时，而正太分布的图像关于y轴对称，所

3、以，所以D为正确选项.【思路点拨】根据正态分布的对称关系可直接求解.【题文】4.设，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【知识点】充分条件；必要条件.A2【答案解析】B 解析：解：解：因为，所以sinx1，故xsin2xxsinx，若“xsinx1”，则“xsin2x1”若“xsin2x1”，则不一定小于1由此可知答案必要而不充分条件故答案为必要而不充分条件 【思路点拨】考查四种条件的判断，关键是合理运用角的范围确定三角函数的范围【题文】5.已知两个不同的平面和两个不重合的直线m、n，有下列四个命题：若；若；若；若.其中正确命题的个数是A.

4、0B.1C.2D.3【知识点】直线与平面的位置关系.G4,G5【答案解析】D 解析：解：由直线与直线，直线与平面，平面与平面位置关系可知， 正确，不正确.【思路点拨】由空间中的位置关系及判定定理，性质定理可直接得到.【题文】6.要得到函数的图象，只需将函数的图象A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度 【知识点】三角函数的图像与性质.C3【答案解析】C 解析：解：因为向左平移个单位可得，所以C选项正确.【思路点拨】由三角函数的图像与性质可对三角函数进行移动.【题文】7.已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线

5、的斜率的取值范围是A.B.C.D.【知识点】直线与双曲线.H8【答案解析】A 解析：解： 由题可知满足条件的直线即过右焦点且斜率在两条渐近线之间的直线，由条件可知渐近线为，再分析可得，与右支只有一个交点的直线斜率应该在范围内，所以A正确.【思路点拨】由双曲线的渐近线及图像可知只有一个交点的情况.【题文】8.某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，当甲乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为A.360B.520C.600D.720【知识点】排列组合.J2【答案解析】C 解析：解：根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加，有C

6、21C53A44=480种情况；若甲乙两人都参加，有C22C52A44=240种情况，其中甲乙相邻的有C22C52A33A22=120种情况；则不同的发言顺序种数480+240-120=600种，故选C 【思路点拨】根据题意，分2种情况讨论，只有甲乙其中一人参加，甲乙两人都参加，由排列、组合计算可得其符合条件的情况数目，由加法原理计算可得答案【题文】9.设函数若，则关于的方程的解的个数为A.4B.3C.2D.1【知识点】分段函数；方程根的个数.B1,B9【答案解析】B 解析：解：因为 所以的对称轴为，所以方程有3个根，所以B正确.【思路点拨】根据条件求出函数，然后求方程的根.【题文】10.已知

7、向量的夹角为 时取得最小值，当时，夹角的取值范围为A.B.C.D.【知识点】向量.F2,F3【答案解析】C 解析：解：由题意得 =（1-t）2+4t2-4t（1-t）cos=（5+4cos）t2+（-2-4cos）t+1由二次函数知当上式取最小值时，由题意可得解得，所以C正确.【思路点拨】根据向量的概念及运算可转化为二次函数问题，再根据三角函数值求角.第II卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.【题文】11.若对任意的恒成立，则实数k的取值范围为_.【知识点】绝对值不等式.E2【答案解析】 解析：解： 由绝对值不等式可知时，不等式对于任意实数恒成立.【思

8、路点拨】绝对值不等式的解法.【题文】12.如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是_.【知识点】程序框图.L1【答案解析】i2014解析：解： 解：根据流程图，可知第1次循环：i=2，；第2次循环：i=4，；第3次循环：i=6，；第1007次循环：i=2014，；此时，设置条件退出循环，输出S的值故判断框内可填入i2014故答案为：i2014【思路点拨】根据流程图写出每次循环i，S的值，和比较即可确定退出循环的条件，得到答案【题文】13.已知圆C过点，且圆心在轴的负半轴上，直线被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为_.【知识点】圆的标准方程.H3【答案解析】 解析：解：设圆心，

9、则圆的半径，所以圆心到直线的距离，弦长，则 整理得：x=2（不合题意，舍去）或x=-3，圆心C（-3，0），半径为2，则圆C方程为故答案为：【思路点拨】根据题意设圆心C坐标为（x，0），根据圆C过（-1，0），利用两点间的距离公式表示出圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线l的距离d，根据已知的弦长，利用垂径定理及勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到圆心坐标及半径，写出圆C的标准方程即可【题文】14.定义：，在区域内任取一点的概率为_.【知识点】概率.E1【答案解析】 解析：解：解：本题是一个几何概型，试验包含的所有事件对应的集合=（x，y）|0x2，0y6，S=11=1满足条

10、件的事件A=（x，y）|0x2，0y6，x2+x+2yx+y+4，即A=（x，y）|0x2，0y6，y4-x2，,所以由几何概型公式得到 【思路点拨】由题意可作图计算出概率的值.【题文】15.已知恒成立，则实数m的取值范围是_.【知识点】基本不等式.E1【答案解析】-4m2 解析：解：解：根据题意，x0，y0，则，即的最小值为8，若恒成立，必有m2+2m8恒成立，m2+2m8m2+2m-80，解可得，-4m2，故答案为-4m2【思路点拨】关键是利用基本不等式求出的最小值三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【题文】16.（本小题满分12分）在ABC中，

11、角A，B，C所对的边分别为，且.（I）求的值；（II）若面积的最大值.【知识点】解三角形.C8【答案解析】(I) (II) 解析：解：(I)在中，由余弦定理可知，由题意知，又在 中又（）b=2 ，由可知，即，8分，10分.ABC面积的最大值为12【思路点拨】由余弦定理可求出角B的值，再计算所求的值，再由公式求出面积.【题文】17.（本小题满分12分）如图，在七面体ABCDMN中，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD，平面ABCD，且（I）在棱AB上找一点Q，使QP/平面AMD，并给出证明；（II）求平面BNC与平面MNC所成锐二面角的余弦值.【知识点】直线与平面的位置关系；二面角.G

12、3,G10【答案解析】(I)略(II) 解析：解：证明：MD平面ABCD，NB平面ABCD，MD/NB，2分，又，4分在中，OP/AM，又面AMD，AM面AMD，/ 面AMD.分（）解：以DA、DC、DM所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则D（0,0,0），B（2,2,0），C（0,2,0），M（0,0,2）N（2,2,1），=（0,-2,2），=（2,0,1），=（0,2,0），7分设平面CMN的法向量为=（x,y,z）则，=（1,-2,-2）.9分又NB平面ABCD，NBDC，BCDC，DC平面BNC，平面BNC的法向量为=（0,2,0），11分设所求锐二面角为，则.12

13、分【思路点拨】由已知条件可证明直线与平面的位置关系；再利用向量法求出二面角的余弦值.【题文】18.（本小题满分12分）某高校自主招生选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某同学能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响。（I）求该同学被淘汰的概率；（II）该同学在选拔中回答问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望.【知识点】概率；随机变量的分布列与数学期望.K1,K6【答案解析】(I) (II) 解析：解：(I)记“该同学能正确回答第i轮的问题”的事件为A则，所以该同学被淘汰的概率(II) 的可能值为1，2，3

14、，所以 的分布列为 【思路点拨】根据已知求出事件的概率，再列出随机变量的情况求出分布列及数学期望.【题文】19.（本小题满分12分）设数列的各项都是正数，且对任意，都有，其中为数列. 的前n项和.（I）求数列的通项公式；（II）设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意；都有成立.【知识点】数列的通项公式；数列的应用.D1，D5【答案解析】(I) (II)略解析：解：（）时，当时，2分由得，即，4分由已知得，当时，.分故数列是首项为1，公差为1的等差数列. 分（），,7分.要使得恒成立,只须. 分(1)当为奇数时,即恒成立.又的最小值为,. 9分(2)当为偶数时,即恒成立.又的最大值为,分由(

15、1),(2)得,又且为整数,分对所有的,都有成立. 分【思路点拨】根据前n项与通项的关系求出通项公式，再根据题意分情况讨论证明.【题文】20.（本小题满分13分）已知椭圆过点，且长轴长等于4.（I）求椭圆C的方程；（II）是椭圆C的两个焦点，O是以为直径的圆，直线O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若，求k的值.【知识点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的关系.H5,H8【答案解析】(I) (II) 解析：解：（）由题意，椭圆的长轴长，得，2分点在椭圆上，得，分椭圆的方程为.6分(II)由直线L与圆O相切，得，即，设由消去y，整理得，由题意可知圆O在椭圆内，所以直线必与椭圆相交 10分11分，.

16、2分，得k的值为.13分【思路点拨】根据题意可直接求出椭圆的标准方程，再根据直线与椭圆的位置关系列出关系式求出K的取值.【题文】21.（本小题满分14分）已知函数的切线方程为.（I）求函数的解析式；（II）设，求证：上恒成立； （III）已知.【知识点】导数;导数与不等式.B11,B12【答案解析】(I) (II)略(III)略解析：解：解：（）将代入切线方程得， ，分化简得. ，分，解得：. 分 （）由已知得在上恒成立，化简，即在上恒成立.分设， 分 ，即，分在上单调递增，在上恒成立 .分 （）， ，由（）知有， 12分整理得，当时，. 14分【思路点拨】根据导数求出函数的解析式，再构造函数证明不等式.